江西省新余第四中学上高第二中学2019届高三数学(文)上学期第一次联考试卷(含答案)

2019届新余四中、上高二中高三第一次联考
数学（文科）试卷
一．选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合}12
3
),{(+=--=a x y y x A ,}15)1()1(),{(2=-+-=y a x a y x B ,若φ=⋂B A ，则a 的取值是
1,1.-A 25,
1.-B 25,1.±C 2
5,4,1.-±D 2、已知复数z 满足()i z i 2112
+=⋅-，则在复平面内复数z 对应的点为 A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
--21,1 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-
21,1 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1,21 3、已知01c <<，1a b >>，下列不等式成立的是
A.a
b c c >
B.c
c a
b < C.a
b
a c
b c
>-- D.log log a b c c >
4、《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。

“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的b a ,分别为96、36，则输出的i 为
A ．4
B ．5 C. 6 D ．7
5、已知抛物线C ：8
2x y =的焦点为F ，()00,y x A 是抛物线上一点，且,20y AF =则=0x
A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4± 6、函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=62cos πx y 的图像F 向左平移m 个单位后，
得到的图像G 关于原点对称，则m 的值可以是 A.
6π B. 3
π C.
4π D. 2
π
7、已知数列{}a n 满足3411a a n n n ++=≥()，且a 19=，其前n 项之和为S n ，则满足不等式||S n n --<
61
125
的最小整数n 是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
8、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增， 若实数a 满足
(
)()
322log ->f f a ，则a 的取值范围是
A.()3,∞-
B. ()3,0
C.
(
)+∞,3 D. ()
3,1
9、 已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,
35250,0.
x y x y x a -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
||OA （O 为坐标原
点）的最小值是2时，实数a 的值是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、已知圆222:(1)(0)C x y r r -+=>．设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直
线30x +=的距离为1，则p 是q 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11、已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点P
是双曲线在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ，若
122PF PF =，且2120MF N ∠=，则双曲线的离心率为
A.
3
12、设
()
x f '为
()
x f 的导函数，已知
()()(),1
,ln 2e
e f x x xf x f x ==+'则下列结论正确的是
A. ()x f 在()+∞,0上单调递增
B. ()x f 在()+∞,0上单调递减
C. ()x f 在()+∞,0上有极大值
D. ()x f 在()+∞,0上有极
小值
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、平面向量a 与b 的夹角为o
60，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=_________. 14，则cos 2α等于_________. 15、某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的
面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为________．
16、 某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本小题满分12分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
i n c o s
B （1）求cos B 的值；
（2）若1a c +=，求b 的取值范围．
18、（本小题满分12分）
传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。

将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
注：2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
20()P k k ≥
0.10 0.05 0.005 0k
2.706
3.841
7.879
（Ⅱ）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数； （Ⅲ）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为,a 在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b ，求使得方程组3
22ax by x y +=⎧⎨+=⎩
有唯一
一组实数解(,)x y 的概率.
19、（本小题满分12分）．
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD PAB ∠=∠，AC 交BD 于O ， （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBD
（II ）延长BC 至G ，使BC CG =，连结PG ，DG . 试在棱PA 上确定一点E ，使
//PG 平面BDE ，并求此时AE
EP
的值.
P
A
D
20、（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于M N 、两点（点M 在点N 的下方），
且3MN =． (Ⅰ)求圆C 的方程；
(Ⅱ)过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y +=相交于 两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
21、（本小题满分12分） 已知函数(),ln x x
n
mx x f --=
.,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值；
（3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点()21210,x x x x <<，求证：221>+x x
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为2
1cos ρθ
=
-.
（Ⅰ）试将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程； （Ⅱ）直线l 过点(),0M m ，交曲线C 于A 、B 两点，若2
2
11MA
MB
+
的定值为
1
64
，求实数m 的值.
23、选修4-5：不等式选讲
已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为()1,2-. （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若不等式()1f x x m ≤++的解集为φ，求实数m 的取值范围.
2019届新余四中、上高二中高三第一次联考
数学（文科）试卷答案2018.12.1
一、选择题
1—12 DADAD ACBBC DB 二、填空题
13、32 14、5
3
15、3(1)5e -
16、
π48
41
41 三、解答题
17、解：（1
分
因为sin 0A ≠，∴．又cos 0B ≠，∴
又0πB <<，∴分
（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-．
因为1a c +=，1
cos 2
B =
，·······9分
又01a <<，·······12.
18．（1）由条形图可知2×2列联表如下
22
100(45151030)100
3.030 3.8417525455533
K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯………………（4分）
∴没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………（5分）
（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为
753
1004
=. ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为3
6 4.54
⨯
=万人.……………………（8分） （3）a 从1，2，3，4，5，6中取，b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种， 要使方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解，则1
2a b ≠，共33种情形.
故概率3311
3612
P ==.…………………………（12分）
19、解：【试题解析】解：（I ）PAB PAD ∠=∠ ，AB AD =，PAD ∆∴≌PAB ∆，
得PD PB =，O 为BD 中点，BD PO ⊥∴， （2分）
底面ABCD 为菱形, ∴BD AC ⊥，O PO AC = ，⊥∴BD 平面PAC ， （4
分）
⊂BD 平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD （6
分）
（II ）连接AG 交BD 于M ，在PAG ∆中，过M 作PG ME //交PA 于E ,连接ED 和
EB ,
⊄PG 平面BDE ，⊂ME 平面BDE ，//PG ∴平面BDE （8
分）
∵BG AD //，AD BG 2=，ADM ∆∽BGM ∆2
1
==∴BG AD GM AM , （10分）
ME PG // ，2
1==∴
MG MA EP EA ,即 AE EP 21
= （12
分） ．
20、解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为),2(r . ∵ 3MN =∴ 2
2
2322r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，解得2254r =． ⋅
3分
∴ 圆C 的方程为()4252522
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-y x ． ⋅
5分
（Ⅱ）把0=x 代入方程()4252522
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-y x ，解得1=y 或4=y ，
即点)4,0(),1,0(N M ． ⋅6分 （1）当AB x ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0． ⋅8分
（2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．
联立方程⎩⎨
⎧=++=8
21
2
2y x kx y ，消去y 得，064)21(22=-++kx x k
设直线AB 交椭圆于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
221214k k x x +-=
+，2
2
1216
k x x +-=． ⋅10分
12121212
4433
AN BN y y kx kx k k x x x x ----∴+=
+=+
2212121212
121223()12120k k
kx x x x k k x x x x --
-+++===
∴ ANM BNM ∠=∠． ⋅12分
21. 解析:（1）由'
2()n x f x x -=
，'
2(2)4
n f -=，
由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故
2
14
n -=，解得6n =..............2分
.............6分
（3）若1n =时，()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<， 由11111()ln 0mx f x x x -=
-=，22221()ln 0mx f x x x -=-=，得1212
11
ln ln m x x x x =+=+， ∴212121ln x x x x x x -=，设211x t x =>，11ln t t tx -=，11ln t x t t -=，故21211(1)ln t x x x t t t
-+=+=，
∴2121
2(ln )22ln t t t x x t
--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'
2(1)()02t h t t
-=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，
又2
1
1x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立..............12分
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标系下的普通方程为244y x =+．
（Ⅱ）设直线l 的参数方程cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩
(t 为参数，α为直线l 的倾斜角，0α≠)，
代入C 的方程244y x =+整理得，()22sin 4cos 440t t m αα--+=，
所以1224cos sin t t αα
+=
，()12
244sin m t t α-+⋅=， ()()()2
22
12122222222
1212
216cos 88sin 11
111
444t t t t m t t t t m MA MB αα+-+++=+===+， 所以1m =．
（23）（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由13ax +<知42ax -<<，而13ax +<的解集为()1,2-，所以2a =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知211x x m -+≤++，即211x x m --+≤的解集为∅， 令()211g x x x =--+，则()211312122
x x g x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩，
所以()min 32g x =-，故3
2m <-．。