2023届高考数学一轮复习作业对数与对数函数新人教B版

对数与对数函数
一、选择题
1．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab
D ．ab <0<a ＋b
B [由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b ＝log 0.32<0．∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b
ab
<1．
又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0．]
2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能为( )
A B
C D
A [由a ＞0知，函数f (x )＝2－ax 为减函数，则排除C ． 当0＜a ＜1时，函数f (x )的零点x ＝2
a
＞2，则排除D ．
当a ＞1时，函数f (x )的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2
a
＞0，则排除B ．故选A ．]
3．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567
种方法，设这个数
为N ，则lg N 的整数部分为( )
A ．2 566
B ．2 567
C ．2 568
D ．2 569 B [由题可知，lg N ＝lg(4.02×10
2 567
)＝2 567＋lg 4.02．
因为1＜4.02＜10，所以0＜lg 4.02＜1， 所以lg N 的整数部分为2 567．故选B ．] 4．(2021·河南郑州高三三模)已知55
>3
2
13
，a ＝log 23，b ＝log 35，c ＝213
5
，则( )
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．a >c >b
D ．b >c >a
A [由对数函数的性质，可得a ＝log 23>log 28＝32，b ＝log 35<log 327＝3
2，所以a >b ；
又由lg 55
>lg 3
2
13
，所以5lg 5>213lg 3，即lg 5lg 3＝log 35>213
5
，所以b >c ，
所以a >b >c ．]
5．已知函数f (x )＝log a (6－ax )在区间[2,3]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1,3) D ．(1,3]
A [由a ＞0知，函数y ＝6－ax 为减函数，要使f (x )＝log a (6－ax )在[2,3]上为减函数，则a ＞1，且6－ax ＞0在x ∈[2,3]上恒成立，
则有⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＞1，
6－3a ＞0，
解得1＜a ＜2，故选A ．]
6．已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则下列说法正确的是( ) ①f (x )在(2,6)上单调递增； ②f (x )在(2,6)上的最大值为2ln 2； ③f (x )在(2,6)上单调递减；
④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④
D [f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则f (x )＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2,6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选D ．]
二、填空题
7．计算：log 510＋log 50.25－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13log 32
＝________．
3
2
[log 5 10＋log 50.25－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13log 32
＝2log 510＋log 50.25－3
－log 32
＝log 5100＋
log 50.25－3log 3
12
＝log 525－12＝2－12＝3
2
．]
8．若函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________． 2 [∵a >1，所以函数f (x )在区间[a,2a ]上为增函数， 由已知条件可得log a (2a )＝3log a a ＝log a a 3
，∴a 3
＝2a ，
∵a >1，解得a ＝2．]
9．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (lg m )>f (2)，则实数m 的取值范围是________． (1，10)∪(100，＋∞) [如图，画出f (x )＝|lg x |的大致图象，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)，所以0<lg m <1
2或lg m >2，解得1<m <10或m >100，即实数m 的取值范围是(1，10)∪(100，
＋∞)．
]
三、解答题
10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2． (1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值． [解](1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2
＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2．
11．设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且1
9≤x ≤9．
(1)求f (3)的值；
(2)求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值． [解](1)∵函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且1
9≤x ≤9，
故f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6．
(2)令t ＝log 3x ，则－2≤t ≤2，且f (x )＝(log 3x ＋2)(1＋log 3x )＝t 2
＋3t ＋2，
令g (t )＝t 2
＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322
－14
，
故当t ＝－32时，函数g (t )取得最小值为－14，此时求得x ＝3－32
＝39；
当t ＝2时，函数g (t )取得最大值为12，此时求得x ＝9．
1．已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2
，若f (2a
－5)<f (3)，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B [∵f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2
，∴f (－x )＝ln(|－x |＋1)＋(－x )2
＝ln(|x |＋1)＋x 2
＝
f (x )，
所以f (x )为R 上的偶函数，
当x ∈[0，＋∞)时f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2
，
由y ＝ln(x ＋1)，y ＝x 2
都在[0，＋∞)上单调递增，得f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2
在[0，＋∞)上单调递增，因为f (x )为R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
所以由f (2a －5)<f (3)，可得－3<2a
－5<3，解得1<a <3．] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x
－2y
＜3－x
－3－y
，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0
D ．ln|x －y |＜0
A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
<2y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13y
．设f (x )＝2x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，
则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在R 上为增函数，所以f (x )＝2
x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]
3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；
(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解](1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1．
故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}．
(2)f (x )为奇函数．
证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．
(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x
＞1，
解得0＜x ＜1．所以x 的取值范围是(0,1)．
1．已知函数f (x )＝log 3ax ＋6
x ＋3
在区间(－3,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C ．(－2,2) D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，52 C [令u ＝
ax ＋6x ＋3，由题意可知，u ＝ax ＋6
x ＋3
>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立， 因为x ＋3>0，则ax ＋6>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
－3a ＋6≥0，3a ＋6>0，
得－2<a
≤2．
因为函数f (x )＝log 3ax ＋6
x ＋3
在区间(－3,3]上单调递减，外层函数y ＝log 3u 为增函数， 故内层函数u ＝
ax ＋6x ＋3＝a x ＋3＋6－3a x ＋3＝a ＋6－3a
x ＋3
在区间(－3,3]上为减函数， 所以，6－3a >0，可得a <2． 综上所述，－2<a <2．]
2．若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．
[解] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43－a ＞0， 即0＜4
3－a ＜1．
又2×1
2－a ＞0，
解得13＜a ＜4
3，且a ＜1，
故1
3
＜a ＜1； 当a ＞1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上是增函数，
所以log a (1－a )＞0， 即1－a ＞1，且2×1
2－a ＞0，
解得a ＜0，且a ＜1，此时无解．
综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1．。