中子输运方程源迭代加速方法研究

学校代码:10200研究生学号:2017101955
分类号:O24密级:无
中子输运方程源迭代加速方法研究
Study on source iteration acceleration for neutron transport
equation
作者：李悦
指导教师：安恒斌研究员
一级学科：数学
二级学科：计算数学
研究方向：并行计算
学位类型：学术硕士
东北师范大学学位评定委员会
2020年5月
东北师范大学
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日期:日期:
摘要
在核反应堆数值模拟等各类应用中,需要求解中子输运方程,且中子输运方程在其求解过程中占据着主要的计算量.中子输运方程描述中子群体在介质内的输运过程.该方程是关于空间,时间,能量和运动方向的偏微分—积分方程.由于方程的复杂性,无法得到与之对应的解析解,因此一般情况下只能对中子输运方程进行数值求解.中子输运方程离散后是一个大型非线性(线性)方程组,其数值求解过程十分复杂,且所需计算量很大,求解时间较长.对于离散后的中子输运方程,需要采用多个层次的迭代方法进行求解.其中源迭代方法是求解中子输运方程的关键算法.由于源迭代过程占据整个求解过程的主导计算量,且源迭代方法在某些情况下收敛非常慢,甚至不收敛,所以针对源迭代的加速研究尤为重要.目前为止,已有很多关于源迭代加速方法的研究.其中非线性扩散综合加速方法(NDA)可以用来加速各向异性散射情况下的中子输运方程的求解.但随着散射的各向异性增强,NDA方法的加速效果显著下降.Anderson加速方法(AA)近几年被广泛地应用于提高不动点迭代收敛速度.由于源迭代过程可以看作一类不动点,所以可以自然地应用AA方法提高源迭代的收敛速度.本文比较了NDA方法和AA方法在加速源迭代收敛速度方面的效果.分析了两类方法的适用性.进一步考虑了两类加速方法的结合,获得了AA-NDA方法以及AA-NDA(2)方法.AA方法与NDA方法的结合改善了NDA方法随着各向异性增强加速效果下降的不足.通过一维情形下的数值算例,对比了AA方法, NDA方法以及AA-NDA,AA-NDA(2)方法对于求解定源中子输运方程的不同加速效果,验证了AA-NDA方法及AA-NDA(2)方法的有效性.另外,在三维非结构网格情形下,比较了AA加速源迭代方法和无AA加速源迭代方法求解中子输运方程的不同数值结果,以及不同核处理器情形下各个方法并行计算的数值结果.
关键词:NDA加速;Anderson加速;中子输运方程;非结构网格;源迭代方法
Abstract
In various applications such as nuclear reactor numerical simulation,it is neces-sary to solve the neutron transport equation.The solution of the neutron transport equation occupies the main calculation in many important applications of numeri-cal simulation.The neutron transport equations are used to describe the transport process of the neutron population in the medium.This equation is a kind of par-tial differential integral equations of multidimensional independent variables about space,time,energy and direction.Because of the complexity of the equation,it can only be solved numerically in general.After the neutron transport equation is dis-cretized,a large scale nonlinear equations are obtained.The source iteration is the most popular method for solving the discretized neutron transport u-ally,the source iteration converges slowly.By now there has been much research on the acceleration for source iteration.One of widely used acceleration method is the nonlinear diffusion acceleration method(NDA).NDA method can be used to accelerate the solution of fixed-source problem,a typical anisotropic scattering model.However,the effect of NDA method will deteriorate when the scattering source is less isotropic.Anderson acceleration method(AA)has been widely used to improve the convergence rate of fixed point iteration in recent years.Because the source iteration process can be regarded as a kind of fixed point iteration,AA method can be used naturally to improve the convergence rate of source iteration. In this paper,the comparison study is conducted about the effectiveness of NDA method and AA method,and analysis about the applicability of the methods is given.Furthermore,by the combination of the methods,two kinds of new methods, AA-NDA,AA-NDA(2)is obtained.The combination method of AA and NDA can be used to remedy the degraded performance of NDA when scattering is anisotrop-ic.Through numerical examples in one-dimensional case,the different acceleration effect of AA method,NDA method,AA-NDA,AA-NDA(2)method are compared for solving the neutron transport equation of fixed source.In addition,in the case of three-dimensional unstructured grid parallel computing,The results of AA accel-erated source iteration method and non-AA accelerated source iteration method are compared.
Key words:NDA acceleration;Anderson acceleration;neutron transport e-quation;unstructured grid;source iteration method
目录
中文摘要 (I)
英文摘要 (II)
目录 (III)
第一章绪论 (1)
1.1选题意义 (1)
1.2中子输运方程 (2)
1.3论文的主要工作 (4)
1.4论文的组织结构 (5)
第二章中子输运方程及数值计算方法 (7)
2.1散射源的球谐函数展开 (7)
2.1.1球谐函数与Legendre多项式 (7)
2.1.2一维情形下的散射概率函数的球谐函数展开 (9)
2.1.3三维情形下的散射概率函数的球谐函数展开 (10)
2.2中子输运方程的频率(能量)离散与多群近似 (12)
2.3中子输运方程的方向离散与离散纵坐标近似 (13)
2.3.1泄露算子 (13)
2.3.2SN离散方法 (14)
2.4中子输运方程的空间离散 (18)
2.4.1迎风格式 (18)
2.4.2菱形差分 (20)
第三章中子输运方程的迭代求解 (21)
3.1源迭代方法 (21)
3.1.1不动点迭代 (21)
3.1.2源迭代方法及理论基础 (22)
3.2几类源迭代加速方法简介 (26)
第四章源迭代非线性综合加速方法与Anderson加速方法及改进 (29)
4.1非线性扩散综合加速方法 (29)
4.2Anderson加速方法 (36)
4.2.1Anderson加速不动点迭代 (36)
4.2.2Anderson加速源迭代 (38)
4.3AA-NDA方法 (40)
4.4AA-NDA(2)方法 (43)
第五章一维情形下的数值结果 (47)
第六章三维情形下中子输运方程的求解 (67)
6.1三维均匀矩形网格定态多群中子输运方程 (67)
6.2三维非结构网格上输运方程及离散 (68)
第七章三维情形下的数值结果 (71)
展望 (77)
参考文献 (79)
致谢 (83)
第一章绪论
S1.1选题意义
输运理论的发展已有一百多年的历史.1872年玻尔兹曼(L.Boltzmann)导出了分子分布函数随时间和空间变化的微分—积分方程,奠定了分子运动理论的基础.事实上,对于中子,光子,电子等一些粒子都可以导出类似的粒子守恒方程,称做输运方程.中子输运方程就是其中一类具体的方程[11,12,21,22,23].中子输运理论是研究中子在介质内运动的过程和规律的基础理论.随着核能利用的蓬勃发展,中子输运在核科学技术领域中已经成为一个独立的基础理论科学,并在核反应堆物理,屏蔽,核技术的工程应用和军事技术等领域中获得广泛的应用.近年来,随着计算机和计算方法的发展,数值方法已逐步成为中子输运理论的主要研究手段[28−30].因此对中子输运过程的数值模拟是最关键的问题之一.
中子输运方程刻画中子群体在介质内的输运过程.中子输运方程的基本物理量是中子角通量,也称为中子密度.中子角通量是关于空间、时间、能量和运动方向相关的函数.因此,中子输运方程是与空间,时间,能量和方向相关的微分—积分方程.由于该方程具有很强的非线性,因此一般情况下只能进行数值求解.目前离散求解中子输运方程时,能量一般采用多群近似,空间一般采用差分法,运动方向采用离散纵坐标法(SN)[24−26,33].中子输运方程离散后是一个大型的非线性(线性)方程组,其数值求解过程非常复杂且所需计算量很大,耗费时间较长.对于离散后的中子输运方程,需要采用多个层次的迭代方法进行求解.其中源迭代是求解中子输运方程的关键算法[27].由于源迭代过程占据整个求解过程的主导计算量,且源迭代方法在某些情况下收敛非常慢,甚至失效.所以对源迭代的加速研究尤为重要.自1979年起出现了诸多关于源迭代的加速方法.如非线性扩散加速方法(Nonlinear Diffusion Acceleration NDA)[1,6,35−37],Anderson加速方法[2],角度多重网格(ANMG)加速方法[4],扩散综合加速方法[8],Chebyshev加速方法[9,10,31,32,34],粗网格再平衡法[11,12]等.
近期有关源迭代加速方法研究,相关工作主要为矩估计加速(高低阶加速)方法.其中非线性扩散加速(NDA)已经成为求解中子输运方程(定源问题,k特征值问题)比较代表性的方法.NDA方法的主要思想就是利用低阶方程加速(更细网格上)高阶方程.NDA方法对于各向异性较弱问题的中子输运方程其加速效果很好,但对于各向异性比较强的情况NDA方法的加速效果明显弱化,甚至不收敛.
近几年Anderson加速不动点迭代方法受到了许多关注.针对计算非线性的不动点问题,如果G是一个在解的邻域范围内的压缩映射,不动点问题进行逐次迭代后将会收敛.但收敛可能非常缓慢.Anderson加速是提高不动点迭代收敛的一类有效的方法.Anderson加速算法的主要思想是通过一组向量线性组合前k+1个迭代步中的近似解来表示最新的迭代步的值.其中,这个组合向量通过极小化每一步相应的残差得到.由于中子输运方程的源迭代可以看做是个不动点迭代,所以可以应用Anderson加速到中子输运方程的源迭代过程中.
通过对NDA进行理论分析可以发现,当NDA加速各向异性较强的中子输运方程时,加速效果不好是因为在整个源迭代加速过程中仅仅0阶矩和1阶矩被加速,而其它高阶矩都没有被加速.在理论上高阶矩被扩展的低阶系统加速是可能的,但实际操作是非常复杂的,尤其在多维空间上更难进行.Anderson加速可以看作对每一个矩都进行了加速,所以可以考虑两者组合的加速方式.即在NDA的基础上进行Anderson加速得到新的算法AA-NDA.AA-NDA改进了NDA当各向异性增强时加速弱化的缺点,可预见的加速效果更加有效.同时由于Anderson加速相当于是在迭代外面的独立的加速过程,所以把NDA与AA结合操作起来不是很困难.
近几年,在非结构网格的几何区域分解情况下,中子输运方程的并行计算成为了一个新的热点[13,14,15].由于SN方法在求解中子输运方程时在各个方向是独立的,所以在几何区域分解基础上,可采用并行的求解方法,在此基础上设计各个方向同时扫描的并行算法.
源迭代加速算法的研究可以更好地提高中子输运方程的数值求解过程中的收敛速度,为核技术的工程应用,军事医学等领域的实际应用提供理论基础.
S1.2中子输运方程
中子输运方程的实质是中子在介质内迁移的守恒关系表达式.中子在介质内的运动轨迹和速度是个随机的过程,它的迁移是受周围原子核散射的结果.为了简化问题,我们做以下的假设[11]:
(1)把中子看做是一个点粒子,即中子可以被速度和位置完全描述.
(2)忽略中子与中子之间的碰撞.由于在一般的核技术问题以及核反应堆问题中,中
子的密度比介质内的原子核密度小的很多,所以可以忽略中子与中子之间的碰撞.即把中子在介质内的输运过程主要看作是中子与介质原子核碰撞的结果.
(3)因为中子不带电荷所以不受电磁的影响,所以认为中子在介质内两次碰撞之间
穿行的路线是直线.
(4)中子与介质内核的碰撞、发射可以认为是瞬时的.
中子输运方程就是在上述假设下,描述中子群体在介质内的输运过程.求解中子输运方程可得到介质内中子密度分布函数.
在输运理论中,中子是一个点粒子.所以中子在介质中的运动状态可以由速度、位置来确定.因此在任意时刻t,中子的运动状态由位置向量⃗r(x,y,z),能量E,和方向⃗Ω(θ,ϕ)六个变量来表示.其中对于不同的坐标系情况下,⃗r和⃗Ω的表示不同.
对于单个中子,它是按照杂乱无章的折线轨迹在介质内随机运动的.每个中子运动不停直到中子从反应堆表面逸出或被吸收为止,整个过程是随机的.实际上我们研究的不是个别中子的轨迹和所在的位置,而是在空间不同点处中子密度的宏观期望分布.当中子密度足够大的时候,可以用一种处理大量中子行径的宏观理论推导出中子输运方程.研究中子输运过程的基本原则,就是中子数目守恒/中子平衡.即中子密度随时间的变化率等于它的产生率减去泄露率和移出率,也就是
ðn
ðt
=产生率(Q)−泄漏率(L)−移出率(R)
中子输运方程的建立主要涉及以下几项:
(1)泄漏项:
L=⃗Ω·∇ϕ(⃗r,⃗Ω,E,t)(1.1) (2)移出项:
R=σtϕ(⃗r,⃗Ω,E,t)(1.2) (3)产生项:
Q=
∫︁∞
0∫︁4π
σs(⃗r,⃗Ω′→⃗Ω,E′→E)ϕ(⃗r,⃗Ω′,E′,t)dE′d⃗Ω′+q(⃗r,E)(1.3)
由守恒关系可以得到中子输运方程的表达式为:
1 v ðϕ
ðt
+⃗Ω·∇ϕ+σt(E)ϕ=q(⃗r,E,⃗Ω)+
∫︁∞
∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω′→⃗Ω)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′,t)dE′d⃗Ω′
(1.4)
其中σt为输运总截面,σs(⃗r,E′→E,⃗Ω′→⃗Ω)为中子从能量E′方向⃗Ω′散射到能量E方向⃗Ω的散射截面,q为外源项.E为能量变量,⃗Ω(θ,ϕ)为方向变量,⃗r(x,y,z)为位置变量,t为时间变量.ϕ=ϕ(⃗r,⃗Ω,E,t)为角通量密度.
当系统处于平衡状态(稳态)时,ðn
ðt
=0.所以稳态下的中子输运方程为:
⃗Ω·∇ϕ+σ
t ϕ=q(⃗r,E,⃗Ω)+
∫︁∞
∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω→⃗Ω′)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′)dE′d⃗Ω′
(1.5)
由此可见,稳态情形下中子输运方程是含有六个自变量的微分—积分方程.在数学上,这样的方程解析求解是十分困难的,只能数值求解.但由于输运过程的复杂性,即便是应用数值求解仍然是十分复杂的.
中子输运方程是中子密度分布函数应该满足的方程.所以对于具有相同的参数σs,σt的反应堆,不论初始状态、以及边界条件如何,都应该满足同一个方程.但从数学上讲,由于中子输运方程求出的解中包含任意的积分常数,所以要给定适当的定解条件.即给出适当的边界条件以及初始条件来保证能给出问题的唯一解.
由于中子输运方程的散射截面参数σs通常是在已知的角通量的情况下求得的,因此可以认为中子输运方程是非线性的.由于中子输运方程大规模、非线性、多变量的特点,只能对其进行数值求解.求解中子输运方程通常采用的方法是源迭代方法.由于方程的特点,源迭代收敛的速度非常的慢,甚至在一些情况下是不收敛的.国内外一直有很多关于中子输运方程源迭代加速方法的研究.但在很多情形下,例如在各向异性情形下,很多源迭代加速方法效果不够理想.所以对于源迭代的加速方法的研究以及不同方法的适当组合尤为重要.
S1.3论文的主要工作
本文是对中子输运方程的源迭代加速方法的研究.论文的主要工作是以Anderson 加速方法(AA)为基础的,结合非线性扩散综合加速方法(NDA)对源迭代过程进行加速研究.通过数值实验对比各个方法以及新方法的不同加速效果.针对三维非结构网格情形下,开展中子输运方程的AA加速研究.具体内容为:
1.分析并推导中子输运方程的球谐函数展开形式及不同变量的各种离散方法.在此方程的基础上设计不同源迭代加速方法的数值实验.
2.把Anderson加速方法,非线性扩散综合加速方法(NDA)应用到中子输运方程中.并给出相关的算法描述形式.
3.以Anderson加速方法为基础与非线性扩散综合加速方法结合形成新的加速方法,包括AA-NDA方法,AA-NDA(2)方法.将这两种加速方法应用到中子输运方程的源迭代过程中,并给出相关的算法表达式.
4.通过数值实验分析对比AA方法,NDA方法,AA-NDA方法,AA-NDA(2)方法对于源迭代方法的加速效果.
5.推导三维非结构网格情形下的中子输运方程的离散过程,用源迭代方法和Anderson 加速方法求解三维非结构网格下的中子输运方程,并给出相关的算法描述形式.
6.设计三维非结构网格情况下源迭代方法和Anderson加速方法的数值实验,在三维非结构网格情况下,验证Anderson加速方法对于源迭代过程的加速效果;设计并行情况下的数值实验,测试不同处理器核数情况下,AA方法和源迭代方法求解中子输运方程的数值结果.
S1.4论文的组织结构
本文分为七章.第一章绪论部分介绍了中子输运方程的背景,方程的求解方法及各类加速方法.第二章介绍了中子输运方程散射源的球谐函数展开及方程中各个变量的离散方法,其中能量离散采用多群近似方法;方向离散采用SN离散方法;空间离散采用菱形差分(迎风格式)方法.第三章介绍了中子输运方程的数值求解方法—源迭代方法,以及各类源迭代加速方法的研究现状.第四章介绍了Anderson加速方法(AA),非线性综合加速方法(NDA),以及在Anderson加速方法的基础上,结合NDA方法形成的AA-NDA方法和AA-NDA(2)方法.详细地描述了几类方法的算法形式,分析了几类方法的原理及特点.第五章介绍了一维情形下各类方法的数值实验结果,对比了AA方法,NDA方法,AA-NDA方法,AA-NDA(2)方法对源迭代的不同加速效果.第六章介绍了三维情形下中子输运方程的数值计算,重点介绍三维均匀矩形网格和三维非结构网格上输运方程的离散.第七章介绍了三维非结构网格情形下AA方法对源迭代过程的加速效果,且设计并行情形下的数值实验,测试不同
处理器核数情况下,源迭代方法及AA加速的源迭代方法求解中子输运方程的数值结果.
第二章中子输运方程及数值计算方法
S2.1散射源的球谐函数展开
中子输运方程是描述中子在系统内经过产生、迁移和消失达到的守恒关系.稳态情况下的中子输运方程为:
⃗Ω·∇ϕ+σ
t (E)ϕ=q(⃗r,E,⃗Ω)+
∫︁∞
∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω′→⃗Ω)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′)dE′d⃗Ω′
(2.1)
其中:E为能量变量,⃗Ω(θ,ϕ)为方向变量,⃗r(x,y,z)为位置变量,t为时间变量,ϕ=ϕ(⃗r,⃗Ω,E)为角通量密度,q为外源项,σt(E)为中子总截面,σs(⃗r,E′→E,⃗Ω→⃗Ω′)为中子从能量E′,方向⃗Ω′散射到能量E,方向⃗Ω的散射截面.散射概率函数为方程右端的第二项,代表散射中子通量,如式(2.2)所示:
∫︁∞0∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω′→⃗Ω)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′,t)dE′d⃗Ω′(2.2)
接下来的章节将介绍对散射概率函数的具体展开过程.因为展开过程中会涉及到一些多项式展开的基础知识,所以下面我们将对这些所需的基础知识进行简单介绍. S2.1.1球谐函数与Legendre多项式
对于一维情况下的散射概率函数,我们将对其中的散射截面σs以及中子角通量函数ϕ进行Legendre多项式展开.所以下面我们将介绍Legendre多项式的定义以及其正交性、递推性[16].
定义2.1.1在区间[−1,1]上,取权函数为ρ(x)≡1.由{1,x,x2,...,x n,···}正交化得到的多项式为勒让德(Legendre)多项式,记为P n(x),其表达形式为:
P0(x)=1,P n(x)=
1
2n n!
d n
dx n
(x2−1)n,n=1,2,...
P n(x)的前几项为:
P0(x)=1;
P1(x)=x;
P2(x)=(3x2−1)/2;
P3(x)=(5x3−3x)/2;
..
.
Legendre多项式具有以下重要的两个性质.这两个性质在中子输运方程的变形推导中将会用到.
性质2.1.1(正交性)任意两个Legendre多项式是正交的,即
∫︁1−1P n(x)P m(x)dx=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0,m=n;
2
2n+1
,m=n.
性质2.1.2(递推关系)Legendre多项式具有三项递推关系.
(n+1)P n+1(x)=(2n+1)xP n(x)−nP n−1(x),n=1,2,...
通过递推关系式,由P0(x)=1,P1(x)=x,可以得到
P2(x)=(3x2−1)/2,
P3(x)=(5x3−3x)/2,
P4(x)=(35x4−30x3+3)/8,
..
.
接下来介绍伴随Legendre多项式P m
n
的表达形式及递推关系式,这在球谐函数的介绍中将会用到.
定义2.1.2在球坐标系下求解拉普拉斯方程就可以得到伴随勒让德多项式,具体形式如下所示:
P m n (x)=
1
2n n!
(1−x2)m/2
d n+m
dx n+m
(x2−1)n m=0,1,...,n.
伴随勒让德多项式的前三项为:
P1 1(x)=(1−x2)1/2或者P1
1
(cosθ)=sinθ
P1 2(x)=3(1−x2)1/2x或者P1
2
(cosθ)=3sinθcosθ
P2 2(x)=3(1−x2)1/2或者P2
2
(cosθ)=3sin2θ
伴随勒让德多项式具有下述的递推关系:
性质2.1.3(递推关系)与勒让德多项式类似,伴随勒让德多项式具有如下递推关系:
xP m
n (x)=
1
2n+1
[︀
(n−m+1)P m
n+1
(x)+(n+m)P n−1(x)
]︀
(x2−1)dP m
n
(x)
dx
=nxP m
n
(x)−(n+m)P m
n−1
(x)
或者
sinθP m
n =
1
2n+1
[︀
(n−m+1)P m
n+1
+(n+m)P m
n−1
]︀
sinθP m
n
=
1
2n+1
(P m+1
n+1
−P m+1
n−1
)
对于三维情况下的散射概率函数,与一维情况类似,我们将对其中的散射截面σs以及中子角通量函数ϕ进行球谐函数多项式展开.所以下面我们介绍球谐函数及其相关的的定义以及正交性.
定义2.1.3形如以下形式的函数称为球谐函数:
Y n,m(⃗Ω)=Y n,m(θ,ϕ)=⎧
⎨
⎩
P|m|
n
(cosθ)sin|m|ϕ,m=−1,...,−n;
P m
n
(cosθ)cos mϕ,m=0,1,2,...,n,n=0,1,...
其中P m
n
为伴随勒让德多项式,向量⃗Ω由θ,ϕ两个变量表示.
球谐函数具有以下正交性的特点.这个性质在中子输运方程的变形推导中将会用到.
性质2.1.4球谐函数Y n,m(⃗Ω)的正交性:
∫︁ΩY n,m(⃗Ω)Y n′,m′(⃗Ω)d⃗Ω=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0,n′=n或m′=m;
2π
2n+1
(n+|m|)!
(n−|m|)!
(1+δm
),n′=n且m′=m.
其中δm
为克罗内克尔符号
δm 0=
⎧
⎨
⎩
0,m=0;
1,m=其他值.
S2.1.2一维情形下的散射概率函数的Legendre多项式展开
中子输运方程中散射项的计算比较复杂.散射项使得各个方向,不同频率的中子的计算耦合在一起.为了方便算法讨论与设计,可以将散射项用球谐函数(Legendre 多项式)进行展开.下面讨论散射项的球谐函数(Legendre多项式)展开方式.为了介绍方便,本小节先介绍空间一维情形下,散射项的Legendre多项式的展开.
在一维情况下,式(2.1)中的方向变量⃗Ω是由μ=cosθ来唯一表示.假设散射概率函数只跟散射前后的运动方向之间的夹角μ0=⃗Ω·⃗Ω′有关,则一维平面稳态中子输运方程可表示为:
μ·ðϕ
ðx
+σt(E)ϕ=q(x,E,μ)+
∫︁∞
∫︁4π
σs(x,E′→E,μ0)ϕ(x,E′,μ′)dE′dμ′(2.3)
式中散射概率函数为:
∫︁∞0∫︁4π
σs(x,E′→E,μ0)ϕ(x,E′,μ′)dE′dμ′(2.4)
对于一维问题,利用勒让德多项式展开散射概率函数中的散射截面σs,有:
σs(x,E′→E,μ0)=
∞
∑︁
l=0
2l+1
2
σsl(x,E′→E)P l(μ0)(2.5)
其中P l(μ0)为勒让德多项式,σsl(x,E′→E)为展开系数.展开系数由勒让德多项式的正交性求得.为计算具体的表达式,在(2.5)式两边分别乘以勒让德多项式P l(μ0),由正交性可得展开系数σsl的表达式,如下:
σsl(x,E→E′)=
∫︁1
−1
σs(x,E′→E)P l(μ0)dμ0
再利用勒让德多项式展开角通量函数ϕ(x,E,μ),可得:
ϕ(x,E,μ)=
∞
∑︁
l=0
2l+1
2
φl(x,E)P l(μ)(2.6)
其中φl(x,E)为ϕ(x,E,μ)的第l阶矩通量.为计算具体的表达式,在(2.6)式的两端分别乘以勒让德多项式P l(μ),由勒让德多项式的正交性,得到矩通量φl的表达式,如下:
φl(x,E)=
∫︁1
−1
ϕ(x,E,μ)P l(μ)dμ
将(2.5)式,(2.6)式代入散射函数(2.4)式中,得到Legendre多项式展开后的散射函数,如下:
∫︁∞0∫︁4π
σs(x,E′→E,μ0)ϕ(x,E′,μ′)dE′dμ′
=
∫︁∞
0∫︁4π
∞
∑︁
l=0
2l+1
2
σsl(x,E′→E)P l(μ0)×
∞
∑︁
l=0
2l+1
2
φl(x,E)P l(μ)dE′dμ′
=
∫︁∞∑︁
l=02l+1
2
σsl(x,E→E′)φl(x,E)P l(μ)dE′(2.7)
将(2.7)式代入到(2.3)式中,得到散射源Legendre多项式展开后的一维中子输运方程:
μ·ðϕ
ðx
+σt(E)ϕ=q(x,E,μ)+
∫︁∞
∞
∑︁
l=0
2n+1
2
σsl(x,E→E′)φl(x,E)P l(μ)dE′(2.8)
S2.1.3三维情形下的散射概率函数的球谐函数展开
三维情形下,散射概率函数的球谐函数展开方式与一维类似.仍假设散射概率函数只跟散射前后的运动方向之间的夹角μ0=⃗Ω·⃗Ω′有关,即散射概率函数可以表示为:
∫︁∞0∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,μ0)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′)dE′d⃗Ω′(2.9)
其中的散射截面可以表示为:
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω→⃗Ω′)=σs(⃗r,E′→E,μ0)利用勒让德多项式展开上式:
σs(⃗r,E′→E,μ0)=
∞
∑︁
l=0
2l+1
2
σsl(⃗r,E′→E)P l(μ0)(2.10)
其中P l(μ0)为勒让德多项式,σsl(⃗r,E′→E)为展开系数.在(2.10)式两边分别乘以P l(μ0),由Legendre多项式的正交性可得展开系数σsl的表达式,如下:
σsl(⃗r,E→E′)=
∫︁1
−1
σs(⃗r,E′→E,μ0)P l(μ0)dμ0
进一步利用球谐函数展开角通量函数ϕ(⃗r,E,⃗Ω),有
ϕ(⃗r,E,⃗Ω)=ϕ(⃗r,E,θ,ϕ)=
∞
∑︁
n=0
(2n+1)
4π
∞
∑︁
m=−n
φn,m Y n,m(θ,ϕ)(2.11)
其中Y n,m为球谐函数,φn,m为展开系数,由下式决定:
φn,m=∫︁
⃗Ω
ϕ(⃗r,E,⃗Ω)Y(⃗Ω)d⃗Ω
图2.1:能量分群示意图
将(2.10)式,(2.11)式分别带入(2.9)式中,利用勒让德多项式加法公式及正交性可以得到:
∫︁∞0∫︁4π
σs(⃗r,E′→E,⃗Ω→⃗Ω′)ϕ(⃗r,E′,⃗Ω′)dE′d⃗Ω′=
∞
∑︁
n=0
(2n+1)
4π
∞
∑︁
m=−n
Y n,m(θ,ϕ)
∫︁
dE′σsl(⃗r,E′→E)φn,m
(2.12)
将式(2.12)代入到(2.1)式中,得到散射源球谐函数展开后的三维中子输运方程:
⃗Ω·∇ϕ+σ
t (E)ϕ=q(⃗r,E,⃗Ω)+
∞
∑︁
n=0
(2n+1)
4π
∞
∑︁
m=−n
Y n,m(θ,ϕ)
∫︁
dE′σsl(⃗r,E′→E)φn,m
(2.13)
S2.2中子输运方程的频率(能量)离散与多群近似
数值求解中子输运方程之前,要对各个维度的变量进行离散[22].由于中子输运方程的多变量(能量,方向,空间)的特点,所以中子输运方程的变量离散十分重要.本小节我们研究能量变量的离散过程.对于能量变量,我们一般采用多群近似进行离散.多群近似是对连续的能量范围[E min,E max]进行若干的划分,其中每一个区间称为一个群,如图2.1所示.
为了方便介绍能量变量的离散过程,减少数学上的麻烦,便于了解方法的步骤及形式,我们以一维情形下的中子输运方程为例介绍多群近似的过程.上一小节我们得到了散射源球谐函数展开后的一维中子输运方程:
μ·ðϕ
ðx
+σt(E)ϕ=q(x,E,μ)+
∫︁∞
∞
∑︁
l=0
2n+1
2
σsl(x,E→E′)φl(x,E)P l(μ)dE′
(2.14)。