2025年高考数学一轮复习-第四板块-概率与统计-微专题(三)三种常见的概率分布【课件】

切入点
先求其对立事件的概率
隐藏点 分别求甲、乙两同学得分的分布列及均值
迁移点 比较甲、乙两同学得分的均值的大小
[解] (1)设甲同学三道题都答对的事件为 A，则 P(A)＝45×23×25＝1765， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为 P＝1－P(A)＝1－1765＝5795. (2)设甲同学本次竞赛中得分为 X，则 X 的可能取值为 0,2,4,6,8， 则 P(X＝0)＝15×13×35＝215， P(X＝2)＝45×13×35＋15×23×35＝265， P(X＝4)＝45×23×35＋15×13×25＝2765， P(X＝6)＝45×13×25＋15×23×25＝245，
命题点(二) 超几何分布
[典例] (2022·许昌二模)“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体
育锻炼的时间，某研究人员随机调查了 600 名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间 t/min [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
所以 E(Y)＝1825×0＋12245×2＋265×4＋13265×6＋12275×8＝254，
因为6185<254，所以乙的得分能力更强．
方法技巧 利用二项分布解题的一般步骤
(1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)找到参数n，p； (4)写出二项分布的概率表达式； (5)求解相关概率．
P(Y＝0)＝253＝1825，
P(Y＝2)＝C12×35×252＝12245， P(Y＝4)＝352×25＋35×252＝265， P(Y＝6)＝C12×25×352＝13265， P(Y＝8)＝353＝12275， 所以 Y 的分布列为
Y02468
P
8 24 6 36 27 125 125 25 125 125
[解] (1)根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)， [8.5,9.5),[9.5 ， 10.5) ， [10.5,11.5) ， [11.5,12.5] 内 的 频 率 分 别 为 0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，
P
1 6
1 2
故 E(ξ)＝1×12＋2×130＋3×310＝65.
针对训练 (2022·南京模拟)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床 进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)． (1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取 4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及数学 期望E(ξ)； (2)若新机床生产的零件直径X～N(120,4)，从生产的零件中随机取出10个，求至 少有一个零件直径大于124 mm的概率． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5， P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4,0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.
故 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
13 30 10
1 2
1 6
则 E(X)＝1×130＋2×12＋3×16＝95.
命题点(三) 正态分布 [典例] (2022·湖北联考)为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全 民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情 况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率 分布直方图：
频率
0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这 600 名学生周末体育锻炼时间的平均数 t (同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表)；
(2)在这 600 人中，用分层随机抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内
的学生中抽取 15 人，再从这 15 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中周末体育锻炼时
x ＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9， s2 ＝ (6 － 9)2×0.03 ＋ (7 － 9)2×0.1 ＋ (8 － 9)2×0.2 ＋ (9 － 9)2×0.35 ＋ (10 － 9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78， 所以样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为 9,1.78.
P(X＝8)＝45×23×25＝1765， 所以 X 的分布列为
X0 2 4 6 8
P
1 6 26 4 16 25 25 75 25 75
所以 E(X)＝215×0＋265×2＋2765×4＋245×6＋1765×8＝6185.
设乙同学本次竞赛中得分为 Y，则 Y 的可能取值为 0,2,4,6,8，
针对训练
(2022·茂名一模)为了增强学生体质，某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为 了了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调 查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表 示对乒乓球运动没有兴趣． (1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣 与性别有关”？
间在[50,60)内的人数为 X，求 X 的分布列以及数学期望 E(X)．
[关键点拨]
切入点 根据平均数的定义求平均数
迁移点
超几何分布
[解] (1)估计这 600 名学生周末体育锻炼时间的平均数 t ＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5. (2)依题意，周末体育锻炼时间在[40,50)内的学生抽 6 人，在[50,60)内的学生 抽 9 人， 则 P(X＝0)＝CC31365＝941，P(X＝1)＝CC26C31519＝2971，
有兴趣 没兴趣 男 女 合计
合计
(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行．第一阶段的比赛赛
制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第
二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以 2∶0 取胜的同学积 3 分，负
的同学积 0 分；以 2∶1 取胜的同学积 2 分，负的同学积 1 分．其中，小强同学
(2)①由题意知 μ＝9，σ2＝1.78，则有 X～N(9,1.78)， σ＝ 1.78＝ 11078≈43， P(X≤10)＝P(Y≤0.75)＝0.773 4. ②由①知 P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，可得 Z～B(20,0.226 6)， 所以 Z 的均值 E(Z)＝20×0.226 6＝4概率为C26CC14＋310 C36＝601＋2020＝23； 乙测试合格的概率为C28CC12＋310 C38＝561＋2056＝1145. 故甲、乙两人都测试合格的概率为23×1145＝2485， 则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 1－2485＝1475. (2)由题可知，甲答对的试题数 X 可以取 0,1,2,3， P(X＝0)＝CC31340＝1420＝310，P(X＝1)＝CC16C31024＝13260＝130， P(X＝2)＝CC26C13014＝16200＝12，P(X＝3)＝CC31360＝12200＝16，
3.841
解：(1)由题意得到如下的 2×2 列联表，
有兴趣 没兴趣 合计
男
85
15
100
女
80
20
100
合计 165
35
200
所以 χ2＝2106058×5×352×0－10800××110502≈0.866，
因为 0.866<2.706，所以没有 90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别 有关”．
方法技巧 正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线 关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ， σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ) 中的哪一个．
(1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组数据 用该组区间的中点值代表)；
(2)由频率分布直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间 x 大致服从 正态分布 N(μ，σ2)，其中 μ 近似为样本平均数 x ，σ2 近似为样本方差 s2.
①一般正态分布 N(μ，σ)的概率都可以转化为标准正态分布 N(0,1)的概率进 行计算：若 X～N(μ，σ2)，令 Y＝X－σ μ，则 Y～N(0,1)，且 P(X≤a)＝PY≤a－σ μ， 利用直方图得到的正态分布，求 PX≤10；
针对训练
(2022·漳州质检)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务 等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道，规定每次测 试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每 位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的．若甲能答对其中的6道题，乙能 答对其中的8道题．求： (1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望．
②从该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时 间超过 10 小时的人数，求 Z 的均值．
参考数据： 178≈430，若 Y～N0，1，则 P(Y≤0.75)＝0.773 4.
[关键点拨]
切入点 隐藏点 迁移点
利用频率分布直方图计算平均数和方差 二项分布的期望公式
一般正态分布转化为标准正态分布
微专题(三) 三种常见的概率分布
命题点(一) 二项分布 [典例] (2022·韶关测试)在某校开展的知识竞赛活动中，共有 A，B，C 三 道题，答对 A，B，C 分别得 2 分、2 分、4 分，答错不得分．已知甲同学答对 问题 A，B，C 的概率分别为45，23，25，乙同学答对问题 A，B，C 的概率均为35， 甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立． (1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率； (2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强． [关键点拨]
解：(1)由题意 ξ 的取值为 0,1,2,3， P(ξ＝0)＝CC47C41003＝23150＝16， P(ξ＝1)＝CC37C41013＝120150＝12， P(ξ＝2)＝CC27C41023＝26130＝130， P(ξ＝3)＝CC17C41033＝2710＝310，
所以 ξ 的分布列为
ξ01
和小明同学的比赛备受关注，设每局小强同学取胜的概率为 P＝23，记小强同学
所得积分为 X, 求 X 的分布列和期望．
附表：
P(χ2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050
k0
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706
参考公式：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d(n＝a＋b＋c＋d)．
(2)由题意知，X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝1－232＝19， P(X＝1)＝C12×23×1－232＝247， P(X＝2)＝C12×23×1－23×23＝287， P(X＝3)＝232＝49， 所以 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1484 9 27 27 9
所以期望 E(X)＝0×19＋1×247＋2×287＋3×49＝5267.
P(X＝2)＝CC16C13529＝241565，P(X＝3)＝CC31395＝1625， 故 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
4 27 216 12 91 91 455 65
则 E(X)＝0×941＋1×2971＋2×241565＋3×1625＝95.
方法技巧 求超几何分布的分布列的步骤
(1)对于超几何分布，首先要确定参数N，M，n的值； (2)明确随机变量的所有可能取值，以及随机变量取每一个值时对应的k值； (3)将k的值一一代入超几何分布的概率计算公式，求出对应概率； (4)写出分布列．