江苏省兴化市楚水实验学校高三数学周测试卷三

楚水实验学校2015届高三数学周测试卷三（10.25）
参考公式：
柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．
锥体的体积公式：V 锥体=13Sh
，其中S 是锥体的底面积，h 是高．
一、填空题 (本大题共14小题，共70分．请将答案填写在答题纸相应的位置) 1．已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，则A B =U ▲ ．
2．若复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z = ▲ ． 3．已知向量
()()
1,1,2,2m n λλ=+=+u r r
，若
(
)(
)m n m n
+⊥-u r r u r r ，则=λ ▲ ．
4．函数
22
()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ▲ ． 5．已知函数
b ax ax x g ++-=12)(2
(0>a )在区间]3,2[上有最大值4和最小值1， 则b a +的值为 ▲ ． 6．在等差数列
{}n a 中，563a a +=，15166a a +=，则3536a a += ▲ ．
7．若直线y x m =+与曲线ln y x =相切，则实数m 的值为 ▲ ．
8．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为 ▲ ．
9．如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积为 ▲ ． 10．已知△ABC 中，∠C=90°，34CA CB ==，，D E 、分别 为边CA CB 、上的点，且6BD CA ⋅=u u u r u u u r
，8
AE CB ⋅=u u u r u u u r ，
则
AE BD ⋅=u u u r u u u r
▲ ． 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1324412a a a a S +=++=，，则数列{}n a 的 公比q 为 ▲ ．
12．定义在
[)1+∞,
上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈, 时，()13f x x =--，
(第9题图)
A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
则集合
{}
()(20)x f x f =中的最小元素是 ▲ ．
13．对于函数)(x f y =，若存在区间],[b a ，当],[b a x ∈时的值域为)0](,[>k kb ka ，则称)(x f y =为k 倍值函数。

若x x x f +=ln )(是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
已知00x y >>，，且满足
18
102y x x y +
++=，则2x y +的最大值为 ▲ ．
解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤 )
（本题满分14分）
已知集合A=
{}
2
|230x x
x --<，B=
{}|(1)(1)0x x m x m -+--≥，
（1）当0m =时，求A B ⋂;
（2）若p ：2
230x x --<，q ：(1)(1)0x m x m -+--≥，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的
取值范围。

16．（本题满分14分）
如图，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．
（1）若平面ABC ⊥平面BCC1B1，求证：AD ⊥DC1；
（2）求证：A1B//平面ADC1．
17.（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．
（1）若
32BA BC =
u u u r u u u r g
，b =a c +的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．
A
B
C D A 1 B 1
C 1 (第16题图)
18．(本题满分16分)
一张长方形纸片ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，将纸片沿着一条直线折叠，折痕 (线段MN)将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，（S1≤S2）其中点A 在面积 为S1的部分内．记折痕长为lcm ． （1）若l ＝4，求S1的最大值；
（2）若S1∶S2＝1∶2，求l 的取值范围．
（本题满分16分）
已知函数
x a x x f ln )(2
+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
20．（本题满分16分）
在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)n n n P
x y P x y P x y L L ，对一切正整数n ，点n P 位于函数
13
34y x =+
的图象上，且n P 的横坐标构成以52-
为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．
（1）求点n P 的坐标； （2）设抛物线列
Λ
Λ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线
n
c 的顶点为n P ，
且过点2
(0,1)n D n +，设与抛物线n c 相切于n D 的直线斜率为n k
，
求12
231111n n k k k k k k -+++L ； （3）设
{}|2,n S x x x n ==∈*N ，
{}
*|4,n T y y y n N ==∈，等差数列{
n
a }的任一项
T
S a n ⋂∈，
其中1a 是S T ⋂中的最大数，10265125a -<<-，求{n a
}的通项公式.
楚水实验学校2015届高三数学周测试卷三（10.25） 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．_____________ 2．_____________ 3．_____________ 4．_____________ 5．_____________ 6．_____________ 7．_____________ 8．_____________ 9．_____________ 10．____________ 11．_____________12．____________ 13．____________ 14．____________
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15
16 班级________________ 姓名____________________ 考试号__________________
-------------------密---------------------------------------封----------------------------线---------------------------------
17
18
19
座位号
20
楚水实验学校2015届高三数学周测试卷三参考答案（10.25） 1．{2,1,2,3--} 2． 1i + 3．3-； 4．π； 5． 1；
6．12； 7．1-； 8．2或1-； 9．； 10．14-；
11．1
3； 12．12； 13．
)
11,1(e +； 14．18。

15．解：（1）
{}{}
2|230|13A x x x x x =--<=-<<，………………………3分
{}{}|(1)(1)0|11B x x x x x x =+-≥=≥≤-或……………………………………6分
{}
|13A B x x ∴⋂=≤< ……………………………………………………………7分
（2） p 为：(1,3)-………………………………………………………………9分 而q 为： (,1][1,)m m -∞-⋃++∞， …………………………………………11分 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ⇒………………………………………12分 所以 11m +≤-或13m -≥ ⇒ 4m ≥或2m ≤-
即实数m 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞。

………………………………14分 16．证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ．
因为平面ABC ⊥平面BCC1B1，平面ABC ∩平面BCC1B1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面BCC1B1． …………………5分 A 1
C 1
（2）连结A1C ，交AC1于点O ，连结OD ， 则O 为A1C 的中点． 因为D 为BC 的中点，所以OD//A1B ． …………………11分 因为OD ⊂平面ADC1，A1B /⊂平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1． …………………14分
17. 解：(1) ,,A B C Q 成等差数列,
3B π
∴= 33
,accos 22BA BC B ⋅=∴=
u u u r u u u r Q 13
ac ,22∴=即ac 3= ……………4分
2223,2cos b b a c ac B ==+-Q 223a c ac ∴+-= ， 即 2()33a c ac +-=
∴2
()12a c +=，所以23a c += ……………7分
（2）2
2sin sin 2sin()sin 3A C C C
π-=-- ……………8分
31
2(
cos sin )sin 3cos 22C C C C =+-= ………10分
23
0,3cos (,3)
3C C π<<∴∈-Q …………12分
2sin sin A C ∴-的取值范围是
3
(,3)2-
………14分
18．解 如图所示，折痕有下列三种情形：
①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①． 设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则x2＋y2＝16． …………… 2分 因为x2＋y2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S1＝1
2
xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．
即S1的最大值为4． ……… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．
因为S1∶S2＝1∶2，S1≤S2，所以S1＝16，S2＝32．
当折痕是情形①时，设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则12xy ＝16，即y ＝32
x
．
A B C D （情形①）
M N A B C D （情形②） M N A B C D （情形③） M N
由⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．
所以l ＝x2＋y2＝
x2＋322x2，16
3
≤x ≤8． ……… 8分
设f(x)＝x2＋322
，x ＞0，则f ′(x)＝2x －2×322＝2(x2＋32)(x ＋42)(x －42)，x ＞0．故
所以当折痕是情形②时，设AM ＝xcm ，DN ＝ycm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝16
3
－x ．
由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，
得0≤x ≤16
3
．
所以l ＝62＋(x －y)2＝
62＋4(x －83)2，0≤x ≤16
3
．
所以l 的范围为[6，2145
3
]； ……… 13分
当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ycm ，则1
2
(x ＋y)×8＝16，即y ＝4－x ．
由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，
得0≤x ≤4． 所以l ＝82＋(x －y)2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4． 所以l 的取值范围为[8，45]．
综上，l 的取值范围为[6，45]． ……… 16分
(注：只要函数表达式正确，定义域未求或是求错，不影响答案的，各扣一分)
19. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x ，0)
1(2)(2>-='x x x f ，
故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………4分
（2）)0(2)(2>+='x x a
x x f ，当],1[e x ∈，
]2,2[22
2e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='
x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此
时=min )]([x f 1)1(=f ． …………………………………6分
a
x -=
0)(='x f 1a
x -<
≤0)(<'x f )(x f
是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．故
=min )]([x f )
2(a
f - 2)2ln(2a
a a --=
．
若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='
x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2
e a +．………………………………8分
综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222
-<<-a e 时，)(x f
的最小值为2)2ln(2
a
a a --，相应的x 值为2a -；当2
2e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ．…………………………………………………………10分
（3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为
x x x x a 2)ln (2
-≥-． ∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，
因而
x x x
x a ln 22--≥
（],1[e x ∈）………………………………………………12分 令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2
)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…………………14分
当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'
x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，
故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ……………16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）53
(1)(1)22n x n n =-+-⨯-=--
1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+
=--∴---- ……………4分
（2）n
c Θ的对称轴垂直于x 轴，且顶点为
n
P ．∴设
n
c 的方程为
223125
(),24n n y a x ++=+
-
把
)
1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：
22
(23)1y x n x n =++++．
11 32|0'+===n y k x n ，11
1111
()
(21)(23)22123n n k k n n n n -∴==-++++
122311
11n n k k k k k k -∴+++L 1111
1
11
[()()()]
257792123n n =-+-++-++L =111111
()252310461015n n n n --=-=+++. …………10分
（3）{|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥，
{|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴=I T 中最大数117a =-．
设}{n a 公差为d ，则10179(265,125)a d =-+∈--，由此得： *248
12,12()9N n d a T d m m -<<-∈∴=-∈Q 又
*24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈ …………………………16分。