2020届江苏省南京市高三9月学情调研数学试题

2020届江苏省南京市高三9月学情调研数学试题
一、填空题 1．函数()1f x x =-的定义域是
【答案】[1,)+∞
【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 【考点】函数定义域
2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 【答案】10 【解析】【详解】
(2)1z i i -=+，
11323,i i
z i i i
++∴=
+==- 10z =，故答案为10.
3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．
【答案】4
【解析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】
第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.
【点睛】
本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算.
4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______
【答案】0.018
【解析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】
因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】
2
3
【解析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】
甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有2
3A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率
62=93
P =.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：
P =
待求事件包含的基本事件个数
可能出现的事件总数
.
6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm 【答案】3
【解析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】
圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：
34=3
V r π球，所以3
4363r ππ=，解得3r =.
【点睛】
圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：3
43
V r π=
. 7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条准线与两条渐近
线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．
【解析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】
由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以
tan 303
b a =︒=
，则
c e a ===
.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．若函数()2sin()(0)6f x x π
ωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2
x π
∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］
【解析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】 因为2||T ππω=
=，所以2ω=，则()2sin(2)6
f x x π
=-； 又[0,]2
x π∈ ，所以5(2)[,]6
66
x π
ππ
-∈-
，
则max ()2sin
22f x π
==，min ()2sin()16
f x π
=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.
【点睛】
本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.
9．若锐角α满足tan （α＋
4
π
）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____． 【答案】
34
【解析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】 由题意可知：
1tan 3tan 11tan α
αα+=+-，则1tan 3
α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则
22122tan 33tan 211tan 4
1()3
ααα⨯
==
=--. 【点睛】
常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，
sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan α
αα
=
-.
10．已知函数()1||
x
f x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】（1，＋∞）
【解析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】
()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||
x
f x f x x -=-
=-+，所以()f x 是奇函数；
又因为0x >时1()111
x f x x x =
=-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，则有
32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.
【点睛】
解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.
11．等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______． 【答案】20
【解析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值. 【详解】
因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以
531a =；
则5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)
40(20)4002
n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，则20n =时，n S 有最大值，即20k =. 【点睛】
（1）等差数列性质：若2m n p q c +=+=，则2m n p q c a a a a a +=+=；
（2）等差数列{}n a 中，若10,0a d ><，则n S 有最大值；若10,0a d <>，则n S 有最小值.
12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23
π，则CP CA 的值为______． 【答案】6
【解析】现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CP CA 化简到可利用||||CA CB 、直接进行计算即可. 【详解】
如图所示，1()2CP CA CB =
+，则22211
()||||4344
CP CA CB CB CB =+=-+=，
所以||2CB =；又2111
()||8(2)6222
CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】
几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用已知量直接进行计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.
13．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：
22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆
N 有公共点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】［－2，2］
【解析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】
根据题意可知：圆2
2
()
(2)9x a y a -+-=与圆2
2
(2)(1)4x y -++=有交点，则
5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.
【点睛】
解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解.
14．已知函数32()31f x x x =-+，2211,0
()1,04
x x g x x x x ⎧-+⎪
=⎨--≤⎪⎩＞.若函数[]()y g f x a
=-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为______． 【答案】（
3
4
，2） 【解析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围. 【详解】
作出()f x 、()g x 图象如下：
因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，则()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-； 当3t =-时，3
(3)4
a g =-=
，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4
a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点. 【点睛】
涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.
15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin 2B 2bsinA . （1）求B 的大小； （2）若cosC 5
，求sin()A C -的值． 【答案】（1）4
B π
=
；（2）2
sin()10
A C -=
【解析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；
（2）利用A B C π++=计算A 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解.
【详解】
解：（1）由正弦定理得：sin sin 22sin sin A B B A =
即2sin sin cos 2sin sin ()A B B B A =*
∵A ，B ∈(0，π) ∴()可化简为2
cos 2
B =
∴4
B π
=
(2）由(1)知2cos 2
B =
，可得2
sin 2B = ∵5
cos 0C =
＞，C ∈(0，π) ∴25
sin 0C =
＞ []cos cos ()cos()cos cos sin sin A B C B C B C C B π=-+=-+=-+
2525210
=-
⨯+⨯=
∵A ∈(0，π) ∴310
sin 10
A =
310525102
sin()sin cos sin cos 10551010
A C A C C A -=-=
⨯-⨯=
【点睛】
（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：A B C π++=，要注意使用.
16．如图，在三梭柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点．
（1）求证：AF ∥平面B 1CE ；
（2）若A 1B 1⊥1B C ,求证：平面B 1CE ⊥平面ABC . 【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】（1）先通过证1//AF B E ，由线线平行经过判定定理得到线面平行； （2）由线线垂直1(,)AB B C AB EC ⊥⊥经过判定定理得到线面垂直11(A B ⊥平面
)ABC ，再由面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】
（1）证：在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1 ，AB=A 1B 1 ∵E ，F 是AB ，A 1B 1的中点 ∴FB 1∥
12A 1B 1，AE ∥12AB ，FB 1=12A 1B 1，AE =1
2AB ∴FB 1∥
12AE ，FB 1=1
2
AE ，四边形FB 1EA 为平行四边形 ∴AF ∥EB 1
又∵AF ⊄平面B 1CE ，EB 1⊂平面B 1CE ，∴AF ∥平面B 1CE (2）证：由(1)知，AB ∥A 1B 1 ∵A 1B 1⊥B 1C ∴AB ⊥B 1C
又∵E 为等腰ΔABC 的中点 ∴AB ⊥EC 又∵EC∩B 1C=C AB ⊥B 1C ∴AB ⊥平面B 1CE 又∵AB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面B 1CE 【点睛】
（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；
（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
17．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为A ，B ，点（
2
a
，3e )和(b ，3e ）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：OB PQ ⋅为定值．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见证明 【解析】（1）将点的坐标代入方程，联立求解；
（2）设出C 点坐标，然后求解出P Q 、的坐标，最后利用向量数量积的坐标表示计算结果得出定值. 【详解】
（1）由题意知：2
222
22
191431e b
b e a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合222a b
c =+ 解得2a =，3b =
1c =.
所以椭圆的标准方程为：22
143
x y +=.
(2）由题意知：A (-2，0)，B (2，0)，O (0，0)，设C (0x ，0y )，则P (
022x +，02
y
) AC l :00(2)2y y x x =
++，PQ l :000022()22
x x y
y x x y -+=-+ 化简得：PQ l ：00026
x y
y x y -=
- 连理AC ，PQ 直线的方程，解得Q 000014(18),22(2)x y x x ⎛⎫
++
⎪+⎝⎭
所以(2,0)(6,)12P Q OB PQ y y ⋅=⋅-=.
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的椭圆方程以及定值问题，难度一般.对于求解方程，将满足条件的等式联立即可直接求解；定值问题中最难的就是如何将待求的式子表示出来，当能正确表示的时候，即可进行计算，中间可能会借助点自身满足的关系式进行化简.
二、解答题
18．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：
()()2
1800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩
，其中t N ∈.
(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920
100p t Q t
-=
-（单位：元），问当发
车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益． 【答案】（1）t =4.（2）当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.
【解析】（1）分段考虑()1500p t ≤的解；
（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t 的范围内的最大值. 【详解】
解: （1）9≤t ≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去. 4≤t <9时，1800-15(9-t )2≤1500，即218610t t -+≥ 解得t
舍)或t≤9
∵4≤t <9，t ∈N. ∴t =4.
(2）由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t N t
Q t t N t
⎧
-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩
4≤t <9，t =7
时，1520Q ≤-=260(元) 9≤t ≤15，t =9时，2880
1009
Q ≤
-=220(元) 答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.
(2)问当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】
处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.
19．已知函数2()2ln ,,f x x ax bx a b R =+-∈
(1）若曲线()y f x =在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实教a ，b 的值． (2）若a ＝0，且()f x ≤－2对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围． (3）若b ＝4，求函数()f x 的单调区间．
【答案】（1）1a =，2b =.（2）2b ≥；（3）当a =0时，()f x 的增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，减
区间为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭；当0a ＜时，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为
⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为
1a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
；当1a ≥时()f x 在(0,)+∞上单调递增.
【解析】（1）根据切线斜率以及函数值，得出等量关系后联立求解； （2）采用分离参数法，构造新函数完成求解；
（3）分析导函数中a 的取值，采用分类的思想求解()f x 的单调区间. 【详解】 （1）2
()2f x ax b x
'=
+-，由题意知，(1)1f a b =-=-，(1)222f a b '=+-= 解得1a =，2b =.
(2）由题意知，2ln 2x bx -≤-恒成立，整理得2ln 2
x b x
+≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立. 设2ln 2()x g x x
+=
，则2
ln ()x
g x x -'=，令()0g x '=，解得1x =. 且当(0,1)x ∈时，()0g x '＞，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '＜
所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即max ()(1)2g x g == 所以2b ≥.
(3)当b =4时，2
()2ln 4f x x ax x =+-，则22242
()24ax x f x ax x x
-+'=+-=
设2
()242h x ax x =-+ ①当a =0，()0h x '＜的解集为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
所以()f x 的增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，减区间为1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
.
②当0a ＜时，()0h x '＜的解集为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为⎛ ⎝⎭
所以()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
. ③当0a ＞时，161616(1)a a ∆=-=-
若1a ≥，则0∆≤，所以()0h x '＜恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增.
若01a ＜＜，则()0h x '＜的解集为⎝⎭
()0h x '＞的解集为11⎛⎛⎫
+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以()f x 的增区间为10,a ⎛ ⎝⎭，减区间为1a ⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为
11,a a ⎛+ ⎝⎭
. 【点睛】
（1）根据切线方程求解参数的方法：①导数值等于斜率值；②()f x 的函数值等于切线方程的y 值；
（2）根据不等式恒成立，求解参数范围的方法：①分离参数法（构造新函数，分析参数范围）；②分类讨论法（从临界点出发，求解参数范围）. 20．已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n
S n ｝是以12
为公差的等差数列·
（1）求数列｛n a ｝的通项公式；
（2）设2n
n n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，
①求证：数列｛
n
T n
｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()
m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．
【答案】（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1.
【解析】（1）先求解等差数列{
}n
S n
的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据
1
1(0)n n T n c c T n
++=≠，证明{}n T n 为等
比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】
（1）因为12a =，所以1
21
S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+
即213
22
n S n n ==+
当2n ≥时，2
211311(1)(1)12222
n S n n n -=-+-=+-
∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥
当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *
=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)n
n b n =+ 所以23222324...2(1)n
n T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则2341
2222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得1
2n n T n +=⋅
∴+1
2n n T n =，
+12+1n n T n n T ⋅=，且141
T =
所以数列n T n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为首项，2为公比的等比数列.
②由①可知，1
2n n T n +=⋅，且由（1）知213
22n S n n ==
+，代入()()m m n n
T m S T n S λλ+=
+ 可得
21
1
21322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫
++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
整理得22
232232m n m m n n λλ
++=++ 即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n n
n n c λ++=，则m n c c = 则222111
(1)3(1)23224
222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，211
24
02
n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且24514
316
028
8
c c λλλ+++-=-
=
≥ 所以2(5)n c c n ≥＞
所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1. 【点睛】
（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等
比数列）的形式；
（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.
21．已知二阶矩阵2331A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
(1）求1A -；
(2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C'：x 2一3y 2＝1，求曲线C 的方程．
【答案】（1）1
13441122A -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）22681y x -= 【解析】（1）求逆矩阵，直接利用逆矩阵计算公式计算即可；
（2）设出C C '、上点的坐标，然后根据矩阵A 的对应变换得到坐标间的关系，最后利用C '的方程求解C 的方程. 【详解】
解：（1）设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，代入数值则1
1
34
41
122d
b ad b
c a
d bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎡⎤
-
⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦ (2）设C 上任意一点（x ，y ），对应C′上任意一点（x′，y′）
2323212+x x y x y x y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得232x x y
y x y
=+⎧⎨
=+''⎩ 又2
2
2
2
31(23)3(2)1x y x y x y ''-=⇒+-+= 整理得C ：2
2
681y x -= 【点睛】
（1）矩阵逆的计算可以选择公式法计算，也可以按照1AA -等于单位矩阵去计算； （2）对于坐标变换的问题，首先需要清楚已知点坐标和待求点坐标的关系，不能将二者弄混淆了，其次就是根据已知的方程求解未知的方程.
22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：41x t
y at =⎧⎨=+⎩
(t 为参数，a 为常数），曲线
C :2cos sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
(θ为参数)．若曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的
值．
【答案】3a =
【解析】根据圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径. 【详解】
解：由条件可知l ：440ax y -+=，C ：2
2
(2)1x y -+=
则圆心到直线的距离：2
2431
2316
C l a d a a -+==-=⇒=+
【点睛】
直线的参数方程化为一般方程：消去参数；圆的参数方程化为直角坐标方程：根据
22sin cos 1θθ+=化简.
23．解不等式22|1|6x x +-< 【答案】{}
152x x -＜＜
【解析】分析绝对值部分，采用零点分段的方法求解不等式. 【详解】 解：①2
1(15,1)226
x x x x ⎧⇒∈-⎨
-+⎩＜
＜ ②[)2
1
1,2226x x x x ≥⎧⇒∈⎨-+⎩
＜ 故不等式的解集为：{}
152x x -＜＜. 【点睛】
解含绝对值的不等式的方法：（1）零点分段法；（2）几何意义法；（3）函数图象法. 24．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，且DF ⊥CE .
(1）求AB 的长；
(2）求直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值． 【答案】（1）AB =22（2242
【解析】（1）建立合适空间直角坐标系，设出B 点坐标，根据DF CE ⊥求解AB 的值； （2）求出平面DEF 的法向量n ，根据|cos ,|sin CF n θ<>=计算线面角的正弦值. 【详解】
解：（1）以A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系
P (0，0，2)，D (0，2，0)，设B (2a ，0，0)，则C (2a ，2，0)，E (0，0，1)，F (A ，0，0)，
0a ＞.
(,2,0)DF a =-，(2,2,1)CE a =--
∵DF ⊥CE
∴2240DF CE a ⋅=-+=
∴a =
AB
=(2）由(1）知，(2,2,0)DF =-，(2,0,1)EF =
-，(2,0)CF =--
设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =
220
20
n DF x y n EF x z ⎧⋅=-=⎪⎨
⋅=-=⎪⎩ 解得2
12x y z ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
∴(2,1,2)n =
设直线CF 与平面DEF 所成角为θ
2sin cos ,21
CF n CF n CF n
θ⋅==
=
【点睛】
求解线面角的正弦值时，当求解完已知向量和法向量夹角的余弦后，需要对结果增加一个绝对值，这样才能保证线面角的正弦值是正值，这一点需要注意.
25．已知集合A ＝｛1，2，3，4｝和集合B ＝｛1，2，3，…，n ｝，其中n ≥5，*n N ∈．从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示．记X ＝T －S.
(1）当n ＝5时，求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X ； (2）求(3)P X n =-．
【答案】（1）概率分布见解析，13
()4
E X =
（2）3(3)(27)(3)2(1)(2)n n P X n n n n --=-=
-- 【解析】（1）当5n =时，分别考虑T S 、的取值情况，再分析X T S =-的概率分布； （2）考虑3X n =-的可能组成情况，对每一种情况进行概率计算然后概率结果相加得
到(3)P X n =-. 【详解】
解：（1）当n=5时，B={1，2，3，4，5} 由题意可知，A =1或2，T=3或4或5 则X=T-S=1或2或3或4.
则随机变量X 的概率分布为33
4511
(1)40
P X C C ==
=⋅ 23334523
(2)20
C P X C C ===⋅
222
33433
453
(3)8C C C P X C C ⋅+===⋅ 223433459
(4)20
C C P X C C ⋅===⋅
随机变量X 的数学期望113913()123410408204
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. (2）因为X=T-S=n -3，所以S=1，T=n-2或S =2，T=n -1 所以
2223
32
33
4
(3)(4)(2)(3)
33(3)(27)22(3)(1)(2)2(1)(2)42
n n n
n n n n C C C
n n P X n n n n C C n n n ------⋅+
⋅+--=-=
=
=
--⋅--⋅
. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的概率分布以及排列组合中的概率计算，难度较大.分析随机变量的分布列，一定要考虑到所有的情况，针对每种情况进行概率计算；组合事件的概率计算，可先考虑事件可拆分成哪些基本事件，先分析基本事件的概率，然后求和即可.。