高中数学选修2-2学案：1.4.2 微积分基本定理(二)

1．4.2 微积分基本定理(二)
明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．曲边梯形的面积
(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .
(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x . 2．两函数图象围成图形的面积
当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．
解 方法一 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
，
y ＝2x
解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积
S ＝⎠⎛0
1(2x －x )d x ＋⎠
⎛1
2(2x －x 2
)d x ＝ ⎪⎪x 2210＋
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
方法二 由于点D 的横坐标也是2， 故S ＝⎠⎛02(2x －x )d x －⎠⎛1
2(x 2－x )d x
＝ ⎪⎪x 2220－
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 2
22
1＝2－(83－2)＋(13－12)＝76
. 方法三 因为⎝⎛⎭⎫14y 2′＝y 2
，
⎝⎛⎭⎫23y 32－y 2
4′＝y －y 2
，
故所求的面积为 S ＝⎠
⎛0
1(y －y
2)d y ＋
⎠
⎛1
4(y －y
2)d y ＝ ⎪⎪14y 210＋
⎪⎪⎝⎛⎭⎫23y 32－y 2441
＝14＋(23×8－14×16)－(23－14)＝76
. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．
解 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
－4y ＝－x ＋2
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝0
， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，
根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x
＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3 ＝252－(－253)＝1256
. 探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
y ＝x －4
得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2
＝ʃ4
02x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84(x －4)d x
＝223x 3
2|40＋223x 32|84－12(x －4)2|84 ＝403
. 方法二 把y 看成积分变量，则 S ＝ʃ40
(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40＝40
3
. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1
3x 所围成图形的面积．
解 画出图形，如图所示．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
x ＋y ＝2，
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，
y ＝－13x ，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ3
1[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13
x )d x ＝(3
223x ＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31
＝23＋16＋(2x －1
3x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136
. 探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为1
12，试
求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．
解 如图，设切点A (x 0，y 0)， 其中x 0≠0，
由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，
令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 0
2
，0)，
设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ， ∵S 曲边△AOB ＝
23
30
00
113
3
o x x x dx x x ==⎰
S △ABC ＝1
2|BC |·|AB |
＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30
.
∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.
∴x 0＝1，
从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
S ＝ʃ10(x －x 2
)d x ＝
⎝⎛⎭⎫x 2
2－13x 3|1
0＝16.
又⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －x 2
，y ＝kx ，
由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛
⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k
＝1
6
(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝1
2，
于是k ＝1－ 312＝1－34
2
.
1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )
S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ8
0(22x －2x ＋8)d x
① ②
S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0[g (x )－f (x )]d x ＋ʃb
a [f (x )－g (x )]d x
③ ④
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．③④
答案 D
解析 ①应是S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x ，
②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ8
4(2x －8)d x ，
③和④正确，故选D.
2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤3
2π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A ．2
B ．3 C.52 D ．4
答案 B 解析
222
2
cos cos xdx xdx π3ππ-⎰
⎰
220
2
sin sin x
x
π3ππ=-
＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2
＝1－0＋1＋1＝3.
3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43
解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2
，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
y ＝0，
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝ʃ20
(2x －x 2)d x ＝(x 2
－13x 3)|20 ＝(4－83)－0＝43
.
4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．
答案
193
解析 由图形可得
S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2
－4)d x
＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x )|41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4 ＝193
. [呈重点、现规律]
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．。