微积分第二版课件第三节可降阶的二阶微分方程

y (x,C1)dx C2.
例 求微分方程y'' 1 y' xex的通解. x
解 设y' p，则y'' p，代入原方程，得 一阶线性微分方程 p 1 p xex 由通解公式得
x
p
e
(
1 x
)dx
[
xe
x
e
(
1 x
)dx
dx
C'1]
eln x[ xe x eln xdx C'1]
分方程，求解一阶微分方程可得通解. 过程如下：
（1）做变换 y' p, 则y'' dp dy p dp dy dx dy
代入原方程，得y 的一阶微分方程
p dp f ( y, p)， dy
（2）求此一阶微分方程，得通解 p ( y,C1)
（3）将 y' p 回代得一阶微分方程 y ( y,C1)
（4）求解微分方程 y ( y,C1)
微分方程两端分离变量
dy dx
( y,C1)
方程两端积分，得通解
(
dy y, C1 )
x
C2
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP ,
dy
代入原方程得 y P dP P2 0, 即 P( y dP P) 0,
第三节 可降阶的微分方程
一、y(n) f (x) 型微分方程 方程特征：方程左侧为未知函数的n 阶导数 y(n) 方程右侧为变量x 的函数 f (x) . 方程解法：方程两端直接依次积分 n 次. 即 原方程 y(n) f (x) 方程两端积分一次, 得 y(n1) f (x)dx C1
方程两端再积分一次, 得 y(n2) f (x)dx C1 C2
y'满足初值39; x0 3的特解.
解 设y' p，则y'' dp，代入原方程,得方程 dx
dp dx
2x 1 x2
p.
此方程为可分离变量方程
方程分离变量
dp p
2x 1 x2
dx
两端积分，解得 ln p ln(1 x2 ) ln C1，
化简得 p C1(1 x2 )
将 y' p 回代得 y' C1(1 x2 ). 以y' x0 p x0 3代入上式，得 C1 3， 所以 y' 3(1 x2). 将此方程两端积分，得
C2
]dx
C3
1 12
x4
cos
x
C'1 2
x2
C2 x
C3，
方程通解
y
1 12
x4
cos
x
C1x2
C2
x
C3
二、y'' f (x, y') 型微分方程
方程特征：方程左侧为未知函数的二 阶导数 y
方程右侧为x 与 y（不含y）的函数 f (x, y') .
方程解法：方程做变换 y' p 将其化为一阶微
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2eC1x.
方程两端依次积分 n 次, 得含有n个任意常数的通解.
例 求微分方程y''' 2x sin x的通解.
解 对所给方程依次积分三次，得
y'' (2x sin x)dx x2 cos x C'1，
y'
(x2
cos
x
C'1 )dx
1 3
x3
sin
x
C'1 x
C2，
y
[1 3
x3
sin
x
C'1x
x exdx C'1 x(ex C'1)，
于是有
dy dx
x(ex
C'1 )，
再积分一次，得原方程的通解为
y x(ex C'1)dx
(xex C'1x)dx
(x
1)ex
C'1 2
x2
C2
(x 1)ex C1x2 C2
( C1
C'1 ). 2
例
求微分方程y''
2x 1 x2
y 3 (1 x2 )dx 3x x3 C2,
再以y x0 1代入，得 C2 1.
所求特解为 y x3 3x 1.
三、y'' f ( y, y') 型微分方程
方程特征：方程左侧为未知函数的二 阶导数 y
方程右侧为y 与 y（不含x）的函数 f ( y, y') .
方程解法：方程做变换 y' p 将其化为一阶微
分方程，求解一阶微分方程可得通解. 过程如下：
（1）做变换
y' p, 则y'' dp p'. dx
代入原方程，得一阶微分方程 dp f (x, p)， dx
（2）求此一阶微分方程，得通解 p (x,C1)
（3）将 y' p 回代得一阶微分方程 y (x,C1) （4）求解微分方程 y (x,C1) 微分方程 y (x,C1) 两端积分，得原方程通解