【华东师大版】初二数学上期末试卷含答案(1)

一、选择题
1．若关于x的一元一次不等式组
()
() 111
2
232 321
x x
x a x ⎧
-≤
-
⎪
⎨
⎪-≥-
⎩
恰有3个整数解，且使关于y的分式方程
3
1
33
y ay
y y
+
+=
--
有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）
A．4 B．5 C．6 D．3
2．若a＝1，则
29
33
a
a a
-
++
的值为（）
A．2 B．2-C．
1
2
D．
1
2
-
3．将
0.50.01
1
0.20.03
x x
+
-=的分母化为整数，得（）
A．
0.50.01
1
23
x x
+
-=B．
50
5100
3
x
x
+
-=
C．
0.50.01
100
203
x x
+
-=D．
50
51
3
x
x
+
-=
4．下列各式中正确的是（）
A．
26
3
3
33
()
22
=
x x
y y
B．
2
2
22
24
()=
++
a a
a b a b
C．
22
2
22
()
--
=
++
x y x y
x y x y
D．
3
3
3
()
()
()
++
=
--
m n m n
m n m n
5．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含有a、b的代数式表示）．
A．a-b B．a+b C．ab D．2ab
6．已知25
y x
-=，那么()2
236
x y x y
--+的值为（）
A．10 B．40 C．80 D．210
7．下列计算中能用平方差公式的是（）．
A．()()
a b a b
-+-B．
11
33
x y y x
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
C．22
x x D．()()
21
x x
-+
8．若53x =，52y =，则235-=x y （ ）
A ．34
B ．1
C ．23
D ．98
9．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点
D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于
12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）
A ．125
B ．95
C ．85
D ．75
11．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ） A ．3AB =，4BC =，7CA =
B ．4A
C =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒
D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 12．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）
A ．必有一个内角等于30°
B ．必有一个内角等于45°
C ．必有一个内角等于60°
D ．必有一个内角等于90° 二、填空题
13．要使分式2x x 1
+有意义，那么x 应满足的条件是________ ． 14．计算：()3
0120202-⎛⎫---= ⎪⎝⎭
______．
15．2007200820092
()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．
16．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．
17．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．
18．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．
19．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．
20．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，
7,2AE CE ==则DE 的长为_________．
三、解答题
21．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工
程施工费用是多少？
22．已知：2
40x x +-=，求代数式321121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值． 23．先化简，再求值：
()()()()()32333b a b a a b a b b a a ---+---÷-⎡⎤⎣⎦，其中2
12025a b ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭． 24．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．
（1）若7AC BC ==，求DE 的长；
（2）求证：BE CD BC +=．
25．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
26．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C 与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把Rt △ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与
MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有∠BDF ＝∠GDF ，求AEN CDG
∠∠的值． （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，已知∠PBC ＝25°，求∠ACB +∠ADB 的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．
【详解】
关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
， ∵325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
恰有3个整数解， ∴2015
a +<≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程
3133y ay y y ++=--，整理得：6y a =， ∵3133y ay y y ++=--有正整数解且63a
≠， ∴满足条件的整数a 的值为：1，3
∴所有满足条件的整数a 的值之和是4，
故选A ．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．
2933a a a -++=293
a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质求解．
【详解】 解：将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，可得50513
x x +-=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 4．D
解析：D
【分析】
根据分式的乘法法则计算依次判断即可．
【详解】
A 、2
6
33
327()28=x x y y ，故该项错误； B 、2
22
24()()=++a a a b a b ，故该项错误； C 、2
22()()()
--=++x y x y x y x y ，故该项错误； D 、3
33
()()()++=--m n m n m n m n ，故该项正确； 故选：D ．
【点睛】
此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．
解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，
则：22x y a y x b +=⎧⎨-=⎩
， 解得：42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
， ∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444
a a
b b a ab b ab ++-+=-=＝ab ． 故选C ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键． 6．B
解析：B
【分析】
所求式子变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．
【详解】
25y x -=
∴ 25x y -=-
()
2236x y x y --+ ()()2=322x y x y --- ＝()()2535--⨯-
＝25+15
=40
故选：B
【点睛】
此题主要考查整体代入的思想，还考查代数式求值的问题，是一道基础题．
7．B
解析：B
【分析】
根据平方差公式()()22
a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可． 【详解】
A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；
B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；
C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；
D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式．
【点睛】
此题考查平方差的基本特征：()()22
a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一般．
8．D
解析：D
【分析】
根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算进行计算．
【详解】
解：()()23232323955555328
x y x y x y -=÷=÷=÷=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算． 9．D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，
∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，
∴△BCD ≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD ，即①正确；
在△BCF 与△ACG 中，
由①可知∠CBF=∠CAG ，
又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF ≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF ，即②正确；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
10．A
解析：A
【分析】
根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC
5
=，
根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴△ABC的面积：1
2AB•AC＝
1
2
BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝12
5
．
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.
【详解】
+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；
解：A，AB BC CA
B，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.
故选:D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
12．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
二、填空题
13．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案【详解】由题意得：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零
x≠-
解析：1
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【详解】
x+≠，
由题意得：10
x≠-，
解得：1
x≠-．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．14．9【分析】根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则进行求解【详解】故答
案为：9【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂熟练掌握其运算法则是解题的关键
解析：9
【分析】
根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则进行求解．
【详解】
()30
120201(8)1892-⎛⎫---=--=+= ⎪⎝⎭
． 故答案为：9．
【点睛】 本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键
解析：-1.5
【分析】
首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．
【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭ ＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
＝﹣1.5，
故答案为-1.5 ．
【点睛】 本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．
16．等边【分析】先等式两边同乘以2再移项利用完全平方公式即可得到答案
【详解】∵∴∴∴∵∴∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式偶数次幂的非负性以及等边三角形的 解析：等边
【分析】
先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．
【详解】
∵222a b c ab bc ac ++=++，
∴222222222a b c ab bc ac ++=++，
∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，
∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，
∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，
∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，
∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形，
故答案是：等边
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
17．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50
【分析】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时
OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN
++最小，即MP PQ QN M N '
'++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，
∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22
QPN OQP αβ∠=
︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴
11(180)25(180)22
αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
18．＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EDFD=FC则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B∠FDC=∠C然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC）利用三角形内角和定理
解析：＝
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=ED，FD=FC，则根据等腰三角形的性质得到
∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），利用三角形内角和定理得到∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠EDF=∠A．
【详解】
解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），
∴∠EDF=∠A．
故答案为：=．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
19．4【分析】根据ASA证明△ADE≌△CFE得CF=AD再求出AD的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴
解析：4
【分析】
根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．
【详解】
解：∵AB=6，BD=2
∴AD=AB-BD=6-2=4
∵//CE AB
∴∠BAC=∠FCE ，
在△ADE 和△CFE 中
BAC FCE AE CE
AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△CFE
∴CF=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 20．2或6【分析】利用面积法求出BD 即可求得CD 再分AE 在内部和外部求出DE 即可【详解】解：为的高△ABD 的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE 在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当
解析：2或6
【分析】
利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．
【详解】
解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 114
2∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7
D =
=AE ∵AD 为ABC 的中线， ∴CD=BD=4，
当AE 在ABC 内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE 在ABC 外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点睛】
本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
三、解答题
21．（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的费用为225000元
【分析】
（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【详解】
（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据题意得：
1110()1513x x x
+⨯+=， 解得：x =30．经检验x =30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：
111()22.530303
÷+=⨯（天）， 则该工程施工费用是：()22.565003500225000⨯+=（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
22．
21x x +，14
【分析】 根据分式的运算法则对原式进行化简，再把已知条件变形为化简算式可以利用的形式后代入求解即可 ．
【详解】
解：原式321121
x x x x x -=÷--+ 2
1(1)1(1)(1)
x x x x x -=⋅-+- 21x x
=+. 由已知可得：24x x +=， 把上式代入经化简后的原式可得原式14=
. 【点睛】
本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算方法与整体代入的思想方法是解题关键．
23．4a b -，
85
【分析】
先算乘法，再合并同类项，最后算除法，代入求出即可．
【详解】
解：()()()()()32333b a b a a b a b b a a ---+---÷-⎡⎤⎣⎦ ()()22223293ab b a ab b a a =--++-÷-
()()23123ab a a =-÷-
4a b =- ∵212025a b ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ ∴1=02a -，2=05
b - 解得：12a =，25
b = ∴原式1284255=⨯
-= 【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，注意运算顺序．
24．（1） 3.5DE =；（2）见解析．
【分析】
（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；
（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．
【详解】
（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522
=
=AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，
∵∠A=60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵BF=BF
∴△EBF ≌△HBF （SAS ），
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF ，
∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．
∴CD=CH ，
∵CH+BH=BC ，
∴BE+CD=BC ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．
【分析】
（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；
（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．
【详解】
（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED=∠AFD=90︒，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
∴∠ADE=∠ADF ；
（2）结论2：AE=AF ，证明如下：
由（1）可知：△AED ≌△AFD ，
∴AE=AF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
26．（1）12C ∠=∠+∠，理由见解析；（2）
12；（3）75︒． 【分析】
（1）过C 作//l MN ，标注字母，如图1所示，根据平行线公理证明//l PQ ，再根据平行线的性质即可求解．
（2）先证明∠GDF ＝∠PDC ，可得∠CDG +2∠PDC ＝180°，即∠PDC ＝1902CDG ︒-
∠，再证明∠AEN ＝∠CEM 90PDC =︒-∠，再代入AEN CDG
∠∠计算即可得到答案； （3）利用角平分线的定义与平行线的性质求解：∠ADB ＝
50BKA MAD CAM ∠-∠=︒-∠，再利用（1）的结论可得，∠ACB ＝∠PBC +∠CAM ，从而可得答案．
【详解】
解：（1）∠C ＝∠1+∠2，
证明：过C 作//l MN ，标注字母，如图1所示，
∵//l MN ，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵//l MN ，//PQ MN ，
∴//l PQ ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴12DCE ∠=∠+∠；
（2）如图2，
∵∠BDF ＝∠GDF ，∠BDF ＝∠PDC ，
∴∠GDF ＝∠PDC ，
∵∠PDC +∠CDG +∠GDF ＝180°，
∴∠CDG +2∠PDC ＝180°，
∴∠PDC ＝1902
CDG ︒-∠， 由（1）可得，∠PDC +∠CEM ＝∠C ＝90°，
∠AEN ＝∠CEM ，
1909090122
CDG AEN CEM PDC CDG CDG CDG CDG ⎛⎫︒-︒-∠ ⎪∠∠︒-∠⎝⎭∴====∠∠∠∠； （3）如图3，标注字母，
∵BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，∠PBC ＝25°，
∴∠PBD ＝2∠PBC ＝50°，∠CAM ＝∠MAD ，
∵//PQ MN ，
∴BKA ∠＝∠PBD ＝50°，
∴∠ADB ＝5050BKA MAD MAD CAM ∠-∠=︒-∠=︒-∠，
由（1）可得，∠ACB ＝∠PBC +∠CAM ，
∴∠ACB +∠ADB ＝∠PBC +∠CAM 50255075CAM +︒-∠=︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．。