高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题(含答案)

高考物理万有引力与航天及其解题技巧及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L （这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R ，万有引力常量为G ，求： （1）月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；
（2）如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？ （3）当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少?
【答案】（1）22
02
2hV R M GL =（2
3
）T =
【解析】 【详解】
（1）由平抛运动的规律可得：
2
12
h gt =
0L v t =
2022hv g L
=
由
2
GMm
mg R = 2202
2hv R
M GL =
（2）
1v =
==（3）万有引力提供向心力，则
()
()2
2
2GMm
m R H T R H π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
+
解得：
T =
2．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：
(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H T
π+（2）
()3
22
4R H GT π+（3）
()2R H R H
T
R
π++ 【解析】
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()
R H v T
+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．
根据牛二定律得22
2
4π()()R H Mm
G m R H T +=+ 解得23
2
4π()R H M GT +=
． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2
002Mm V G m R
R =又
23
2
4π()R H M GT
+=． 联立得()2πR H R H
V T
R
++=
3．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球半径为R ，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量；
（2）地球同步卫星的线速度大小．
【答案】(1) G
gR M 2
= (2)7
gR
v = 【解析】 【详解】
（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则
2
GMm
mg R = 解得
G
gR M 2
=； （2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7倍，即为7R ，则
()
2
2
77GMm
v m R
R =
而2
GM gR =，解得
7
gR
v =
.
4．某双星系统中两个星体 A 、B 的质量都是 m ，且 A 、B 相距 L ，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T 0，且= k (
） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认
为 C 位于双星 A 、B 的连线中点．求： (1)两个星体 A 、B 组成的双星系统周期理论值； (2)星体C 的质量．
【答案】（1）；（2）
【解析】 【详解】
(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:
可得：
两星绕连线的中点转动,则
解得：
(2)因为C 的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则
再结合：= k
可解得：
故本题答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.
5．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M ．
【答案】2
2
233LR M Gt
= 【解析】 【详解】
两次平抛运动，竖直方向2
12
h gt =
，水平方向0x v t =，根据勾股定理可得：2220()L h v t -=，抛出速度变为2倍：2220(3)(2)L h v t -=，联立解得：3
h =
，23g t =，在星球表面：2Mm G mg R =，解得：223M t G
=
6．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2（2）23
2
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT
π= b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭ 解得
2
2GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c
'
=
7．地球的质量M=5.98×1024kg ，地球半径R=6370km ，引力常量G=6.67×10－11N·m 2/kg 2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求： （1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式 （2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字） 【答案】（1）2GM
h R v
=-（2）h=8.41×107m 【解析】
试题分析：（1）万有引力提供向心力，则
解得：2
GM
h R v =
- （2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m 考点：考查了万有引力定律的应用
8．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r ，运行周期为 T ，引力常量为 G ，求两颗星的质量之和．
【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【详解】
对双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r =r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+=
9．假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0,如图所示，“嫦娥三号”飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.
(1)飞船在A 点点火前的动能是1k E ，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ在A 点的动能是2k E ，试比较1k E 和2k E 的大小；
(2)求飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比； (3)求飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间． 【答案】（1）12k k E E > （2）2：1 （3）0
16R g π
【解析】 【分析】 【详解】
（1）飞船在A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故12k k E E >；
（2）飞船在轨道Ⅲ、轨道Ⅰ都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
22Mm v G m r r
=
解得：v =
故飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为
3121
v v === （3）飞船在轨道Ⅰ绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：2
224Mm G m r r T
π=
解得：2T =在月球表面有：02Mm
G
mg R =，解得：02GM g R
= 故周期为
216T ==【点睛】
卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量．
10．如图所示，为发射卫星的轨道示意图．先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动．当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道．沿椭圆轨道运动到远地点B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为v ，卫星的质量为m ，地球的质量为M ，万有引力常量为G ，则：
(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大? (2)卫星在B 点变速时增加了多少动能?
【答案】（10GM r 03GM r （2）2
0618
GMm mv r -
【解析】 【分析】 【详解】
（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：
2
2Mm v G m r r
=， 当r =r 0时，v 10
GM
r ， 当r =3r 0时，v 20
3GM
r ， （2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为v B ，据题意有：r 0v =3r 0v B 卫星在B 点变速时增加的动能为△E k =
22
21122
B mv mv -， 联立解得：△E k =2
0618GMm mv r -。