四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题(一)文

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（一）文
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符号题目要求的）. 1．
2
3
(1)
i =-( ) A ．
3
2
i B ．3
2
i - C ．i
D ．i -
2． 要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin 2y x π⎛⎫
=-
⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向左平移π
6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π
3
个单位
3． 设集合{}12A =，，则满足{}123A B =U ，，的集合B 的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．8
4． 已知()()1224a b --==r r ，，，，则（ ）
A ．a b ⊥r r
B ．a r 与b r 同向
C ．a r 与b r 反向
D ．1()5
a b +r r
为单位向量
5． “1sin 2α=”是“1
cos 22
α=”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6． 已知正三角形ABC 的顶点(11)A ，，(13)B ，，顶点C 在第一象限，若点()x y ，在ABC ∆
内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）
A
．(12)- B ．(02)， C
．12)， D
．(01+， 7． 若0a b >>，01c <<，则（ ）
A ．log log a b c c <
B ．log log c c a b <
C ．c
c
a b < D ．a
b
c c > 8． 等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若743a a =，则
10
4
S a 的值为（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．40
9． 设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12
F PF ∆
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ．
2 B ．21- C ．22- D ．21- 10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段
11B D 上有两个动点E ，F ，且1
2
EF =
，则下列结 论中错误的是
A ．AC BE ⊥
B ．//EF ABCD 平面
C ．三棱锥A BEF -的体积为定值
D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等
11．函数()cos sin 2f x x x =，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 的图象关于(0)π，中心对称
B ．()f x 的图象关于直线2
x π
=对称
C ．()f x 的最大值为
3
D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数 12．已知函数2410()12()2
x
x x x f x ⎧--+≤⎪=⎨-⎪⎩，，若关于x 的方程2
2()(21)()0f x m f x m -++=恰有三个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(12)，
B ．{}[25)1U ，
C ．{}15，
D ．{}(25)1U ，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的 倍. 14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有
连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则q = .
15．偶函数()y f x =的图关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= .
16．P 为双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分. 17．（12分）某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名，统计他（她）们一天
（24h ）使用手机的时间，其中每天使用手机超过6小时（含6小时）的用户称为 “手机迷”，否则称其为“非手机迷”，调查结果如下：
男性用户日用时间分组（h ）
[)0,2 [)2,4 [)4,6 [)6,8 []8,10
频数
20
12
8
6
4
女性用户的频数分布表
女性用户日用时间分组（h ）
[)0,2 [)2,4 [)4,6 [)6,8 []8,10
频数
25
10
6
8
1
（1）分别估计男性用户，女性用户“手机迷”的频率； （2）求男性用户每天使用手机所花时间的中位数；
（3）求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差（同一组中的数据用该组
区间的中点值作代表）. 18．（12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()12cos b a C =+.
（1）证明：2C A =； （2）若12c =，2
cos 3
A =
，求ABC V 的周长. 19．（12分）如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC ∆中，
2AB =，
2AC BC ==．等边三角形ADB 以AB 为轴运 动．
（1）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （2）当ADB ∆转动时,是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．
20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中， 抛物线2x y =上异于坐标原点O 的两不同动点
A 、
B 满足BO AO ⊥．
（1）求AOB ∆的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（2）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数2
2()x
x f x e x m
=+-.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若对任意12,[,](0)x x m m m ∈->，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。

如果多做,则按所做的第
一题计分。

22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1x t t
y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原
点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.
23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数2
()2f x x =-，()g x x a =-.
（1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；
（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.
2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）
数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题
二、填空题
13．．3
2- 15．3 16．9
三、解答题
17.（1）男性用户“手机迷”的频率为
10
0.250
=；...............................................................................2分
女性用户“手机迷”的频率为
9
0.1850
=................................................................................................4分
（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为x ，则
()201220.550100
x +-⨯=......................6分 解得
()17
6
x h =
............................................................................................................................................8分 （3）设女性用户每天使用手机所花时间的平均数为x ，标准差为s
125310567891150
35050
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
==，....................................
..........................................10分
12
5
s =
=............
...................12分
18.（1）证明：因为(12cos )b a C =+， 所以sin sin (12cos )B A C =+，即
sin()sin 2sin cos A C A A C +=+，..........................................2分
所以sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C A A C +=+， 即cos sin sin cos sin A C A C A -=，则
sin()sin C A A -=................................................................
4分
所以C A A -=或C A A π-=-（舍去），所以
2C A =；..................................................................6分
（漏掉C A A π-=-扣1分）
（2）由（1）得sin sin 22sin cos C A A A ==， 由正弦定理有
sin sin a c
A C
=,即sin sin 22sin cos a c c
A A A A
==⋅.......................................................7分 所以
12
92
2cos 23
c a A =
==⨯...........................................................
..........................................................8分 由余弦定理得
2222ccos a b c b A =+-，.........................................................
.......................................9分 所以28114416b b =+-，即216630b b -+=， 所以()()790b b --=，解得7b =或
9b =...........................................................................
..............10分 当7b =时，ABC V 的周长为
971228++=；.................................................................
..................11分 当9b =时，ABC V 的周长为
991230++=；.................................................................
..................12分 综上，ABC V 的周长为28或30. （未写综上不扣分）
19．（1）取AB 的中点E ，连结
DE CE ，，......................................................................
.................1分 因为ADB 是等边三角形，所以
DE AB ⊥．.....................................................................
....................2分 当平面ADB ⊥平面ABC 时， 因为平面ADB I 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面
ABC ，.........................................................................
...................................................3分 可知
DE CE ⊥.......................................................................
....................................................................4分
由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，
2CD =．.............................6分
（2）当ADB △以AB 为轴转动时，总有
AB CD ⊥．.....................................................................
.7分 证明：
（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上， 即
AB CD ⊥．.....................................................................
......................................................................9分
（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（1）知AB DE ⊥． 又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面
CDE ，.........................................................................
.....11分
由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有
AB CD ⊥．.....................................................................
..............................................12分
20．（1）因为()2
2x
x f x e x m
=+-，所以
()()
22
2211x x
x x f x e e m m
=+
-=-+'， .......................1分 观察可得
()00f '=，.....................................................................
.........................................................2分 又()22
0x x f e m
''=+
>，所以()x f '在R 上为增函数，.................................................................3分 即()0f x '=只有唯一的零点
0x =...........................................................................
............................4分
所以当(),0x ∈-∞时，()0f x '<； 当()0,x ∈+∞时，
()0f x '>． .......................................5分
所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是
()0,+∞． ...............................................6分
另解：（1）因为()2
2x
x f x e x m
=+-，所以
()()
22
2211x x
x x f x e e m m =+
-=-+
'， ...................1分 所以当(),0x ∈-∞时，
()2210,
0,0x x
e f x m
'-<<<；....................................................................3分 当()0,x ∈+∞时，
()2210,
0,0x x
e f x m
'->>>． ..........................................................................5分
所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是
()0,+∞． ...............................................6分
（2）由（1）知，()f x 在[],0m -上单调递减，在[]
0,m 上单调递增， .......................................7分 所以()min (0)1f x f ==，
(){}max max ()()f x f m f m =-，．.................................................
......8分
所以对于任意的[]
12,,x x m m ∈-，()()121f x f x e -≤-的充要条件为
()()()
()01
01f m f e f m f e ⎧-≤-⎪⎨
--≤-⎪⎩ ，即11m m e m e e m e -⎧-≤-⎨+≤-⎩ ①...............................................................9分 设函数()t
g t e t =-，则()1t
g t e '=-．
当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>， 故()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递
增．.................................................................10分 又()11g e =-，()m
g m e m =-，()m
g m e
m --=+，
所以当(]
0,1m ∈时，()()()()1
11,111g m g e g m g e e -≤=--≤-=+<-，即①式成立，
综上所述，m 的取值范围是
(]0,1．.........................................................................
............................12分 21．解法一：
（1）∵直线AB 的斜率显然存在，∴设直线AB 的方程为
b kx y +=，.......................................1分
),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22
=--⎩⎨⎧=+=b kx x y x
y b kx y 得消去由，①
∴k x x =+21，② b x x -=21
③.................................................................................................2分
∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 02
2
2121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴
)(01舍去或==b b ...............................................................
..............3分
∴设直线AB 的方程为1+=kx y
∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x
⑤， ..............................................................4分 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则
3
3021k
x x x =++=
⑥ ，
3
232)(3022121+=++=++=k x x k y y y
⑦，.....................................................................5分
由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3
2
32+=x y ，
这就是AOB ∆得重心G 的轨迹方
程．............................................................................
......................6分
（2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=
把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，........................................................................7分
设点O 到直线AB 的距离为d ，则
11
2+=k d ，..................................................................
..........8分
∴
2
4||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB ， ...............................................................................................10分
∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小
值，................................................................................................... ........11分
∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是
1 ．......................................................................................12分
解法二：
（Ⅰ）∵ BO AO ⊥, 直线OA ，OB 的斜率显然存在，
∴设OA 、OB 的直线方程分别为kx y =，
x k
y 1-=，..................................................................1分 设),(11y x A ，),(22y x B ，依题意可得
由⎩⎨⎧==2x
y kx y 得 ),(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=21x y x k y 得
)1,1(2k
k B -，............................................3分 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则
313021k k x x x -=++= ① ， 3
1302221k k y y y +=++= ②， ............................5分 由①②可得，3232+
=x y ，即为所求的轨迹方程............................................................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，42||k k OA +=，
4
211||k k OB +=
，.......................................................8分 ∴4
2421121||||21k k k k OB OA S AOB +⋅+⋅=⋅⋅=∆.....................................................................9分
212122++=k k 1222
1=+≥，...........................................................................................10分 当且仅当221k
k =，即1±=k 时，AOB S ∆有最小值，........................................................................11分 ∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是
1 .........................................................................................12分
22．（1）由题意，将1
x t t =-与1y t t
=+两式平方相减可得224x y -=-. 因为cos ,sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2222cos sin 4ρθρθ-=-，
即曲线1C 的极坐标方程为
2cos 24ρθ=-.........................................................................................3分
将曲线2C
的极坐标方程ρ=228x y +=.................................................5分
（2
）由题意得2cos 24,ρθρ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故1cos 22
θ=-，......................................................................6分 所以223πθ=或43π或83π或3
10π，即3πθ=或23π或43π或53π
所以两曲线交点的极坐标为3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.....................10分 （漏一个扣1分）
23．（1）若1a =，则不等式()f x +()g x 3≥化为2
213x x -+-≥． 当1x ≥时，2
213x x +-≥-，即2x -20x +≤，.........................................................................1分
因为不等式对应的一元二次方程180∆=-<，故不等式无
解； .................................................3分
当1x <时，2213x x --+≥，即2x 0x +≤，解得
10x -≤≤． ..............................................4分
综上，不等式()f x +()g x ≥3的解集为
{|10}x x -≤≤． ............................................................5分
（2）作出y =()f x 的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示，
由22y x a y x
=-⎧⎨=-⎩，得2x 20x a +--=， 若相切，则()1420a ∆=++=，得
a =94
-，..............................................................................6分
数形结合知，当a ≤-
94时，不等式无负数解，则−94
0a <<． ..............................................7分 当0a =时，满足()f x >()g x 至少有一个负数
解． ....................................................................8分 当0a >时，()g x 的图象如折线②所示，
此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知，
当2a ≥时，不等式无负数解，则
02a <<． ..............................................................................9分
综上所述，若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解，
则实数a 的取值范围是9(2)4
，．.........................................................................................................10分。