高中数学第二章2.3.2.1抛物线的简单几何性质课时达标训练含解析新人教A版选修79

2.3.2.1 抛物线的简单几何性质
课时达标训练
1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(4,0)
D.(-4,0)
【解析】选A.由抛物线的定义可知2p=16,故p=8,且焦点在y轴负半轴上,故焦点坐标为(0,-4).
2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是( )
A.y=2x2或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),
所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
所以22=-2p(-1).所以p=2.所以抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
所以(-1)2=2p·2,所以p=.所以抛物线的方程为x2=y.
3.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为.
【解析】设抛物线上点的坐标为(x,±),此点到准线的距离为:x+,到顶点的距离为
,由题意有x+=,所以x=,所以此点坐标为. 答案:
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
【解析】直线为y=x-,故
所以x2-3px+=0,
|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.
答案:2
5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m 的值、抛物线方程和准线方程.
【解析】方法一:设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为
F.
因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,
故
解得
所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,
准线方程为y=2.
方法二:如图所示:
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
有焦点F,准线l:y=.
又|MF|=5,由定义知3+=5,所以p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3),得m=±2.
【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.
【解析】由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.
设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F. 由题意知AF⊥OB,则有·=-1.
所以y2=x,2px=x.
易知x≠0,所以x=.
所以直线AB的方程为x=.。