高考专题讲座 直线、平面、简单几何体 试题

高考(ɡāo kǎo)专题讲座(jiǎngzuò) 直线、平面(píngmiàn)、简单几何体●高考(ɡāo kǎo)风向标
本讲高考的知识点是：平面及其根本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的间隔．直线和平面平行的断定与性质，直线和平面垂直的断定与性质，点到平面的间隔，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理．平行平面的断定与性质，平行平面间的间隔，二面角及其平面角，两个平面垂直的断定与性质．多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球．在高考命题时，一般呈现一道解答试题和两到选择、填空题．其热点内容是有关垂直的推理证明和角、体积等的计算问题。

●典型题选讲
例1：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
〔1〕求证：MN⊥AB；
〔2〕假设PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
〔3〕在〔2〕的条件下，求三棱锥D—AMN的体积．
讲解〔1〕连结AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 那么有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，
即.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，
那么AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即．，
又∵M是AB的中点，
．
〔2〕为了(wèi le)求二面角P—CD—A的大小(dàxiǎo)，需要
先作出它的平面角．
由PA⊥平面(píngmiàn)ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC，
那么(nà me)∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成
二面角的平面角．由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，那么有DN⊥PC．
又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，而N是PC中点，那么必有PM=MC ．．
此时，即二面角P—CD—A 的大小为．
〔３〕关于体积的计算，需要转换角度看问题，事实上，我们容易知道：，连结BD交AC于O，连结NO ，那么，，且NO⊥平面AMD，由PA=a ，．
点评需要指出的是，题〔１〕也可应用三垂线定理来证明，请读者自己去考虑，并写出详细的解题过程．
例2矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线BD将矩形折成二面角A-BD-C．
（1）假设二面角A-BD-C的大小为60º，求A、C两点间的间隔；
（2）当三棱锥A-BCD体积最大时，求AC与
BD所成的角〔假设为非特殊角，限用反正切表示〕．
讲解〔1〕过A作AE⊥BD，垂足为E；过C
作CF⊥BD，垂足为F；过F在平面ABD内作
FH∥＝AE，连结AH、HC．
∵FH∥＝AE，∴四边形AEFH为平行四边形．
∴AH∥＝EF．∵A E⊥BD，HF∥AE，∴H F⊥B D．
又FC ⊥BD ，故∠HF C 就是(jiùshì)二面角A -BD -C 的平面角，．
在Rt △BAD 中，
，
，
，
．
∵EF ⊥平面(píngmiàn)HFC ，AH ∥EF ，∴AH ⊥平面(píngmiàn)HFC ，∴AH ⊥
HC ． 在Rt △AHC 中，
，，
为所求．
〔2〕
，因
为定值，故当h 获得(huòdé)最大值时，
最大，即当二面角A -BD -C 的大小为时，A BCD V 最大．
由〔1〕知，AH ∥BD ，故∠HAC 就是AC 与BD 所成的角．
在Rt △AHC 中，
，
，
故AC 与BD 所成的角为
．
点评 和第〔２〕题的一个类似的问题是：正方形 ABCD 沿它的对角线ＡＣ折叠以后，得到的四面体的体积最大时，求直线AB 和平面 CDA 的所成的角的大小．
例３ 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN.
〔１〕求证：AM ⊥PD ；
〔２〕求二面角P —AM —N 的大小；
〔３〕求直线CD 与平面AMN 所成角的大小． 讲解〔１〕∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD. ∴CD ⊥平面(píngmiàn)PAD
∵AM平面(píngmiàn)PAD，∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面(píngmiàn)AMN，∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面(píngmiàn)PCD.
∴AM⊥PD.
〔２〕∵AM⊥平面PCD〔已证〕.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角．
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.
在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=2
由Rt△PMN∽Rt△PCD ，得∴.
即二面角P—AM—N的大小为.
〔３〕延长NM，CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD〔即〔CE〕与平在AMN所成的角.
∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中，
∴CD与平面(píngmiàn)AMN所成的角的大小为．
点评(diǎn pínɡ)为了计算(jì suàn)角的大小，需要先作出角的平面角，然后放到三角形里去计算就行了．这既需要推理，也需要计算．不是特殊角时，请用反三角函数表示角．
例4 四棱锥(léngzhuī)P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.
〔１〕求异面直线PA与CD所成的角；
〔２〕求证：PC∥平面EBD；
〔３〕求二面角A—BE—D的大小〔用反三角函数表示〕.
讲解〔１〕∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD.
在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6．
取BC的中点F，连结PF，那么AF//CD，所以，异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF．在△PAF中，
〔２〕连结AC交BD于G，连结EG，
〔３〕∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.
又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.
作AE⊥BE，垂足为H，连结DH，那么DH⊥BE，
∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.
点评(diǎn pínɡ)等面积法与等体积法，在立体几何的计算问题中，有时是有用的，关于(guānyú)这一点，还请读者多多留意．事实上，记住一些有用的解题的小结论、小技巧，也许对进步解题的速度是有较大的帮助的．例5如图，正四棱锥(léngzhuī)P—ABCD中，AB=2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为60°.
〔1〕求侧面(cèmiàn)与底面所成的二面角〔锐角〕的大小；
〔2〕在线段PB上是否存在一点E，使得AE⊥PC，假设存在，试确定点E的位置，并加以证明，假设不存在，请说明理由.
讲解〔1〕如图O为底面ABCD的中心
那么∠PAO为PA与底面所成的角，∴∠
PAO=60°
∵∴
过O作OM⊥BC于M，连PM由三垂线定理得BC⊥PM
∴∠PMO为侧面与底面所成二面角平面角．
∵OM=1，PO=
〔2〕如图，建立空间直角坐标系，
点评(diǎn pínɡ)空间向量是B种教材要求(yāoqiú)的内容，它是立体几
何问题代数化的桥梁，学习时，应当紧扣课本，适度控制问题难度．例6如图，将长，宽的矩形沿长的三等分线处折迭(shé
dié)成一个三棱柱，如下图：
〔１〕求平面(píngmiàn)APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
〔２〕求三棱锥的体积．
讲解〔１〕依题意知，三棱柱是正三棱柱，且侧棱，底面边长为3，BP=1，CQ=2.
延长QP交BC延长线于点E，连AE.
在△ACE中，，，∠ACE=60°，于是AE=3.
过C作CF⊥AE于F，连QF.
那么(nà me)∠QFC为平面(píngmiàn)APQ与平面(píngmiàn)ABC所成的锐二面角.
, 于是(yúshì).
即平面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为．
〔２〕连，的面积为，点Q 到平面的间隔为, ∴
点评此题是２００４年高三数学模考试题，在解答此题时，请读者注意，折迭的过程当中，哪些量是不变的，哪些量是变化的．与微细的地方发现问题的本质所在．
针对性演练
一. 选择题
１．以下命题中，正确的选项是〔〕．
Ａ．假设直线a 平行于平面内的一条直线b , 那么 a // α
Ｂ．假设直线a垂直于平面α的斜线b在平面α内的射影，那么a⊥b
Ｃ．假设直线a垂直于平面α, 直线b是平面α的斜线，那么a与b是异面直线Ｄ．假设一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，那么它一定是正棱锥
２．在正方体中，面对角线与〔〕．
３．如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外外表，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，假如铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，那么铁丝长度的最小值为〔〕.
A. 61cm B
C. cm D
４．一个(yīɡè)半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，那么(nà me)这一正三棱柱的体积是〔〕.
A ．
B ．
C ．
D ．
５．如图，矩形(j ǔxíng)ABCD 中,AB=3, BC = 4 , 沿对角线ＢＤ将 ⊿ＡＢＤ折
起，使Ａ点在内的
射影落在BC 边上(bi ān shànɡ),假设二面角C —AB —D 的平面角大小为，
那么sin θ的值等于〔 〕.
A . B.
C . D.
６．一个四面体一共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为，且四
面体的四个顶点在一个球面上．那么这个球的外表积为〔 〕．
Ａ．１６ Ｂ．３２π Ｃ．３６π Ｄ．６４π
７． 一个圆锥有三条母线两两垂直，那么它的侧面展开图的圆心角为 ( ).
A.
B.
C.
D.
８．在空间直角坐标系Ｏ－xyz 中，有一个平面多变形，它在xOy 平面上的射影的面积８，在yOz 平面和在zOx 平面的正射影的面积都是６，那么这个多边形的面积为〔 〕． Ａ．
Ｂ．２46 Ｃ．
Ｄ．２34
９．如图, 在三棱锥P －ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平
面(píngmiàn)ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝
Ａ
、Ｅ分别(f ēnbié)是ＢＣ、
Ｂ的中点，ＡＣ>AD,设PC 与DE 所成的角为
α，PD 与平面(píngmiàn)ABC 所成的角为
_
D
_ ( A )
_ C
_ A _
B
，二面角P －ＢＣ－Ａ的平面角为，那么(nà me)的大小关系是
〔 〕． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１０．二面
PB
= 4 ,设Ａ、Ｂ到二面角的间隔 分别为x,y 当 变化时，点〔x , y 〕的轨迹是以下图形中的〔 〕．
二、填空题
１１． 在正方体ABCD －
中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 、G 、H 分别是棱
、
的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面 .(截
面以给定的字母标识, 不必写出全部符合条件的截面 ).
１２．如图把边长为a 的正六边形薄铁板剪去一样的６个角后，用剩余局部做
ｏ
ｙ ３ ３
３ ３
ｏ ｏ
ｏ
ｘｘ
ｘ
ｙ ｙ
ｙ Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
成一个形如正六棱柱的无盖盒子〔不计接缝〕，那么(nà me)这个盒子的最大容积是
１３．在三棱锥P—ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，那么侧棱PA与侧面(cèmiàn)PBC所成的角的大小是 .
１４．一个立方体的六个面上(miàn shànɡ)分别标有A、C、D、E、F，以下图是此立方体的的两种不同放置，那么与D 面相对的面上的字母是 .
１５．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次(yīcì)进展下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面一共同围成一个多面体．那么此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④外表积3a2；⑤体积为．以上结论正确的选项是
___________(写出所有正确结论的序号〕
三、解答题
１６. 在长方体中，，，O为对角线的中点(zhōnɡ diǎn).
〔1〕求OD与底面ABCD所成的角的大小(dàxiǎo)；
〔2〕P为AB上一动(yīdòng)点，当P在何处(hé chǔ)时，平面平面?并证明你的结论.
１７．如图，正三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
中，E是AC中点.
〔1〕求证：平面BEC
1⊥平面ACC
1
A
1
；
A
B C
D E
C
D
C
B
〔2〕求证：AB
1//平面BEC
1
；
〔3〕假设，求二面角E—BC
1
—C的大小.
１８．如图，面，于D，.
〔1〕令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
〔2〕在直线PA上是否存在一点Q，使得？
１９．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α〔0<α<〕．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD.
〔1〕求点B′到平面ACD的间隔〔用α表示〕；
〔2〕当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积；
〔3〕当点B′在平面ACD内的射影为线段CD的中点时，
求异面直线AD与B′C所成角的大小．
２０．圆锥的侧面(cèmiàn)展开图是一个半圆，它被过底面中心O
1
且平行
(píngxíng)于
母线AB的平面所截，假设截面(jiémiàn)与圆锥侧面的交线是焦参数〔焦点到准线的间隔〕为p的
抛物线．
〔1〕求圆锥(yuánzhuī)的母线与底面所成的角；
〔2〕求圆锥的全面积．
参考答案 一、 选择题
１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ａ ６．Ａ７．Ｂ ８．Ｄ ９．Ａ １０．Ｄ 二、 填空题 １１．面GDB (或者)１２．．１３．１
４．Ｂ． １５．①②⑤. 三、解答题 １６. ，，
，即
，故OD 与底面所成的角为
．
〔2〕211===AB AD AA , ，
．
又 O 为C A 1的中点，
，于是当P 为AB 的中点时，
，
从而，
平面POD.
又
平面(píngmiàn)
，
平面(píngmiàn)POD 平面
(píngmiàn)OD A 1．
１７．〔1〕∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱(léngzhù)，
∴AA 1⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1. ∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点，
∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC
1A
1 .
又∴BE⊂平面BEC
1
∴平面BEC
1⊥平面ACC
1
A
1
.
〔２〕连B
1C，设BC
1
∩B
1
C=D. ∵ABC—A
1
B
1
C
1
是正三棱柱，
∴BCC
1B
1
是矩形，D是B
1
C的中点. ∵E是AC的中点，
∴AB
1//DE. ∵DE⊂平面BEC
1
，AB
1
平面BEC
1
，∴AB
1
//平面BEC
1
.
〔３〕作CF⊥BC
1于F，FG⊥BC
1
于G；连CG. ∵平面BEC
1
⊥平面ACC
1
A，
∴CF⊥平面BEC
1．∴FG是CG在平面BEC
1
上的射影.
根据三垂线定理得，CG⊥BC
1. ∴∠CGF是二面角E—BC
1
—C的平面角.
设在Rt△ECC
1
中，CF=
在Rt△BCC
1
中，CG=在Rt△CFG中，
二面角E—BC
1
—C的大小是．
１８．〔1〕为寻求θ
tan与x的关系，首先可以将θ转化为.
∵⊥
PA面ABC，BC
AD⊥于D，
∴，
∴，
∴θ
tan．
∵为在面上的射影(shèyǐng)，
∴，即，
∴θ
tan．
即θ
tan的最大值为，等号当且仅当时获得(huòdé)．〔2〕由正切函数的单调(dāndiào)性可知：点Q的存在性等价于：是否存在
点Q使得，
，
令θ
>
x交集(jiāojí)非空，tan，解得：，与1
∴满足条件的点Q存在．
１９．〔１〕作于E. ∵平面，∴.
∴的长为点到平面ACD的间隔．
〔２〕∵ACD
'∴CE为在平面ACD内的射影.
⊥
B平面
E
又，∴AD⊥CD〔CE〕
∵AD=BC=1，∠ACB=90°
∴D为AB的中点，且
∴，∴
〔３〕∵E为CD的中点，且CD
'，
B⊥
E
．
作CF//DA，并作EF⊥CF于F，连接，那么为C
B'与AD所成的角.
在Rt△FCE中，，
∴
∵ACD
'，EF⊥CF ∴，∴
⊥
E
B平面
∴即B’C与AD所成的角为
２０．〔1〕设圆锥(yuánzhuī)的底面半径为R，母线长为l，由题意(tí yì)得：，即，
所以(suǒyǐ)母线和底面所成的角为．
〔2〕设截面与圆锥侧面(cèmiàn)的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，
那么OO
1//AB且在截面MON内，以OO
1
所在有向直线为y轴，O为原
点，建立坐标系，那么O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为〔R，－R〕，代入方程得
R2=－2p〔－R〕，得R=2p，l=2R=4p．
∴圆锥的全面积为．
内容总结。