直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

不能，直线的斜率k必须存在． 截距是不是距离？是不是一定要为正？ 截距与距离不一样，截距可正、可为零、可负, 而距离不能为负．
练习：1. （2024·徐州质检）直线 y ＝－3 x －6的斜率为 k ，在 y 轴上 的截距为 b ，则( )
A. k ＝3， b ＝6 C. k ＝－3， b ＝6
B. k ＝－3， b ＝－6 D. k ＝3， b ＝－6
l1与l2不能重合， 则 12a≠1，则 a≠2，故 a＝－2．
(2)若 l1⊥l2，则(a2－3)·1＝－1，所以 a2＝2，解得 a＝± 2．
求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3)．由于点(－2，3)在第二象限，故直线l
由题知直线 l 在 y 轴上的截距为－2.
由斜截式可得直线 l 的方程为 y ＝－2 x －2.
已知直线l的斜率为 1 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的
6
斜截式方程为____________
设直线l的方程为y 1 x b(b 0), 6
当x=0时,y=4)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的
斜截式方程是____________________．
直线y＝2x－3的斜率为2，则l的斜率为
1 2
直线l经过点A(0，4)，直线l的方程是 y 4 1 (x 0),即y 1 x 4
2
2
题型一 直线的点斜式方程
例1 （2024·无锡月考）已知在第一象限的△ ABC 中， A （1，
练习：1.直线l经过点P(3,4),它的倾斜角是直线y= 3 x+ 3 的倾斜角 的2倍,则直线l的方程是____________________
已知直线y 3x 3的倾斜角为60 ，则l的倾斜角为120 ，
斜率是 3,所以l的方程为y 4 3(x 3).
2. （2024·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个方向向量是 d ＝（3，2），则直线 m 的点斜式方程为 ___________
3)当直线l的倾斜角为 90°时，
y
l与x轴垂直,斜率 k 不存在
x－x0＝0，或x＝x0
P0
直线上任意一点
不能用点斜式求方程
O
x 的横坐标都是x0
1.点斜式方程中的点只要在这条直线上,哪一个都可以. 2.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是 y=0.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写 成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0. 练习：1．经过点(2，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是( ) A．y＝x－3 B．y＝2x＋1 C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
探究：如图,直线 l 经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P (x，y)是直线l 上不同于点P0 的任意一点，试问 x 与 y 之间满足怎样的关系式？
设点P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 由经过两点的直线斜率公式，得
k=
y-y0 x-x0
可化为 y－y0＝k(x－x0)
y
Pl
P0
教学目标： 1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程,并会用它们求直线的方程； 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系； 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．
教学重点： 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程,并会用它们求直线的方程．
教学难点： 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．
y
(0,b)
O
定义 直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直 线l在y轴上的截距． x
方程是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程叫做直 线的斜截式方程，简称斜截式．
1.斜截式方程的特点
y = kx + b
左边单独的y
斜率，x 前 的系数
y轴上的截距
2.对斜截式方程深入理解 能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线?
O
x
过点P0(x0，y0)且斜率为k直线方程是 y－y0＝k(x－x0)
方程由直线上一点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程，简称 点斜式．
过点P0(x0，y0)的直线有无数条 1)斜率存在，直线的方程为 y－y0＝k(x－x0) 2)l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，斜率 k=0
y
P0
l
O
x
y－y0＝0，或y＝y0 直线上任意一点的纵坐标都是y0
⁠.
直线m的斜率为
2
,
y
5
2
(
x
4).
3
3
题型二 直线的斜截式方程
例2（2024·金华月考）已知直线 l1的方程为 y ＝－2 x ＋3， l2的 方程为 y ＝4 x －2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线 l 的方程.
直线 l1的斜率 k1＝－2， 因为 l ∥ l1，所以 kl ＝－2.
(
)
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
若 a＞0，则1＞0，无符合选项；若 a＜0，则1＜0．
a
a
2.已知直线 l1：y＝x＋12a，l2：y＝(a2－3)x＋1，当 a 为何值时，
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2．
(1)若l1∥l2，则a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，又由于l1∥l2，两直线
由题意知，该直线斜率为2，又过点(2，1)，所以直线方程为y－1 ＝2(x－2)，即y＝2x－3.
2：一条直线经过点P0（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的 方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P0（-2，3）,斜率是 k=tan450=1 y－3 = x + 2
[规律方法] 点斜式方程的求法
(1) 当 a 为何值时， l1∥ l2？
设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2， 则 k1＝－1， k2＝ a2－2，
当
l1∥
l2时，则有
a2
2
1 ,
解得a
2a 2
1
(2) 当 a 为何值时， l1⊥ l2？
当 l1⊥ l2时， k1 k2＝－1，即 a2－2＝1， a 3.
1.如图，直线 y＝ax＋1a的图象可能是
情境导入 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的 手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹 看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.
(1) 托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ (2) 试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
知识点1 直线的点斜式方程
给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐 标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k（或倾斜角），就能唯一确 定一条直线. 也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,y）与点P0(x0，y0)和斜 率k之间的关系是完全确定的.
总过第二象限．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令
xx＋＋2y－＝10＝，0，解得
x＝－2， y＝3.
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
(1)求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜 率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率 或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．
(2)斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直 线方程x＝x0．
y
4 3 2 1
-2 -1 O
x
知识点2 直线的点斜式方程 已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求直线方程． y - b =k ( x - 0) 即 y = k x + b ．
1 b 6b 3, 解得b 1, 2
所以所求方程为y 1 x 1或y 1 x 1
6
6
求直线的斜截式方程应具备的条件 （1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在； （2）直线的斜截式方程 y ＝ kx ＋ b 中只有两个参数，因此要确
定直线方程只需两个独立条件即可.
(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，
1）， B （5，1）， A ＝60°， B ＝45°，求：
(1) AB 边所在直线的方程；
y
C
因为 A （1，1）， B （5，1），所以 AB ∥ x 轴， 所以 AB 边所在直线的方程为 y ＝1.
A
B
O
x
（2） AC 边与 BC 边所在直线的点斜式方程. 因为 A ＝60°，所以 kAC ＝tan 60°＝ 3 所以直线 AC 的点斜式方程为 y －1＝ 3 (x －1) 因为 B ＝45°，所以 kBC ＝tan 135°＝－1， 所以直线 BC 的点斜式方程为 y －1＝－(x －5)
则b可取的值有( )
y
A．－1
B．0
C．2
D．3
Ao B x
b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过 点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，
过点A(－1，0)时，b＝－2，过点B(1，0)时，b＝2，
题型三 直线斜截式方程的应用
例3 已知直线 l1： y ＝－ x ＋2 a 与直线 l2： y ＝（ a2－2） x ＋2.