2001-2021年江苏南通中考数学试题分类解析专题12：押轴题

2001-2021年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题12：押轴题
一、选择题
1. （2001江苏南通3分）下列命题：
（1）相似三角形周长的比等于对应高的比；
（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；
（3）若两圆相切，则这两个圆有3 条公切线；
（4）在⊙O中，若弧AB+弧CD＝弧EF，则AB+CD＝EF，其中真命题的个数为【】
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【答案】A。

【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，两圆相切的性质，圆心角、弧、弦的关系，【分析】三角形三边关系。

根据相关知识作出判断：
（1）根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比和对应高的比都等于它们的相似比，所以相似三角形周长的比等于对应高的比。

故命题正确，是真命题。

（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形，可能是腰可能是底为5cm。

当一个等腰三角形底是5cm，另一个等腰三角形腰是5cm时，两个等腰三角形不全等。

故命题错误，不是真命题。

（3）若两圆相切，可能外切也可能内切。

当两圆内切时，这两个圆有1 条公切线.。

故命题错误，不是真命题。

（4）如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，
则弧FM=弧AB。

∴AB=FM，CD=EM。

在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF。

故命题错误，不是真命题。

综上所述，真命题的个数为1个。

故选A。

2.（江苏省南通市2002年3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于【】
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B。

【考点】折叠的性质，勾股定理。

【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长：∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm。

∵AE=6cm，∴BE=4cm。

设CD=x，则在Rt△DEB中，42＋x2=（8－x）2，解得x=3（cm）。

故选B。

3. （江苏省南通市2003年3分）已知反比例函数
k
y
x
=的图象如图所示，则二次函数22
y2kx x k
=-+的图象
大致为【】
A．B．C．D．
【答案】D。

【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。

【分析】由反比例函数的图象得到k的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致：
∵函数
k
y
x
=的图象经过二、四象限，∴k＜0。

∴抛物线开口向下，对称轴
b 1
x0
2a4k
=-=＜，即对称轴在y轴的左边。

故选D。

4. （江苏省南通市2004年3分）某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另 一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是【 】
A 、正方形
B 、正六边形
C 、正八边形
D 、正十二边形
【答案】C 。

【考点】平面镶嵌（密铺），多边形内角和定理。

【分析】根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可：
A 、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；
B 、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；
C 、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密
铺；
D 、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺。

故选C 。

5. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示, 若42,M a b c =++N a b c =-+,42P a b =+,则【 】
A 、0,0,0M N P >>>
B 、0,0,0M N P ><>
C 、0,0,0M N P <>>
D 、0,0,0M N P <><
【答案】D 。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】∵当 x =2时，420y a b c <=++，∴可以判断420M a b c <=++；
∵当x =－1时，0y a b c >=-+，∴可以判断0N a b c >=-+； ∵抛物线的开口向上，对称轴在x =1右侧，∴a ＞0，对称轴=12b
x >a
-，即20a b<+。

∴可以判断()42=220P a b a b <=++。

故选D 。

6. （江苏省南通市课标卷2005年3分）用3根火柴棒最多能拼出【 】
A ．4个直角
B ．8个直角
C ．12个直角
D ．16个直角 【答案】C 。

【考点】垂线，立体图形。

【分析】当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时，可拼出“三线十二角”，十二个角都是直角。

故选C 。

7. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）已知二次函数y =2x 2+9x +34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1+x 2时的函数值与【 】 A 、x =1时的函数值相等
B 、x =0时的函数值相等
C 、x =
1
4时的函数值相等 D 、x =94
-时的函数值相等
【答案】B 。

【考点】抛物线与x 轴的交点，二次函数的对称性。

【分析】∵当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则以x 1、x 2为横坐标的两点关于直线x =94
-对称，
∴
12x x 9=24+-，所以129
x x =2
+-。

∵根据抛物线的对称性可知x =9
2
-与x =0时函数值相等。

故选B 。

8. （江苏省南通市课标卷2006年3分）如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有【 】
A ．10个
B ．12个
C ．14个
D ．16个 【答案】C 。

【考点】正方形的性质，勾股定理的逆定理。

【分析】根据正方形的性质和直角三角形的判定方法进行判定：
连接AE 得△ABE 、△ADE ，连接BD 得△ABD 、△BED ，同理连接CE 、BF 、
AF 、CD 得到△BCE 、△CFE 、△BCF 、△BEF 、△ACF 、△ADF 、△ACD 、△CDF 、△AEC 、△DBF ，共可得到14个直角三角形。

故选C 。

9. （江苏省南通市2007年4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以
BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是【 】．
A 、6cm
B 、10cm
C 、23cm
D 、25cm
【答案】B 。

【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数值。

【分析】易证△AOD 是等腰直角三角形．则圆心O 到弦AD 的距离等于
1
2
AD ，所以可先求AD 的长即可。

以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点， 则OA =OD ，△AOD 是等腰直角三角形。

易证△ABO ≌△OCD ，则OB =CD =4cm 。

在直角△ABO 中，根据勾股定理得到OA 2=20，OA =25。

在等腰直角△OAD 中，过圆心O 作弦AD 的垂线OP 。

则OP =OA •sin 45°=
10cm 。

故选B 。

10. （江苏省南通市2008年4分）设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且 10x <，2130x x -<，则【 】
A ．12m n >⎧⎨>⎩
B ．12m n >⎧⎨<⎩
C ．12m n <⎧⎨>⎩
D ．12m n <⎧⎨<⎩
【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，解一元一次不等式。

【分析】∵2130x x -<，∴213x x <。

∵10x <，∴20x <。

∵1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根， ∴121212x x m x x n +=-=-，。

∴1m -＜0，2n -＞0，解得：1
2m n <⎧⎨>⎩。

故选C 。

11. （江苏省2009年3分）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：
11122-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫
---⎛⎫-++
+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-----⎛⎫-++
+++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【 】 A ．第10个数
B ．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数
【答案】A 。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：
第1个数：
111022-⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)111
1113234326
⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++=-=-
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)111
11111423456424
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++=-=-
⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 按此规律，
第1n -个数：232311(1)(1)(1)11211112342222n n
n n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-----⎛⎫-++
++=-=
⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭； 第n 个数：()232111(1)(1)(1)1111111123421221n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-++++=-= ⎪⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭。

∵
()()()()()()
2112110221211n n n n n n
>n n n n n n -+-----==+++， ∴n 越大，第n 个数越小，所以选A 。

12. （江苏省南通市2010年3分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有【 】
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】B 。

【考点】等腰三角形的判定，坐标与图形性质。

【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q 点，选择正确答案，注意求解有关等腰三角形问题时一定要注意分情况讨论：
如图：满足条件的点Q 共有（0，2）（0，2 2 ）（0，-2 2 ）（0，4）。

故选B 。

13. （江苏省南通市2011年3分）设0m>n>，2
2
4m n mn +=，则22
m n mn
-＝【 】
A ．2 3
B ． 3
C ． 6
D ．3 【答案】A 。

【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算。

【分析】由224m n mn +=有()()2
2
62m n mn m n mn +=-= ，，因为0m>n>，所以6m n mn + ，
2m n mn -= ，则()()22621223m n m n m n mn mn mn mn mn
+--===A 。

14.（2012江苏南通3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠B ＝30º，AC ＝1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②， 可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3 ＝3＋3；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2012为止，则AP 2012＝【 】
A．2011＋671 3 B．2012＋671 3 C．2013＋671 3 D．2014＋671 3
【答案】B。

【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，AP i（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， 3 ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=3。

根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，AP i（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， 3 ，1，且三次一循环。

∵2012÷3==670…2，
∴AP2012=670（3+ 3 ）+2+ 3=2012+671 3。

故选B。

二、填空题
1. （2001江苏南通3分）已知ΔABC内接于⊙O，∠AOB＝1300，则∠C的度数为▲ _。

【答案】650。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵⊙O是△ABC的外接圆，∴∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角。

又∵∠AOB＝1300，∴根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一
半，得∠C＝1
2
∠AOB＝650。

2.（江苏省南通市2002年3分）为了了解小学生的素质教育情况，某县在全县各小学共抽取了200名五年级学生进行素质教育调查，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别为0.04，0.12，0.16，0.4，则第五小组的频数为▲ ．
【答案】56。

【考点】频率分布直方图，频数、频率和总量的关系。

【分析】根据各小组频率之和等于1，求得第5组的频率，再根据频率=频数÷总数，求得频数=频率×总数：根据
题意，得：第5小组的频率是1－（0.04+0.12+0.16+0.4）=0.28， 则第5小组的频数是200×0.28=56。

3. （江苏省南通市2003年2分）已知：如图：AB 是⊙O 的直径，BD =OB ，∠CAB =30度．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO =OB =BD 外）：① ▲ ② ▲ ③ ▲ 。

【答案】BC =
1
2
AB ；BC =OB ；BC =OB 。

（答案不唯一） 【考点】圆周角定理。

【分析】根据已知及圆周角定理进行分析，从而得到答案：
∵AB 是⊙O 的直径，BD =OB ，∴∠ACB =90° 又∵∠CAB =30°，∴BC =1
2
AB =OB 。

∵BD =OB ，∴BC =OB 。

4. （江苏省南通市2004年3分）已知一个矩形的长为3cm ，宽为2cm ，试估算它的对角线长为 ▲ cm （结果保留两个有效数字，要求误差小于0.2） 【【答案】3.6。

【考点】矩形的性质，勾股定理，估算无理数的大小，有效数字和近似值的误差。

【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理进行求解：根据勾股定理，得对角线的长= 223213+。

∵3.62=12.96，3.72=13.69，∴3.613 3.713 3.6≈。

13 3.6有，
)
2
13 3.6=25.967.21325.967.2 3.6=0.04--⨯，
13 3.60.2<。

∴3.6符合误差小于0.2的条件。

∴估算这个矩形的对角线长为3.6 cm （结果保留两个有效数字，误差小于0.2）。

5. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）如图, △P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2
在4
y (x 0)x
=
>的图象上,斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上,则点A 2的坐标是 ▲ .
【答案】（42 ，0）。

【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。

【分析】如图，作P 1B ⊥y 轴于点B ，P 1A ⊥x 轴于点A ，P 2C ⊥y 轴于点C ，P 2D ⊥x 轴于点D 。

∵△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形， ∴AP 1=BP 1，A 1D =DA 2=DP 2， ∵点P 1在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OA •OB =4。

∴OA =OB =AA 1=2，OA 1=4。

设A 1D =x ， ∵点P 2在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OD •OC =4，即（4+x ）x =4。

解得12x 2 2 2x 2 2 2=-+=--，（∵x 0>，∴舍去）。

则2OA 42x 444 2 4 2=+=-+=。

∴A 2坐标为（42 ，0）。

6. （江苏省南通市课标卷2005年3分）如图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数4
y (x 0)x
=>的图象上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ▲ ．
【答案】（42 ，0）。

【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。

【分析】如图，作P 1B ⊥y 轴于点B ，P 1A ⊥x 轴于点A ，P 2C ⊥y 轴于点C ，P 2D ⊥x 轴于点D 。

∵△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形， ∴AP 1=BP 1，A 1D =DA 2=DP 2， ∵点P 1在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OA •OB =4。

∴OA =OB =AA 1=2，OA 1=4。

设A 1D =x ， ∵点P 2在4
y (x 0)x
=
>的图象上，∴OD •OC =4，即（4+x ）x =4。

解得12x 2 2 2x 2 2 2=-+=--，（∵x 0>，∴舍去）。

则2OA 42x 444 2 4 2=+=-+=。

∴A 2坐标为（42 ，0）。

7. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）如图，直线y =kx （k ＞0）与双曲线4
y=x
交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2﹣7x 2y 1的值等于 ▲ ．
【答案】20。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A 、B 两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：
由题意知，直线y =kx （k ＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线4
y=x
交于两点，则这两点关于原点对称， ∴x 1=﹣x 2，y 1=﹣y 2。

又∵点A、点B在双曲线
4
y=
x
上，∴x1y1=4，x2y2=4。

∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20。

8. （江苏省南通市课标卷2006年3分）请写出一个二次函数y=ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=－2时，y＜0．答：▲ ．（答案不唯一）
【答案】y=－x2＋2x－3（答案不唯一）。

【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数的性质，
∵图象关于直线x=1对称，∴
b
1 2a
-=。

又∵当x=2时，y＞0；当x=－2时，y＜0，∴a＜0，c＞0，b2－4ac＞0。

∴与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且x1＜x2，－2＜x1＜0，2＜x2＜4。

∴可得较简单的一个为a=－1，b=2，x1=－1，x2=3，c=x1•x2=－3。

∴次函数y=ax2＋bx＋c可以为y=－x2＋2x－3。

9. （江苏省南通市2007年3分）如图，已知矩形OABC的面积为100
3
，它的对角线OB与双曲线
k
y=
x
相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝▲ ．
【答案】12。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值：
由题意，设点D的坐标为（x D，y D），则点B的坐标为（5
3
x D，
5
3
y D），
矩形OABC的面积=|5
3
x D·
5
3
y D|=
100
3
，
∵图象在第一象限，∴k=x D•y D=12。

10. （江苏省南通市2008年3分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：
方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．
方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差． 方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
现给出三点坐标：A （－1，4），B （2，2），C （4，－1），请你选择一种方法计算△ABC 的面积，你 的答案是ABC S ∆ ＝ ▲ ． 【答案】
5
2。

【考点】直角梯形的性质，坐标与图形性质。

【分析】应用方法二：过点A 和点C 分别向x 轴和y 轴引垂线，两垂线交于点D ．过点B 向x 轴引垂线，交CD 于点E ，则
ABC BEC ADC ADEB 53323555
S S S S 2222
∆∆∆+⨯⨯⨯=+-=+-=直角梯形（）。

11. （江苏省2009年3分）如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，△DEF 的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 ▲ cm 2．
【答案】16。

【考点】梯形中位线定理
【分析】根据已知△DEF 的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：
设梯形的高为h ，
∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∴△DEF 的高为h
2。

∵△DEF 的面积为1h 1
EF EF h 4224
⋅⋅=⋅=，∴EF h 16⋅=。

∴梯形ABCD 的面积为
()1
AD+BC h EF h 162
⋅=⋅=。

12. （江苏省南通市2010年3分）设x 1、x 2 是一元二次方程x 2＋4x －3=0的两个根， 2x 1(x 22＋5x 2－3)＋a ＝2，则a = ▲ ． 【答案】8。

【考点】一元二次方程根的概念，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元一次方程根与系数的关系，求出x 1＋x 2，x 1•x 2的值，然后化简所求代数式，把x 1＋x 2，x 1•x 2的
值整体代入求值即可：
根据题意可得x 1＋x 2=－4，x 1•x 2=－3，
又∵x 2 是一元二次方程x 2＋4x －3=0的两根，∴x 22＋4x 2－3=0。

又∵2x 1(x 22＋5x 2－3)＋a ＝2，即2x 1(x 22＋4x 2－3＋x 2) ＋a =2，即2x 1 x 2 ＋a =2， ∴2×（－3）＋a =2，解得a =8。

13. （江苏省南通市2011年3分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线
3
3
y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ▲ ．
【答案】9。

【考点】一次函数，直角三角形的性质，相似三角形。

【分析】设直线y ＝
3
3
x 与三个半圆分别切于A ， B ，C ，作AE ⊥X 轴于E ，则在Rt ∆AEO 1中，易得∠AOE =∠EAO 1=300，由r 1＝1得EO =12
， AE =
132
，OE =3
2，OO 1=2。

则。

111222222
12
33r OO R AOO R BOO r r OO r r ∆∆⇒
=⇒=⇒=+∽t t 同理，111333333
12
99r OO R AOO R COO r r OO r r ∆∆⇒
=⇒=⇒=+∽t t 。

14.（2012江苏南通3分）无论a 取什么实数，点P (a －1，2a －3)都在直线l 上，Q (m ，n )是直线l 上的点， 则(2m －n ＋3)2的值等于 ▲ ． 【答案】16。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【分析】∵由于a 不论为何值此点均在直线l 上，
∴令a =0，则P 1（－1，－3）；再令a =1，则P 2（0，－1）。

设直线l 的解析式为y =kx +b （k ≠0），
∴
k b3
b1
-+=-
⎧
⎨
=-
⎩
，解得
k2
b1
=
⎧
⎨
=-
⎩。

∴直线l的解析式为：y=2x－1。

∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。

∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。

三、解答题
1. （2001江苏南通11分）如图，已知ΔABC内接于⊙O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB2＝ED·EA，经过B，C两点的圆弧交AE于点I。

（1）求证：ΔABE∽ΔBDE；
（2）如果BI平分∠ABC，求证：AB AE BC EI
=；
（3）设⊙O的半径为5，BC＝8，∠BDE＝450，求AD的长。

【答案】解：（1）证明：∵EB2＝ED·EA，∴EB EA ED EB
=。

又∵∠AEB＝∠BED，∴ΔABE∽ΔBDE。

（2）证明：根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE。

∵BI平分∠ABC，∴∠DBI=∠ABI。

∵∠EBI=∠EBD＋∠DBI，∠BIE=∠BAE＋∠ABI，∴∠EBI=∠BIE。

∴△BEI是等腰三角形，即BE=EI。

根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到AB BD
AE BE
=，即
AB BD
AE BI
=。

∴
AB AE
BD EI
=。

（3）如图，连接OB，OE，OE交BC于点F。

根据（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE，
∴BE CE =。

∴OE 是BC 的中垂线。

∵⊙O 的半径为5，BC ＝8， ∴BF =CF =4，OB =5。

∴根据勾股定理，得OF =3。

∴EF =5－3=2。

∵∠BDE ＝450，∴ΔDEF 是等腰直角三角形。

∴DF =EF =2，DE ，BD =4＋， DC =4－。

又∵∠DBE =∠DAC ，∠BED =∠ACD ，∴ΔDBE ∽ΔDAC 。

∴
BD DE
AD DC =
=AD 。

【考点】圆的综合题，相似三角形的判定和性质，角平分线定义，圆周角定理。

垂径定理，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。

【分析】（1）由EB 2＝ED ·EA 可得EB ED
AE EB
＝
，由公共角∠BED =∠ACB ，根据相似三角形的判定即可证得ΔABE ∽ΔBDE 。

（2）由（1）ΔABE ∽ΔBDE 可得∠EBD =∠BAE ，从而由BI 平分∠ABC 可得∠EBI =∠BIE ，根据等角对
等边的判定得BE =EI 。

由（1）ΔABE ∽ΔBDE 可得
AB BD
AE BE
=
，从而得出结论。

（3）连接OB ，OE ，OE 交BC 于点F 。

由（1）ΔABE ∽ΔBDE ，得到∠EBD =∠BAE ，从而得到BE CE =，
从而得出OE 是BC 的中垂线。

由∠BDE ＝450，得ΔDEF 是等腰直角三角形。

因此可求出BD 、CD 、DE 的长，由ΔDBE ∽ΔDAC 的对应边成比例即可求得AD 的长。

2.（2001江苏南通12分）已知m 、n 是x 的方程2x (22t 0+++=的两个根，且2m mn 4+=+过点Q （m ,n ）的直线L 1交于点A （0，t ），直线L 1、L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C （如图）ΔABC 为等腰三角形。

（1） 求m 、n 、t 的值；
（2） 求直线L 1与直线L 2的解析式；
（3） 若P 为直线L 2上的点，且ΔABO 与ΔABP 相似，求点P 的坐标。

（4）
【答案】解：（1）∵m 、n 是x 的方程2x (23)x 2t 0++=的两个根，且2m mn 423+=+
∴(2m n=23m n=2t m mn 423⎧+-⎪⎪
⋅⎨⎪+=+⎪⎩
，解得m=2
n=3t 3-⎧⎪-⎨⎪=⎩
（2）由（1）得点Q (2,3- ， A (0,3 。

设直线L 1的解析式为11y=k x+b ，则1113=2k +b 3=b ⎧--⎪⎨⎪⎩，解得11k =3
b =3
⎧⎪⎨⎪⎩
∴直线L 1的解析式为y=3x+3
令y=3x+30，得x 1=-。

∴B （－1,0）。

∴OA 3OB =1，AB =2。

∵ΔABC 为等腰三角形，∴BC =AB =2。

∴OC =3，点C 的坐标为（－3，0）。

设直线L 1的解析式为22y=k x+b ，则2220=3k +b 3=b -⎧⎪⎨⎪⎩，解得22
3k =
3b =3
⎧⎪⎨⎪⎩。

∴直线L 1的解析式为3
y=
33
（3）由点A 、B 、C 的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB =∠BAC =300。

∴要使ΔABO 与ΔABP 相似只要∠APB =900或∠ABP =900。

∵点P 在直线L 2上，∴设P （3
p p+33
，）。

又∵OA =3，OB =1，
∴AB =2， 2
222
34AP p +p+33p 3⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝，
()2
2
22
34BP p+1+p+3p +4p+43⎛⎫== ⎪ ⎪⎝。

若∠APB =900，
则222AB AP BP =+，即2244
4p p +4p+433=+。

解得，p=0（舍去）或3
p=2
-。

此时，
3333p+3=+3=2⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭。

∴P （33
22
-
，）。

【注：此时实际上两三角形全等】 若∠ABP =900，
则222AP AB BP =+，即2244p 4p +4p+433
=+。

解得， p=2-。

此时，
()333
p+3=2+3=
⋅-。

∴P （3
2- ，）。

综上所述，点P 的坐标为（332- ，）或（3
2- ，）。

【考点】一次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解方程和方程组。

【分析】（1）由m 、n 是x 的方程2x (23)x 2t 0+++=的两个根，且2m mn 423+=+，根据一元二次方程根与系数的关系，可得三元方程组，解之即得m 、n 、t 的值。

（2）由（1）可得点A 、Q 的坐标，用待定系数法，可求得直线L 1的解析式。

由ΔABC 为等腰三角形可求得点C 的坐标，从而由点A 、C 的坐标，用待定系数法，可求得直线L 2的解析式。

（3）由点A 、B 、C 的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB =∠BAC =300，所以要使ΔABO 与ΔABP 相似只要∠APB =900或∠ABP =900。

因此分∠APB =900或∠ABP =900两种情况分别求解即可。

3.（江苏省南通市2002年10分） 某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期共投入固定成本200万元，每
生产1台这种新家电，还需要生产成本0.3万元，已知每台新家电的售价为0.5万元．
（1）分别求总成本y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；
（2）当x=900（台）时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．
（注：总成本=固定成本＋生产成本，总利润=总产值－总成本）
【答案】解：（1）根据题意，y1=0.3x＋200，y2=0.5x－（0.3x＋200）=0.2x－200。

（2）把x=900代入y2中，可得y2=0.2×900－200=－20＜0，
∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元。

（3）根据题意，
当0.2x－200＜0时，解得x＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会亏损；
当0.2x－200＞0时，解得x＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会盈利；
当0.2x－200=0时，解得x=1000，说明总产量等于1000台时，公司不亏不盈。

【考点】一次函数的性质和应用。

【分析】（1）根据题意可直接列出两个函数解析式。

（2）再把x=900代入y2中可求出盈利额，负则说明亏损，正则说明盈利。

（3）利用y2的解析式，让y2＞0则可算出生产多少会盈利，y2=0不亏损也不盈利，y2＜0则会亏。

4. （江苏省南通市2002年12分）设抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求的点中，有一个点也在抛物线y=ax2＋bx＋c上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，
∴
a b c2
4a2b c1
-+=
⎧
⎨
++=-
⎩
，解得
b a1
c12a
=--
⎧
⎨
=-
⎩。

（2）由（1）得，抛物线y=ax2－bx＋c－1的解析式是y=ax2＋（a＋1）x－2a，∵物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等，
∴ax2＋（a＋1）x－2a=x，即ax2＋ax－2a=0。

∵a是抛物线解析式的二次项系数，∴a≠0。

∴方程的解是x 1=1，x 2=－2，
∴抛物线y =ax 2－bx ＋c －1满足条件的点的坐标是P 1（1，1），P 2（－2，－2）。

（3）由（1）得抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的解析式是y =ax 2－（a ＋1）x ＋1－2a 。

①当P 1（1，1）在抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上时，有a －（a ＋1）＋1－2a =1，解得1
a 2
=-。

这时抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的解析式是21
1y x x 222
=--+，它与y 轴的交点是M （0，2）。

∵点A （－1，2），M （0，2）两点的纵坐标相等， ∴直线AM 平行于x 轴。

②当P 2（－2，－2）在抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上时，有4a ＋2（a ＋1）＋1－2a =－2，
解得5a 4
=-。

这时抛物线的解析式为2517y x x 442=-++ ，它与y 轴的交点是M （0，7
2
）。

∵A 、M 两点的纵坐标不相等， ∴直线AM 与x 轴相交。

综上所述，当P 1（1，1）在抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上时，直线AM 平行x 轴；
当P 2（－2，－2）在抛物线y =ax 2＋bx ＋c 上时，直线AM 与x 轴相交。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）把A （－1，2），B （2，－1）两点分别代入抛物线y =ax 2＋bx ＋c ，即可用a 表示出b 、c 的值。

（2）把（1）中所求b 、c 的值及x =y 代入抛物线y =ax 2－bx ＋c －1，即可求出符合条件的点的坐标。

（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其解析式，
根据其解析式可求出函数图象与y 轴的交点坐标，根据其纵坐标于A 点纵坐标的关系即可判断出直线AM 与x 轴的关系。

5. （江苏省南通市2003年7分）某果品公司急需将一批不易存放的水果从A 市运到B 市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下： 运输单位 运输速度（km /h ）
运输费用（元/千米） 包装与装卸时间（h ） 包装与装卸费用（元）
甲公司 60 6 4 1500 乙公司 50 8 2 1000 丙公司 100
10
3
700
解答下列问题：
（1）若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离；（精确到个位）
（2）如果A，B两市的距离为s（km），且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
【答案】解：（1）设A，B两市间的距离为x（km），则三家运输公司包装，装卸及运输的费用分别为：甲公司（6x＋1500）元，乙公司（8x＋1000）元，丙公司（10x＋700）元，
依题意得，（8x＋1000）＋（10x＋700）=2（6x＋1500），
解得x=2162
3
≈217（km）。

∴A，B两市间的距离约为217km。

（2）设选择三家运输公司所需的总费用分别为y1，y2，y3，由于三家运输公司包装，装卸及运输所需的时间分别为：甲公司（s 60 ＋4）h，乙公司（s 50 ＋2）h，丙公司（s 100 ＋3）h，
∴y1=6s+1500+（s 60 +4）×300=11s+2700，
y2=8s+1000+（s 50 +2）×300=14s+1600，
y3=10s+700+（s 100 +3）×300=13s+1600。

∵s＞0，∴y2＞y3恒成立。

∴只要比较y1与y3的大小：y1－y3=－2s+1100。

∵①当s＜550（km）时，y1＞y3，
又∵y2＞y3，∴此时选丙公司较好．
②当s=550（km）时，y2＞y1=y3，∴此时选择甲公司或丙公司较好。

③当s＞550（km）时，y2＞y3＞y1，∴此时选择甲公司较好。

6.
（江苏省南通市2003年10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x 轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点．
（1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；
（3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．
【答案】解：（1）证明：∵AB2+BD2=32+42=52=AD2
∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD。

∵x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，∴点D在y轴上。

（2）由旋转的性质知，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB。

过Q点作QH⊥BD，垂足为H。

在Rt△PQH中，
QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×312
=
55
，
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×416
=
55
，
BH=PB－PH=
169
5=
55 -。

∴Q（
12
5
-，
9
5
）。

∵直线y=kx+b过P、Q两点．
∴ b 5 129 k b 55=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得4k 3b 5⎧
=⎪⎨⎪=⎩。

∴直线PQ 的解析式为4y x 53=+。

（3）设B ′T ′与AB 交于点M ，Q ′T ′交AB 于点E ，交AD 于点F 。

∵0＜m ≤3，∴BB M BDFE S S S ∆'=梯形－。

由（2）可知，BE =QH =12
5 ．
∴AE =AB －BE =4－128
=55。

∴EF =AE •tan ∠DAB =836
=545⋅。

∴BDFE 11 6
12126
S EF BD BE 3225525=+⋅=⋅+⋅=梯形（）（）。

又ET ′∥BB ′，∴∠MB ′B =∠T ′=∠DAB ．
∴BM =BB ′•tan ∠MBB =m •tan ∠DAB = 3
4 m 。

∴2BB'M 1133
S BM BB m m m 2248∆=⋅⋅'=⋅⋅=。

∴2126
3
S m 0m 325 8=-≤（＜）。

7. （江苏省南通市
2004年8分）已知：△ABC 中，AB ＝10
⑴如图①，若点D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，求DE 的长；
⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，
求A 1B 1＋A 2B 2的值；
⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。

根据你所发现的规律，直接写出A 1B 1＋A 2B 2＋…＋A 10B 10的结果。

【答案】解：（1）∵D 、E 分别是AC 、BD 的中点，且AB =10，
∴DE =12
AB =5。

（2）设A 1B 1=x ，则A 2B 2=2x 。

∵A 1、A 2是AC 的三等分点，且A 1B 1∥A 2B 2∥AB ，
∴A 2B 2是梯形A 1ABB 1的中位线，即：x +10=4x ，得x =
103 ， ∴A 1B 1+A 2B 2=10。

（3）A 1B 1＋A 2B 2＋…＋A 10B 10 =50。

【考点】分类归纳（图形的变化类），三角形中位线定理，梯形中位线定理。

【分析】（1）根据三角形的中位线定理进行计算。

（2）设A 1B 1=x ，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理列方程求解。

（3）根据（1）和（2）的解答过程，发现每一条线段的长和总线段之间的关系：当n 等分点的时候， 有()1122n 1n 110n 11020A B A B A B n n n
---==⋯=，，，则()1122n 1n 1A B A B A B =5n 1--⋯-＋＋＋。

甩以A 1B 1＋A 2B 2＋…＋A 10B 10 =5×（11－1）=50。

8. （江苏省南通市2004年10分）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD ，顶点A 的坐标为（0，3），BC ＝2AB ，P 为AD 边上一动点（与点A 、D 不重合），以点P 为圆心作⊙P 与对角线AC 相切于点F ，过P 、F 作直线L ，交BC 边于点E ，当点P 运动到点P 1位置时，直线L 恰好经过点B ，此时直线的解析式是y ＝2x ＋1
⑴求BC 、AP 1的长；
⑵设AP ＝m ，梯形PECD 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，写出自变量m 的取值范围；
⑶以点E 为圆心作⊙E 与x 轴相切
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由。

【答案】解：（1）在y＝2x＋1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1）。

∵A的坐标为（0，3），∴在y＝2x＋1中，，令y=3，得x=1，∴P1（1，3）。

∴AB=3－1=2 ，BC=2AB=4，AP 1=1。

（2）过点D作DG∥PE交BC于点G，
则由△DCG≌△BA P1，得CG=A P1=1
∵1≤m＜4，
∴PD=4－m，EC=4－m＋1=5－m，CD=2，
∴
1
S4m5m292m1m4 2
=-+-⨯=-≤
（）（＜）。

（3）①⊙P和⊙E的位置关系有相交、外切和相离，理由如下：在Rt△ABP1中，
∵AB=2，AP1=1，∴BP1=5。

∴PE= BP1=5。

在Rt△ABC中，
∵AB=2 ，BC=4，∴AC=25。

∵Rt△APF∽Rt△ACD，
∴AP PF
=
AC CD
，即
PF
=
2
25
，∴
5
PF=m。

∴EF=5－5
m。

如图，过点E作EH⊥x轴于点H，则EH=OB=1。

设AP＝m，
∴当⊙P 和⊙E 相切时，EF =EH =1，解得m=5
当⊙P 和⊙E 相交时，1≤m ＜4，且EF ＜EH ＜1，解得5m 4<。

当⊙P 和⊙E 相离时，1≤m ＜4，且EF ＞EH ＞1，解得1m 5<≤。

∴当1AP 5<≤P 和⊙E 相离；
当AP=5-P 和⊙E 相切；
当5AP 4<时，⊙P 和⊙E 相交。

②外离或相交．理由如下：
∵矩形ABCD 的面积是8，且直线L 把矩形ABCD 分成两部分的面积之比值为3：5，
∴PECD S 5=四形边或者PECD S 3=四形边。

当PECD S 5=四形边时，9－2m =5，m =2，即AP =2，
∴1AP 5<≤。

∴此时两圆外离。

当PECD S 3=四形边时，9－2m =3，m =3，即AP =3，
∴5AP 4<。

∴此时两圆相交。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理，梯形的面积，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）求BC 、AP 1的长，因为BC =2AB ，可以根据直线的解析式是y =2x +1，确定B 、P 1的坐标，得出AB 的距离，从而求出BC 、AP 1的长。

（2）根据梯形PECD 的面积公式求出PD 、EC 、CD 的长，从而求出S 与m 之间的函数关系式，及自变量m 的取值范围。

（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP 相应的取值范围，确定⊙P 和⊙E 的位置关系。

9. （江苏省南通市大纲卷2005年10分）已知关于x 的方程22x kx k n 0-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ,且21212(2x x )8(2x x )150+-++=.
（1）求证：n 0<;。