2019-2020学年人教A版数学必修四培优教程课件：第3章 三角恒等变换3-1-2-2a

第四页，编辑于星期六：二十三点 八分。
2．函数 y＝sin2x＋4π＋sin2x－π4的最小值为(
)
A． 2
B．－2
C．－ 2 D． 3
解析
因为
y
＝
sin
2x＋4π
＋
sin
2x－π4
＝
sin2xcos
π 4
＋
cos2xsinπ4＋sin2xcos4π－cos2xsinπ4＝ 2sin2x，所以所求函数
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2．是否存在锐角 α 和 β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tanα2tanβ ＝2－ 3同时成立？若存在，求出 α 和 β 的值；若不存在， 请说明理由．
解 假设存在锐角 α 和 β，使题中的(1)(2)同时成立， 则：若 α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3，
－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝
2 2.
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5．已知 tanα 和 tan4π－α是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个 根，则 a，b，c 的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝b＋a D．c＝ab
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三、解答题 9．已知 tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝5sicnoαs＋α－2csoinsαα. (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 tanβ 的值．
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解 (1)因为 tan(π＋α)＝－13，所以 tanα＝－13， 因为 tan(α＋β)＝5sicnoαs＋α－2csoinsαα＝t5a－nαt＋anα2， 所以 tan(α＋β)＝－513＋＋132＝156. (2)因为 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα， 所以 tanβ＝1－1561＋ 56×13 13＝3413.
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8．已知 tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则 tanα＋2 β的值 1
等于____7____． 解析 tanα＋2 β＝tanα－β2＋β－α2 ＝1t－antαan－αβ2－＋β2ttaannββ－－α2α2＝1＋16 16＝17.
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的最小值为－ 2.
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3．已知向量 a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，
那么|a－b|的值为( )
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D．1
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2(cos75°cos15°
＋sin75°sin15°)＝2－2cos(75°－15°)＝2－2cos60°＝1.
解析
由韦达定理可知
tanα
＋tBiblioteka n4π－α＝－
b a
且
tanαtanπ4－α＝ac，∴tanπ4＝tanα＋π4－α＝1－－baac＝1.∴－ba＝
1－ac.∴－b＝a－C．∴c＝a＋B．故选 C．
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二、填空题 6．计算1t－ant51aπ2n＋51π2t·atann4ππ4的值等于__－___33___．
＝45.又
θ∈0，2π，所以
sinθ＝25 5，cosθ＝
5 5.
(2)解法一：sin(θ－φ)＝sinθcosφ－cosθsinφ＝ 1100，将
sinθ＝2 55，cosθ＝ 55代入上式，整理得 2cosφ－sinφ＝ 22，
结合
sin2φ＋cos2φ＝1,0<φ<π2，可得
cosφ＝
2 2.
∴tanα2＋β＝1ta－nα2ta＋nα2tatannββ＝ 3.
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又∵tanα2tanβ＝2－ 3，∴tanα2＋tanβ＝3－ 3， ∴tanα2，tanβ 是一元二次方程 x2－(3－ 3)x＋2－ 3＝0 的两根， ∴x1＝1，x2＝2－ 3. ∵若 tanα2＝1，但由于 α 是锐角，即 0<α2<π4，故这是不 可能的，
所以|a－b|＝1.
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4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的
值为( )
A． 2
B．
2 2
C．12 解析
D．
3 2
原 式 ＝ sin(65°－ x)cos(x － 20°) － cos(65°－
x)·sin(20°－ x) ＝ sin(65°－ x)·cos(x － 20°) ＋ cos(65°－ x)·sin(x
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解法二：由 0<θ<π2，0<φ<π2可得
－
π 2
<θ
－
φ<
π 2
，
cos(θ
－
φ)
＝
1－sin2θ－φ ＝
1－
11002＝3 1010，
cosφ ＝ cos[θ － (θ － φ)] ＝ cosθcos(θ － φ) ＋ sinθsin(θ － φ)
＝ 55×31010＋2 55× 1100＝ 22，
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∴tanα2＝2－ 3，tanβ＝1. ∵0<β<π2，∴β＝π4，α＝23π－2β＝6π. ∴存在这样的锐角 α＝6π，β＝4π.
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A版·必修4
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课后课时精练
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A 级：基础巩固练
一、选择题
1．若ssiinnαα＋ －ccoossαα＝12，则 tanα＋π4＝(
)
A．－2
B．2
C．－12
D．12
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解析 因为ssiinnαα＋ －ccoossαα＝12，所以ttaannαα－＋11＝12， 因为ttaannαα＋ －11＝ttaannααt＋anπ4ta－nπ41＝－tanα＋π4＝12， 所以 tanα＋π4＝－12.
∴cosφ＝
2 2.
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B 级：能力提升练 1．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝____1____.
解 析 因 为 tan67°－ tan22°＝ tan(67°－ 22°)(1 ＋ tan67°·tan22°)
＝tan45°(1＋tan67°tan22°) ＝1＋tan67°tan22°， 所以 tan67°－tan22°－tan67°tan22° ＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.
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10．已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，
其中 θ∈0，π2. (1)求 sinθ 和 cosθ 的值；
(2)若 sin(θ－φ)＝ 1100，0<φ<π2，求 cosφ 的值．
解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即 sinθ＝2cosθ.
解法一：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即
cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又
θ∈0，π2，∴sinθ＝2 5 5，cosθ＝
5 5.
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解法二：由
sinθ＝ 2cosθ
可得
tanθ
＝
2
，
又
1 cos2θ
＝
cos2cθo＋s2sθin2θ＝1＋tan2θ＝5，所以 cos2θ＝15，sin2θ＝1－cos2θ
解析
原式＝tan511π2＋π4＝tan123π＝－
3 3.
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7．已知 13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，则 56
sin(α＋β)＝____6_5___. 解 析 将 条 件 平 方 并 两 式 相 加 ， 得 169 ＋ 25 ＋
130(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝81＋225，∴sin(α＋β)＝111320＝5665.