勾股定理教案：勾股定理与平面坐标系

教案设计
一、教学目标
1. 了解勾股定理的定义、证明方法及应用；
2. 掌握使用平面坐标系求解勾股定理的方法；
3. 培养学生的逻辑思考能力、数学运算能力和创新意识。

二、教学内容
1. 勾股定理的概念及证明
2. 平面坐标系
3. 使用平面坐标系证明勾股定理
三、教学过程
1.引入
本课时将学习勾股定理及其在平面坐标系中的应用。

勾股定理是未来数学发展中最为基础的定理之一，与平面坐标系也是密不可分的。

我们将通过本节课的学习，深入了解勾股定理与平面坐标系，并掌握一定的证明方法。

2.概念讲解
勾股定理，又称巧算定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。

证明方法：我们以正方形为例，假设正方形的对角线长度为c，正方形的边长为a，则有两个直角三角形，斜边分别为c和a，两腰分别为a/2和a/2。

根据勾股定理可知，c的平方等于(a/2)的平方加(a/2)的平方，即c^2=a^2/4+a^2/4，即c^2=a^2/2。

3.平面坐标系
平面坐标系是平面直角坐标系的简称，它是有序数对（x，y）的集合。

平面坐标系中，x轴和y轴互相垂直，且相交于原点O。

x轴上的点的坐标为（x，0），y轴上的点的坐标为（0，y）。

在这个基础上，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。

4.使用平面坐标系证明勾股定理
我们以一组数对A（x1，y1）、B（x2，y2）为例，假设A、B两点之间的距离为c，且在平面坐标系中，A、B和原点O的连线分别构成了一个正方形。

根据勾股定理可知，c^2=(x2−x1)2+(y2−y1)2。

我们现在来证明它的正确性。

我们可以将正方形分割成两个矩形，如下图所示：
[图]
矩形OBDE的长为x2-x1，宽为y2，其面积为A1=(x2-x1)*y2；
矩形OACD的长为x2，宽为y1，其面积为A2=x2*y1。

由图可知，正方形的面积为A1+A2+c^2。

正方形的另一种表达方式是，它由两个相等的直角三角形拼接而成。

直角三角形OAC和ODC共有一个直角。

由勾股定理可知：
OC^2=x2^2+y1^2
OA^2=x1^2+y2^2
则正方形的面积为A1+A2+c^2，又因为正方形面积等于勾股定理的公式推导中正方形的面积，两者相等，即c^2=(x2−x1)2+(y2−y1)2。

5.练习
1. 求过点（3，4），斜率为2的直线与过点（-1，2）和（3，-6）的直线所成的三角形面积。

[解] 求出过点（3，4），斜率为2的直线的方程，即 y=2x-2。

求出过点（-1，2）和（3，-6）的直线的方程，即 y=-2x+4。

两条直线的交点为（3，4），则三角形三边的长度为线段OA的长度为√45，OB的长度为√20，AB的长度为√65。

由海伦公式，三角形的面积为6。

2. 已知三角形的三个顶点是（0，0）、（2，1）和（1，3），求其面积。

[解] 求出三个点两两之间的距离：
||AB||^2=(2−0)^2+(1−0)^2=5；
||AC||^2=(1−0)^2+(3−0)^2=10；
||BC||^2=(1−2)^2+(3−1)^2=5。

由海伦公式，三角形的面积为2。

四、总结
通过本课时的学习，我们了解了勾股定理的定义和证明方法，学习了在平面坐标系中求解勾股定理的方法，并通过练习掌握了一定的计算技能。

同时，我们也理解了勾股定理在数学与实际生活中的广泛应用，增强了我们创新意识和实际解决问题的能力。

希望大家能够在日常学习和生活中用数学方法去探索和解决问题。