天津市武清区2010届高三数学第一次高考模拟 理 新人教版

天津市武清区2010届高三第一次模拟数学(理科)试题
一. 选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分。

每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若i 为虚数单位，则复数i
i
z 211++=
在复平面上对应的点位于（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．若全集U=R ，集合A=｛1|2||≥+x x ｝，B=｛02
1
|
≤-+x x x ｝，则C U (A ∩B)为（ B ） A ．｛x |1-<x 或2>x ｝ B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝ C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝ D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝
3．10
32)(x x -的展开式中二项式系数最大的项是（ C ）
A ．5
B ．6
C ．-2523
25x
D ．2103
26x
4．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ A ）
A ．5
B ．5
C ．2
D ．2
5．一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线 的两个端点为A 、B ，则经过这个几何体的面，A 、B 间的最短路程是（ B ）
A ．52
B ．74
C ．45
D ．310
6．根据表格中的数据，可以判定函数
2)(--=x e x f x 的一个零点所在的
区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值 为（ C ）
题号 一 二 三
总分 17 18 19 20 21 22 得分
x
－1 0 1 2 3 x e
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2x +
1
2
3
4
5
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
7．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如右图所示，
则式子1
31100lg ln )45tan 2(-⎪⎭
⎫
⎝⎛⊗+⊗e π
的值为（ A ）
A ．13
B ．11
C ．8
D ．4
8．在方程⎩
⎨
⎧==θθ
2cos sin y x （θ为参数且θ∈R ）表示的曲线上的一个点的坐标是（ C ）
A ．（2，-7）
B ．（1，0）
C ．（
21，2
1
） D ．（91，32）
9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如下的“0―1三角”。

在“0―1三角”中，从第1行起，设第n （*
∈N n ） 次出现全行为1时，1的个数为n a ， 则3a 等于（ A ）
A ．26
B ．27
C ．7
D ．8
10．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，则“)(x f 是周期函数”的一个充要条件
是（ D ）
A ．x x f cos )(=
B ．R a ∈∀，)()(x a f x a f -=+
C ．)1()1(x f x f -=+
D ．)0(≠∈∃a R a ，)()(x a f x a f -=+
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横
线上）
11．某校高一年级有学生280人，高二年级260人，高三年级360人，现采用分层抽样抽取容量为45的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为 18 12．等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若5a =1，则9S 等于 9 13．两圆相交于两点（1，3）和（m ，-1），两圆圆心都在直线x-y+c=0上，且m 、c 均为实
数，则m+c= 3
14．已知⎰-=
1
2
2)2()(dx x a ax a f ，则函数)(a f 的最大值为 9
2 15．已知非零向量a 、b ，满足a ⊥b ，且a +2b 与a -2b 的夹角为1200
，
则|
||
|b a
16．如图，在1×6的矩形长条格中，两格涂红色， 两格涂黄色，两格涂蓝色，但要求至少
有一种
颜色涂在了相邻的两格，则不同的涂色方法共有 60 种
三.解答题（本大题共6小题，共76分，解答题应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）。

17．（本小题满分12分）
已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边依次是a 、b 、c ，若b=3，c=22，
cosC=sin(B-A),求A 及a 的大小。

∵ C=π-（A+B ） ∴ cosC=-cos （A+B ） ………………2分 ∵ cosC=sin(B-A) ∴ -cos （A+B ）=sin(B -A)
∴ -cosAcosB+sinAsinB=sinBcosA-cosBsinA ………………4分 ∴ sinA(sinB +cosB)= cosA(sinB +cosB)
∵ B 为锐角
∴ sinB +cosB ≠0 ∴ sinA=cosA ∴ tanA=1 ……………6分 ∵ A 为锐角
∴ A=450
…………………8分
在△ABC 中，由余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bccosA …………10分 ∴ a 2
=9+8-2×3×22×
2
2=5 ∴ a=5 ……………………12分
18．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场。

每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。

在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为4
1
，乙胜丙的概率为
5
1。

（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；
（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴ 甲获第一的概率为
32×41=6
1
………………2分 丙获第二，则丙胜乙，其概率为1-51=54
………………4分
∴ 甲获第一名且丙获第二名的概率为61×54=15
2
……………6分
（2）ξ可能取的值为0、3、6 …………………………7分 甲两场比赛皆输的概率为
P （ξ=0）=（1-
32）（1-41）=4
1 ………8分 甲两场只胜一场的概率为
P （ξ=3）=
32×（1-41）+41×（1-32）=12
7 ………………9分 甲两场皆胜的概率为P （ξ=6）=32×41=6
1
……………10分
∴ ξ的分布列为
ξ 0
3
6
P
41 127 6
1 ∴ E ξ=0×
41+3×127+6×61=4
11 ……………………12分
19．（本小题满分12分）
如图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=600
，AB=2，PA=1,PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点。

（1）求证：BE ∥平面PDF ；
（2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；
（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐角。

（1）取PD 中点为M ，连ME ，MF ∵ E 是PC 的中点 ∴ ME 是△PCD 的中位线 ∴ ME //
2
1
CD ∵ F 是AB 中点且由于ABCD 是菱形，AB //CD ∴ ME //FB ∴ 四边形MEBF 是平行四边形 …………2分
∴ BE ∥MF …………………3分
∵ BE ⊄平面PDF ,MF ⊂平面PDF ∴ BE ∥平面PDF ………4分 （2）∵ PA ⊥平面ABCD DF ⊂平面ABCD ∴ DF ⊥PA ……………5分
∵ 底面ABCD 是菱形，∠BAD=600
∴ △DAB 为正△ ∵ F 是AB 中点 ∴ DF ⊥AB ……………6分
∵ PA 、AB 是平面PAB 内的两条相交直线 ∴ DF ⊥平面PAB ………7分 ∵ DF ⊂平面PDF ∴ 平面PDF ⊥平面PAB ………………8分 （3）（解法一）以A 为原点，垂直于AD 、AP 的方向为x 轴，AD 、AP 的方向分别为y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系，易知P （0，0，1）、C （3，3，0）、D （0，2，0）、
F （
2
3，21
，0）…………………9分 由（2）知DF ⊥平面PAB ，
∴ DF =（
2
3
，-23，0）是平面PAB 的一个法向量 …………10分
设平面PCD 的一个法向量为=n
（x ，y ，z ）
由n ·DC =（x ，y ，z ）·(3，1，0)=0得3x+y=0 由n
·PD =（x ，y ，z ）·(0，2，-1)=0得2y-z=0 在以上二式中令y=3，则得x=-1，z=23 ∴ n
=（-1，3，23） …………………11分 设平面PAB 与平面PCD 所成的锐角为θ
∴ cos θ=|cos ＜n
，DF ＞2
1||||=DF n
∴θ=600
∴ 平面PAB 与平面PCD 所成的锐角为600
…………12分
（3）（解法二）设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，
∵ CD ∥AB ，AB ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ∴ CD ∥平面PAB ∵ CD ⊂平面PCD ∴ CD ∥l ∴ AB ∥l ……………9分 作FM ⊥l 交l 于M ，连MD ，易知FM=AP=1 ，DF=3 …………10分 由（2）知DF ⊥AB ∴ l ⊥DF
∵ FM 、DF 是平面MDF 内的两条相交直线，∴ l ⊥平面MDF
∴ ∠FMD 就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角 …………11分 在直角△FMD 中，tan ∠FMD=
3FM
DF
= ∴ ∠FMD=600
∴ 平面PAB 与平面PCD 所成的锐角为600
…………………12分 20．（本小题满分12分）
已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2
-='，b f =)0(，a 、b 为实数。

（1）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，且21<<a ，求
函数)(x f 的解析式。

（1）由导数的几何意义)1(+'a f =12 ……………1分
∴ 12)1(3)1(32=+-+a a a ……………2分
∴ 93=a ∴ 3=a ………………………3分 （2）∵ ax x x f 33)(2-='，b f =)0( ∴ b ax x x f +-=2
3
2
3)( ……5分 由 0)(3)(=-='a x x x f 得01=x ，a x =2 ∵ ∈x ［-1，1］，21<<a
∴ 当∈x ［-1，0)时，0)(>'x f ，)(x f 递增；
当∈x （0，1］时，0)(<'x f ，)(x f 递减。

……………8分 ∴ )(x f 在区间［-1，1］上的最大值为)0(f ∵ b f =)0(，∴ b =1 ……………………10分 ∵ a a f 2321231)1(-=+-
=，a a f 2
31231)1(-=+--=- ∴ )1()1(f f <- ∴ )1(-f 是函数)(x f 的最小值， ∴ 223-=-
a ∴ 3
4
=a ∴ )(x f =122
3
+-x x ………………12分 21．（本小题满分14分）
如图，椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1（-1，0）、
F 2（1，0），M 、N 是直线2
a x =上的两个动点，且0N F M F 21=•。

（1）设曲线C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （2）若以MN 为直径的圆中，最小圆的半径为22，求椭圆的方程。

（1）设M （2
a ，1y ）、N （2
a ，2y ），
则=M F 1(1+2
a ，1y )，N F 2=（2
a -1，2y ），
∵ 0N F M F 21=• ∴ (1+2
a ，1y )（2
a -1，2y ）=0， ∴ 1y 2y +4
a =1 ……………………………3分 圆心C （2
a ，
221y y +），半径2
|
|21y y r -= ………………………5分 ∴ |OC|2
=4
a +4)(221y y +，4
)(2212
y y r -=
∴ |OC|2-2r = 1y 2y +4
a =10> ………………6分
∴ |OC|r > ∴ 原点O 在圆C 外 ……………………………7分
（2）∵ 1y 2y +4
a =1 ∴ 1
4
21y a y -=
∴ |1|21||2114121y a y y y r --=-==|1
|211
41y a y -+ ………9分
∵ 1=c ∴ 1>a ∴ 4a >1 ∴ 4
a -1>0 …………10分
∴ 1)|
|1
|(|214141-≥-+=a y a y r
当且仅当14
21-=a y 时等号成立 ……12分 ∴ 14-a =22 ∴ 2
a =3 ………13分
∵ 1=c ∴ 22
=b
∴ 所求椭圆的方程为12
32
2=+y x …………………14分
22．（本小题满分14分）
已知正项数列｛n a ｝满足01=-+n n
n na a （*
∈N n ）
（1）求1a ，2a ； （2）求证：10<<n a
（3）求证：122221<+++n a a a 。

（1）∵ 01=-+n n n na a ，*
∈N n
令1=n 得0111=-+a a ∴ 2
1
1=
a ………………1分 令2=n 得 01222
2=-+a a ∴ 212±-=a
∵ 0>n a ∴ 122-=
a ……………………………3分
（2）∵ 01=-+n n n na a ∴ n a 是方程1-+nx x n
的一个根 ………4分
设=)(x f 1-+nx x n
，则01)0(<-=f ，0)1(>=n f 。

∴ 方程=)(x f 0在（0，1）内至少有一个根。

…………………6分 ∵ 0)(1
>+='-n nx
x f n ∴ )(x f 在（0，+∞）上是增函数，…………7分
∴ 方程=)(x f 0在（0，+∞）上有唯一的根，且根在（0，1）内， ∴ n a ∈（0，1） ∴ 10<<n a ………………………………9分
（3）当1=n 时，14
1
21<=
a 原式成立。

………………………10分 当2≥n 时，∵ 01=-+n n
n na a 且10<<n a ∴ n
n a a n
n n 1
1<-= ……………………11分 ∴ 2
2
2
2
2
2221)1()3
1()2
1()2
1
(n
a a a n ++++<+++ ＜
n
n )1(14313214141-++⨯+⨯++
=
)111()4131()3121(21n n --++-+-+ =1-11
<n
………………………………………13分
综上，∴ 12
2221<+++n a a a …………………………14分。