2021-2022学年沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程同步测评练习题(精选含解析)

八年级数学第二学期第二十一章代数方程同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）
A．
222
9
33
y x y x
=+=+
,B．
222
9
33
y x y x
=-+=+
,
C．
222
9
33
y x y x
=-+=-+
,D．
222
9
33
y x y x
=+=-+
,
2、若a为整数，关于x的不等式组
2(1)43
40
x x
x a
+<+
⎧
⎨
-<
⎩
有解，且关于x的分式方程
11
2
22
ax
x x
-
+=
--
有正
整数解，则满足条件的a的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）
A ．606030(125%)x x -=+
B ．606030(125%)x x
-=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x
⨯+-= 4、若关于x 的方程
2222x m x x ++=--有增根，则m 的取值是（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．1
5、某单位向一所希生小学赠送1080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个，设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为（ ）
A ．108010801215x x =+-
B ．108010801215
x x =-- C ．108010801215x x =-+ D ．108010801512x x =+- 6、已知方程：① 2
64
x x x +=；② 232x x +=+；③ 2190x -=；④ ()3618x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7、A ，B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ）
A ．4848944x x +=+-
B ．4848944+=+-x x
C ．9696944x x +=+-
D ．
9696944+=+-x x 8、直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+的交点P 的横坐标为1，则下列说法错误的是（ ）
A ．点P 的坐标为(1,2)
B ．关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12
x y =⎧⎨=⎩ C ．直线1l 中，y 随x 的增大而减小
D ．直线y nx m =+也经过点P
9、下列关于x 的方程是分式方程的是（ ）
A ．2356x x ++=
B ．323x
x -= C ．137x x -=+ D ．35
1x = 10、要把方程
250363y y -=-化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A ．3y －6 B ．3y C ．3 （3y －6） D ．3y （y －2）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若直线2y x b =+经过直线2y x =-与4y x =-+的交点，则b 的值为____________．
2、已知直线y ＝3x 与y ＝﹣x +b 的交点坐标为（a ，3）则2b +a 的平方根是______．
3、学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为1份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买________支．
4、为了营造绿色环境，小区决定进行绿化美化工程．甲、乙两队合作6天可以完成，乙、丙两队合作10天可以完成，甲、丙两队合作5天可以完成全工程的23
，问三个队分别单独做该工程，各需几天完成？
设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得方程组________________，又设
111,,a b c x y z ===，原方程组变形为________________，解这个关于a 、b 、c 的三元方程组，得a =______，b =______，c =______，所以x =______，y =______，z =______．
5、几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x 人，则可列方程___．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、解分式方程：
（1）21133
x x x x =+++．
（2）11222x x x
-+=--． 2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 5y kx =+图象经过点A （1，4），点B 是一次函数5y kx =+的图象与正比例函数 23
y x = 的图象的交点． （1）求k 的值和直线与x 轴、y 轴的交点C 、D 的坐标；
（2）求点B 的坐标；
（3）求△AOB 的面积．
3、观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．解答下面的问题： （1）猜想并写()
11n n =+ ． （2）求111112233420202021
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值． （3）探究并解方程：()()()()()
211133366918x x x x x x x ++=++++++． 4、如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点()3,0A ，交y 轴正半轴于点B ，且2OA OB =，正比例函数y x =交直线AB 于点P ，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ．
（1）求直线AB 的函数表达式和点P 的坐标；
（2）在y 轴负半轴上是否存在点Q ，使得APQ 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5、解方程：()
23
133x x x -=--．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据根据进球总数为49个，总共20人，分别列出,x y 的关系式即可．
【详解】
根据进球总数为49个得：23495342522x y +=⨯⨯=﹣﹣﹣， 整理得：2
2233
y x =-+， ∵20人一组进行足球比赛，
∴153220x y +++++=，
整理得：9y x =-+． ∴222933
y x y x =-+=-+,． 故选C ．
【点睛】
本题考查了两直线交点与二元一次方程组，理解题意列出关系式是解题的关键．
2、A
【分析】
观察此题先解不等式组确定x 的解集，由不等式组有解确定a 的取值范围，再根据分式方程有正整数解，即可找出符合条件的所有整数a ．
【详解】
不等式组2(1)4340x x x a +<+⎧⎨-<⎩①②
， 解①得：2x >-， 解②得：4
a x <， 24
a x ∴-<<且不等式组有解， 2,48,a a ∴-<
∴>-
解关于x 的分式方程
11222ax x x -+=--得： 22x a =
-， 分式方程有正整数解，a 为整数，
1,0,x a ∴==
2,1,x a ==方程产生增根，舍去，
∴符合条件的a 的值有1个，为0，
故选：A ．
【点睛】
此题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，熟练掌握不等式组的解法以及分式方程的解法是解决本题的关键．
3、A
【分析】
设原计划工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为(125%)x +万平方米，根据题意，得606030(125%)x x
-=+，选择即可． 【详解】
设原计划工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为(125%)x +万平方米， 根据题意，得
606030(125%)x x
-=+， 故选A ．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用题，准确找到等量关系是解题的关键．
4、A
【分析】
方程两边都乘以最简公分母(x -2)，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值,然后代入进行计算即可求出m 的值．
【详解】
方程两边都乘以(x -2)得：
-2+x +m =2(x -2)，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，
解得x=2，
∴-2+2+m=2×(2-2)，
解得m=0．
故答案为:A．
【点睛】
此题考查分式方程的增根，掌握运算法则是解题关键．5、B
【分析】
根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，10801080
12
15
x x
=-
-
，
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．6、C
【分析】
分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】
解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C．
【点睛】
此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
7、A
【分析】
根据轮船在静水中的速度为x 千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时,列出方程即可.
【详解】
∵轮船在静水中的速度为x 千米/时， ∴顺流航行时间为：484x +，逆流航行时间为：484
x -， ∴可得出方程：
4848944
x x +=+-， 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．
8、C
【分析】
A 、将1x =代入1y x =+中，得出y 的值，再判断即可；
B 、两直线相交坐标是两对应方程组的解的x 、y 值；
C 、根据一次函数k 的值判断增减性；
D 、将P 点坐标(1,2)代入进行判断即可．
【详解】
解：A 、将1x =代入1y x =+中，解得将2y =，点P 的坐标为将(1,2)，选项说法正确，不符合题意；
B 、关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩
，选项说法正确，不符合题意； C 、直线1l 中，10k =>，所以y 随x 的增大而增大，选项说法错误，符合题意；
D 、因为2l 经过点P ，将(1,2)P 代入y mx n =+，得2m n +=，将(1,2)P 代入直线y nx m =+中，得2m n +=，所以直线y nx m =+也经过点P ，选项说法正确，不符合题意；
故选C ．
【总结】
此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标．
9、C
【分析】
根据分式方程的定义判断选择即可．
【详解】 A. 2356
x x ++=，是一元一次方程，不符合题意； B. 323x
x -=
，是一元一次方程，不符合题意； C. 137x x
-=+，是分式方程，符合题意； D. 35
1x =，是一元一次方程，不符合题意． 故选：C ．
【点睛】
本题考查分式方程的定义．掌握分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程是解答本题的关键．
10、D
【详解】
略
二、填空题
1、-5
【分析】
先求出直线y =x -2与直线y =-x +4的交点坐标，再代入直线y =2x +b ，求出b 的值．
【详解】
解：解方程组24y x y x -⎧⎨-+⎩
＝＝， 得31x y ⎧⎨⎩
＝＝． ∴直线2y x =-与4y x =-+的交点为（3，1）
把（3，1）代入y =2x +b ，
得：1=2×3+b ，
解得：b =-5．
故答案为-5．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
2、±3
【分析】
将x ＝a ，y ＝3代入y ＝3x ，求得a ＝1，将x ＝1，y ＝3代入y ＝﹣x +b 得b ＝4，然后可求得2b +a 的值，进而求出2b +a 的平方根．
【详解】
解：∵将x ＝a ，y ＝3代入y ＝3x 得：3＝3a ，
解得a ＝1，
∴直线y ＝3x 与y ＝﹣x +b 的交点坐标为（1，3）．
将x ＝1，y ＝3代入y ＝﹣x +b 得：﹣1+b ＝3．
解得：b ＝4．
∴2b +a ＝8+1＝9，
∴2b +a 的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题以及平方根，根据题意求得a 、b 的值是解题的关键．
3、100
【分析】
设一支钢笔x 元，一本笔记本y 元，根据“若以1支钢笔和2本日记本为1份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，”可列出方程，从而得到3x y =，再用这笔钱除以一支钢笔的价钱，即可求解．
【详解】
解：设一支钢笔x 元，一本笔记本y 元，根据题意得：
()()602503x y x y +=+ ，
解得：3x y = ，
∴()()
60260321003x y y y x y ++==
即这笔钱全部用来买钢笔可以买100支．
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的应用，分式的性质，明确题意，列出方程，得到3x y =是解题的关
键．
4、11611125311101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭
⎩x y x z z y 6()125()310()1+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b 110 115 130 10 15 30 【分析】
设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得关于x 、y 、z 的方程组，再设111,,a b c x y z
===，可得到关于,,a b c 的方程组，可求出110115
130⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
a b c ，从而求出10,15,30x y z === ，即可求解．
【详解】
解：设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得：
1161
11253
11101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩
x y x z z y 又设111,,a b c x y z
===， 则原方程组变形为6()125()310()1
+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b ，
解得：110115
130⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
a b c ， ∴111111,,101530
===x y z ， 解得：10,15,30x y z === ．
故答案为： 11611125311101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭
⎩x y x z z y ；6()125()310()1+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b ；110；115；130；10；15；30． 【点睛】
本题主要考查了分式方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5、240240104
x x -=+ 【分析】
设原有人数为x 人，根据增加之后的人数为(4)x +人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了10元车费，列方程
240240104x x -=+． 【详解】
解：设原有人数为x 人，根据则增加之后的人数为(4)x +人， 由题意得，240240104
x x -=+． 故答案为：
240240104x x -=+． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
三、解答题
1、（1）x=
3
2
-；（2）原方程无解．
【分析】
（1）方程两边同时乘以最简公分母3（x+1），化为整式方程，解此方程后检验即可得答案；（2）方程两边同时乘以最简公分母（x-2），化为整式方程，解此方程后检验即可得答案．【详解】
解：（1）
2
1
133
x x
x x
=+
++
，
方程两边同时乘以3（x+1）得：3x=2x+3x+3，
解得：x=
3
2 -，
检验：把x=
3
2
-，代入3（x+1）=
3
2
-≠0，
∴原方程的解为：x=
3
2 -．
（2）
11
2
22
x
x x
-
+=
--
，
方程两边同时乘以（x-2）得：1+2（x-2）=x-1，
解得：x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
∴原方程无解；
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
2、（1）C(5， 0 )，D(O，5 )；（2）B点坐标是（3，2）；（3）5
【分析】
（1）直接把A点坐标代入y=kx+5可求出k的值，再求直线与x轴、y轴的交点C、D的坐标即可；（2）根据两直线相交的问题，通过解方程组可得到B点坐标；
（3）先求出直线AB与x轴的交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC-S△BOC进行计算．
【详解】
解：（1）把A（1，4）代入y=kx+5得k+5=4，
解得k=-1；
则一次函数解析式为y=-x+5，
令x=0，则y=5；令y=0，则x=5；
∴点C的坐标为(5，0)，点D的坐标为(0，5)；
（2）解方程组
5
2
3
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，得
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以点B坐标为（3，2）；
（3）∵点C的坐标为(5，0)，点A的坐标为(1，4)，点B坐标为(3，2)，∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
=1
2
×5×4-
1
2
×5×2
=5．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
3、（1）111n n ⎛⎫-
⎪+⎝⎭；（2）20202021；（3）2x = 【分析】
（1）根据材料可直接得出答案；
（2）根据（1）的规律，将算式写出差的形式，计算即可；
（3）先按照（1）的结论进行化简，再解分式方程，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，可知：
()11111
n n n n =-++； 故答案为：1
11n n ⎛⎫-
⎪+⎝⎭； （2）由（1）可知，
111112233420202021
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ =1111111(1)()()(
)2233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =1
11111112233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
- =112021-
=20202021
；
（3）由（1）可知，
()()()()()211133366918
x x x x x x x ++=++++++， ∴211111113()33366918x x x x x x x -
+-+-=++++++， ∴211
13()3918x
x x -=++， ∴21
19918
x x x -=++， ∴299(9)18
x x x =++， ∴22918x x x +=+，
∴2x =；
经检验，2x =是原分式方程的解．
∴2x =．
【点睛】
本题考查了解分式方程以及有理数的混合运算，掌握分式方程的解法是解题的关键．
4、（1）直线AB 的解析式为1322y x =-+；()1,1P ；（2）当点Q 为()0,1-或70,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭时，APQ ∆为等腰三角形，理由见详解．
【分析】
（1）根据点A 的坐标及2OA OB =，可确定点30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将A 、B 两点代入求解即可确定函数解析式；将两个一次函数解析式联立解方程组即可确定点P 的坐标；
（2）设()0,Q y 且0y <，由P ，A 坐标可得线段AP ，AQ ， PQ 的长度，然后根据等腰三角形进行分类：①当AP PQ =时，②当AP AQ =时，③当PQ AQ =时，分别进行求解即可得．
【详解】
解：（1）∵()3,0A ，
∴3OA =，
∵2OA OB =， ∴32
OB =， ∴30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠，
将A 、B 两点代入可得：
0332
k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线AB 的解析式为1322
y x =-+；
将两个一次函数解析式联立可得：
1322y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩， 解得：11x y =⎧⎨=⎩
， ∴()1,1P ；
（2）设()0,Q y 且0y <，
由()1,1P ，()3,0A 可得：AP ==AQ = PQ =，
APQ ∆为等腰三角形，需分情况讨论：
①当AP PQ =时，
可得()22511y =-+，
解得：1y =-或3y =（舍去）；
②当AP AQ =时，
可得：2253y =+，
方程无解；
③当PQ AQ =时，
可得：()2222311y y +=-+，
解得：7
2y =-，
综上可得：当点Q 为()0,1-或70,2
⎛
⎫- ⎪⎝⎭时，APQ ∆为等腰三角形． 【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式、一次函数交点与方程组的关系、等腰三角形的性质、坐标系中两点之间的距离等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
5、4x =
【分析】
方程两边同时乘以()23x -去掉分母，把分式方程化为整式方程，求出方程的解并检验后即得结果．
【详解】
解：()()
()()22223331333x x x x x x ---=⋅---， ()()2333x x x --=-，
223369x x x x --=-+，
312x =，
4x =．
检验：当4x =时，()230x -≠
∴4x =是原方程的解．
∴ 原方程的解是4x =．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是解题的关键．。