【鲁教版】八年级数学上期中试题(含答案)(2)

一、选择题
1．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
2．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．45︒
D ．30︒
4．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．75°
D ．45°
5．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）
A ．PC PD =
B ．O
C O
D = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC P
E =
6．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）
A ．90A ︒-∠
B ．1802A ︒-∠
C ．1902A ︒-∠
D ．11802A ︒-∠ 7．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，O
E AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm 8．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）
A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABC
B ．BD=A
C ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABC
D ．AD=BC ，BD=AC
9．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40° 10．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ）
A ．2
B ．9
C ．13
D ．15 11．下列说法正确的有（ ）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．
14．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．
15．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．
16．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．
17．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．
18．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．
19．如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交
于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．
20．如图，在ABC 中，E 、D 、F 分别是AD 、BF 、CE 的中点，若DEF 的面积是1，则ABC S =______．
三、解答题
21．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
22．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．
（1）点C 关于x 对称的点的坐标（ ， ）；
（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′；
（3）△ABC 的面积为 ．
23．如图，在△ABD 中，∠ABC=45°，AC ，BF 为△ABD 的两条高，CM//AB ，交AD 于点M ；求证：BE=AM+EM ．
24．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且
180
AGE DHE
∠+∠=︒
（1）如图1，求证：//
AB CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：
M AGM CHM
∠=∠+∠；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是BGM
∠的平分线，在MH的延长线上取点
N，连接GN，若N AGM
∠=∠，
1
2
M N FGN
∠=∠+∠，求MHG
∠的度数．
25．已知，a，b，c为ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．26．若a，b，c是ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】
解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．
2．C
解析：C
【分析】
分三种情况：当AB=AC时，当BA=BC时，当AC=AB时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC时，点C与点O重合；
当BA=BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有两个交点；
当AC=AB时，作线段AB的垂直平分线，与x轴有一个交点，
共有4个点C，
故选：C．
．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．
【详解】
∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，
∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，
∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．
【详解】
又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，
∴DA=DB ，
∴∠A=∠ABD ，
设∠A=x ，则∠ABD=x ，
∵15DBC ∠=︒，
∴∠ABC=x+15°，
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=x+15°，
∴2(x+15°)+x=180°，
∴x=50°，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据
△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．
【详解】
∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，
∴PC=PD ，故A 选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=90︒，
又∵OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，
∴OC=OD ，故B 选项正确；
∵△OPC ≌△OPD ，
∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，
∴△DPE ≌△CPF ，
∴PE=PF ，
∵PF>PC ，
∴PE>PC ，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，
∴△BFD ≌△CDE ，
∴∠BFD=∠EDC ，
∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，
∴∠B=∠EDF ，
又∵∠B=∠C=18019022
A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-
∠， 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
8．B
解析：B
【分析】
本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等；
【详解】
A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；
C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，
这里强调的是夹角，不是任意角；
9．B
解析：B
【分析】
利用平行线和三角形外角的性质即可求解．
【详解】
∵//AB CD ，
∴60DEF A ∠=∠=︒．
∵DEF C F ∠=∠+∠，
∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据三角形三边关系得出a 的取值范围，即可得出答案．
【详解】
解：8-5＜a ＜8+5
3＜a ＜13，
故a 的值可能是9，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，掌握知识点是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】
解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；
②连接C 、D 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形，此说法正确．
所以，正确的说法只有1个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可
【详解】
解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键
二、填空题
13．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边
解析：12n -
【分析】
根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=
12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122
-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°
∵∠MON=30°，
∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°
∴OA 1=A 1B 1=12
OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =
∴OA3=1
84
2
⨯==31
2-，OA2=
1
42
2
⨯==21
2-，OA1=11
1
212
2
-
⨯==，
以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．
故答案为2n-1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．
14．1【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A（1+m1-n）与点B（-32）关于y轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m＋n）202
解析：1
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．【详解】
解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1-n=2，
∴m=2，n=-1，
∴（m＋n）2020=（2-1）2020=1；
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．15．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE ＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B
解析：120
【分析】
过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DE＝DC＝8，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ， ＝12AB•DE ＋12BC•CD ， ＝12×12×8＋12
×18×8， ＝120．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．
16．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】
解析：13
【分析】
过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．
【详解】
解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：
∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，
∴∠N=∠CMB=90°，
∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，
∴B CDN ∠=∠，
∵AC 平分DAB ∠，
∴CN=CM ，
∴△CDN ≌△CBM ，
∴DN=BM ，CD=CB=2.5，
∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，
∴△ACN ≌△ACM （HL ），
∴AN=AM=4，
∴AD=4-DN ，
∴AB=4+BM=4+DN ，
∴四边形ABCD 的周长为：
4 2.
5 2.5413
AD DC CB AB DN DN
+++=-++++=；
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN，AB=4+DN．
17．【分析】过D作DE⊥AB于E根据角平分线的性质得出DE=DC即可求出答案【详解】解：过D作DE⊥AB于E∵∠C=90°AD平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D到线段AB的距离等于2故答案为：2
解析：【分析】
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE=DC，即可求出答案．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=2，
∴DE=DC=2，
即点D到线段AB的距离等于2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出DE=DC是解此题的关键．18．125°【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点求出
∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB求出
∠OBC+∠OCB再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即
解析：125°
【分析】
求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，根据
三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可；
【详解】
∵在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等，
∴ O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∴∠OBC+∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°，
故答案为：125°．
【点睛】
本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；
19．30【分析】根据部分三角形的高相等由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积【详解】解：在和中∵∴∴∵点是的中点∴∴∴故答案为：【点睛】本题中由于部分三角形的高相等可根据这些三角形面积的 解析：30
【分析】
根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．
【详解】
解：在BDG 和GDC 中，
∵2BD DC =,
∴2BDG GDC S
S =，8BGD S =△，
∴4GDC S =, ∵点E 是AC 的中点，3AGE S = ∴ 3.GEC AGE S
S == ∴84315BEC BDG GDC GEC S
S S S =++=++=， ∴230.ABC BEC S S ==
故答案为：30．
【点睛】
本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC 的面积是解题关键．
20．7【分析】连接CDBEAF 由三角形中线等分三角形的面积求得
S △AEC=2S △DEFS △ABD=2S △DEFS △BFC=2S △DEF 由
S △ABC=S △AEC+S △ABD+S △BFC+S △DEF 即可得出
解析：7
【分析】
连接CD ，BE ，AF ，由三角形中线等分三角形的面积，求得S △AEC =2S △DEF ，S △ABD =2S △DEF ，S △BFC =2S △DEF ，由S △ABC =S △AEC +S △ABD +S △BFC +S △DEF 即可得出结果．
【详解】
解：连接CD ，BE ，AF ，如图所示：
∵AE=ED ，
由三角形中线等分三角形的面积，可得
S △AEF =S △DEF ，
同理S △AEF =S △AFC ，
∴S △AEC =2S △DEF ；
同理可得：S △ABD =2S △DEF ，S △BFC =2S △DEF ，
∴△ABC =S △AEC +S △ABD +S △BFC +S △DEF =2S △DEF +2S △DEF +2S △DEF +S △DEF =7S △DEF =7cm 2，
故答案为：7．
【点睛】
本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，解答关键是通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积得出结果．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S S ,
∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】 本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
22．（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据轴对称的性质解答；
（2）根据轴对称的性质作图；
（3）利用割补法求解．
【详解】
（1）根据坐标系知点C 坐标为（-2,5），
∴点C 关于x 对称的点的坐标（-2，-5），
故答案为：-2，-5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）1117537225510222
ABC S
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为：10．
【点睛】 此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
23．见解析
【分析】
求出∠CAD ＝∠EBC ，∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，证出△BCE ≌△ACD ，求出CE ＝CD ，∠ECM ＝∠DCM ，证△ECM ≌△DCM ，推出DM ＝ME ，即可得出答案．
【详解】
∵AC 、BF 是高，
∴∠BCE ＝∠ACD ＝∠AFE ＝90°，
∵∠AEF ＝∠BEC ，∠CAD ＋∠AFE ＋∠AEF ＝180°，∠EBC ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°， ∴∠DAC ＝∠EBC ，
∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，
∴∠BAC ＝45°＝∠ABC ，
∴BC ＝AC ，
在△BCE 和△ACD 中
BCE ACD BC AC
EBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BCE ≌△ACD （ASA ），
∴BE ＝AD ．
∵CM ∥AB ，
∴∠MCE ＝∠BAC ＝45°，
∵∠ACD ＝90°，
∴∠MCD ＝45°＝∠MCE ，
∵△BCE ≌△ACD ，
∴CE ＝CD ，
在△CEM 和△CDM 中
CE CD ECM DCM CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CEM ≌△CDM （SAS ），
∴ME ＝MD ，
∴BE ＝AD ＝AM ＋DM ＝AM ＋ME ，
即BE ＝AM ＋EM ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力． 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【分析】
（1）推出同旁内角互补即可
（2）如图，过点M 作//MR AB ，利用平行线性质推出////AB CD MR ．得
GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．利用角的和M GMR HMR ∠=∠+∠代换即可．
（3）如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，由N AGM ∠=∠推得2N α∠=，2M αβ∠=+，由射线GH 是BGM ∠的平分线，推得1902
FGM BGM α∠=∠=︒-，
则90AGH AGM FGM α∠=∠+∠=︒+，由12
M N FGN ∠=∠+∠，求出2FGN β∠=，过点N 作//HT GN ，由平行线的性质
22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，求出
∠CHG 23αβ=+，利用//AB CD 的性质180AGH CHG ∠+∠=︒，即9023180ααβ︒+++=︒，求出30αβ+=︒，再求()260MHG αβ∠=+=︒即可．
【详解】
（1）证明：如图，∵180AGE DHE ∠+∠=︒，AGE BGF ∠=∠． ∴180BGF DHE ∠+∠=︒，
∴//AB CD ．
（2）证明：如图，过点M 作//MR AB ，
又∵//AB CD ，
∴////AB CD MR ．
∴GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．
∴M GMR HMR AGM CHM ∠=∠+∠=∠+∠；
（3）解：如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，
∵N AGM ∠=∠
则2N α∠=，2M αβ∠=+，
∵射线GH 是BGM ∠的平分线，
∴()111809022
FGM BGM AGM α∠=∠=︒-∠=︒-， ∴29090AGH AGM FGM ααα∠=∠+∠=+︒-=︒+， ∵12
M N FGN ∠=∠+∠， ∴1222FGN αβα+=+∠，
∴2FGN β∠=，
过点N 作//HT GN ，则2MHT N α∠=∠=，2GHT FGN β∠=∠=，
∴22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，
∴CHG CHM MHT GHT ∠=∠+∠+∠2223βαβαβ=++=+，
∵//AB CD ，
∴180AGH CHG ∠+∠=︒，
∴9023180ααβ︒+++=︒，
∴30αβ+=︒，
∴()260MHG αβ∠=+=︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质， 角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造内错角，和同位角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算是解题关键．
25．﹣2a+4b ﹣2c
【分析】
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【详解】
解：∵a ，b ，c 为ABC 的三边，
∴a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b
∴|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|
=|a-(b+c)|-2|b-(c+a)|+ |a+b ﹣c|
＝﹣[a ﹣（b+c ）]+2[b ﹣（c+a ）]+（a+b ﹣c ）
=-a+(b+c)+2b-2(c+a)+a+b-c
＝﹣a+b+c+2b ﹣2c ﹣2a+a+b ﹣c
＝﹣2a+4b ﹣2c ．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理． 26．3c+a ﹣b ．
【分析】
根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|
＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b
＝3c+a﹣b．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．。