2018-2019学年湖南省张家界市慈利县高一下学期期中检测卷数学试题(解析版)

湖南省张家界市慈利县高一下学期期中检测卷数学试题
一、单选题 1．已知等差数列
中，
，，则公差
（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．
【答案】B
【解析】利用等差数列的定义及通项公式可知，故可求.
【详解】 由题意，，
，
故选：B ． 【点睛】
本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题． 2．若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（ ） A ．c b d a ->- B ．ac bd >
C ．a c b d ->-
D ．
a b d c
> 【答案】A
【解析】利用不等式的基本性质，运用已知条件，进行正确推导，得本题结论． 【详解】
由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-， 又因为c d >，所以c b d a ->-， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．在中，已知
，
则等于( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由正弦定理，求得，得到
，在直角三角形中，应用勾股定理，
即可求解. 【详解】
由正弦定理，可得，即
，
因为
，所以
，
由勾股定理可得，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，以及直角三角形的勾股定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得
是解答本题关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4．若三个实数a ，b ，c 成等比数列，其中，
，则b ＝（ ）
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．4 【答案】C
【解析】由实数a ，b ，c 成等比数列，得,从而得解.
【详解】
由实数a ，b ，c 成等比数列，得.
所以.
故选C. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题. 5．设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A ．22a b + B ．2ab
C ．a
D ．
1
2
【答案】A
【解析】根据不等式的性质，利用作差法，即可比较大小，得到答案． 【详解】
由题意，0a b <<且1a b +=，所以1
22
a b a b +<
=<，所以21b >， 由2(21)0ab a a b -=->，所以2ab a >，
又由2
2
2
2()0a b ab a b +-=->，所以222a b ab +>， 所以最大的一个数为22a b +， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了比较大小问题，作差法是常用的方法．同时要注意不等式的性质和均值
不等式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．30(31)m +
B ．120(31)m -
C ．180(
21)m - D ．240(31)m -
【答案】B
【解析】记A 点正下方为O ，在AOB ∆与AOC ∆，根据题中数据，分别求出r AB =，即可得出结果. 【详解】
记A 点正下方为O ，
由题意可得60OA =，75ABO ∠=o ，30ACO ∠=o ，
在AOB ∆中，由3
13tan 75tan(4530)233
1OA OB +
==+==+-
o o o ， 得到60(23)23
OB =
=-+；
在AOC ∆中，由3tan 303
OA OC ==o
得到603
3
OC ==， 所以河流的宽度BC 等于60360(23)120(31)OC OB -=--=-米. 故选B
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，
属于常考题型.
7．若数列{}n a 中，11113n
n n
a a a a ，+==
+，则这个数列的第10项10a =（ ）
A ．28
B ．29
C ．
128
D ．
129
【答案】C
【解析】两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得1
32
n a n =-，计算可得10
a 的值，得到答案． 【详解】
由题意，数列{}n a 中，111,13n n n a a a a +==
+，可得
111
3n n
a a +-=， 所以数列1
{
}n
a 表示首项为1，公差为3的等差数列， 所以1
1(1)332n n n a =+-⨯=-，即132
n a n =-， 所以1011
310228
a =
=⨯-，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中对等式取倒数，得到数列1
{
}n
a 表示首项为1，公差为3的等差数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．已知平面区域如图所示，(0)z mx y m =+>在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
720
D ．不存在 【答案】C
【解析】由目标函数(0)z mx y m =+>，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC 上取到，即
0mx y +=应与直线AC 平行；进而计算可得m 的值．
【详解】
由题意，(0)z mx y m =+>在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个， 最优解应在线段AC 上取到，故0mx y +=应与直线AC 平行，
因为225
375120
AC
k -==--，所以720m -=-，所以720m =
， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．
9．二次方程()
22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 （）
A ．31a -<<
B ．20a -<<
C ．10a -<<
D ．02a << 【答案】C
【解析】试题分析：设()()
2212f x x a x a =+++-，因为方程有一个根比1大，另一
个根比1-小，所以()()10
{ ,10f f -<<整理可得220{ 20
a a a a +<-+>，解得10a -<<，故选
C.
【考点】一元二次方程根的存在性及个数的判断.
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程根的存在性及个数的判断，属于基础题.解答一元二次方程根的分布问题，通常利用“三个二次”即一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数三者之间的关系，结合一元二次函数的图象，通常考虑开口方向、判别式、对称轴的范围及区间端点的函数值中的某几个列出满足条件的不等式组，求出相应的参数范围.
10．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若
22 asinAsinB bcos A a
+=，则b
a
=（）
A．2
B．2C．1 D．2
【答案】B
【解析】利用正弦定理化边为角，可求得sin
2
sin
B
A
=，从而可得答案．
【详解】
由题意，因为2
sin sin cos2
a A B
b A a
+=，
根据正弦定理可得，22
sin sin sin cos2sin
A B B A A
+=，即sin2sin
B A
=，
所以sin
2
sin
B
A
=，则2
b
a
=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练灵活应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：点在一次函数上的图象上，
，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，
．故选D．
【考点】1、等差数列；2、数列求和．
12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A+sin （A-B+C ）=sin （C-A-B ）+
1
2
，面积S 满足1≤S≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤ D ．1224abc ≤≤
【答案】A
【解析】试题分析：设ABC ∆的外接圆半径为R ，由三角形内角和定理知
A C
B π+=-，A B
C π+=-.
于是
1
sin 2sin 2sin 22
A B C ⇒+=-+ 1sin 2sin 2sin 22
A B C ⇒++=
()()()()1sin sin sin 22
A B A B A B A B C ⎡⎤⎡⎤⇒++-++--+=⎣⎦⎣⎦()()1
2sin cos 2sin cos 2
A B A B C C ⇒+-+= ()()12sin cos cos 2
C A B A B ⎡⎤⇒⋅--+=⎣⎦ 14sin sin sin 2
A B C ⇒= 1sin sin sin 8
A B C ⇒=
. 则[]2211
sin 2sin sin sin 1,224
S ab C R A B C R =
==∈，2,22R ⎡∴∈⎣， 338sin sin sin 8,162abc R A B C R ⎡∴==∈⎣，知C 、D 均不正确．
()38bc b c bc a R +>⋅=≥，∴A 正确．
事实上，注意到,,a b c 的无序性，并且1628>，若B 成立，则A 必然成立，排除B. 故选A.
【考点】三角恒等变换.
二、填空题
13．函数()2
lg(43)f x x x =-+的定义域为______．
【答案】()()13-∞+∞U ，
， 【解析】根据对数函数的定义，列出满足条件的不等式，求出解集，即可得到函数的定
义域． 【详解】
由题意，函数()2
lg(43)f x x x =-+，则2430x x -+>，解得1x <或3x >，
∴函数()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞U ． 故答案为：(,1)(3,)-∞+∞U ． 【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，以及对数函数的定义与性质的应用，其中解答中熟记函数定义域的定义，以及对数函数的定义与性质，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．在等比数列
中，、是关于的方程
的两个实根，则
____________________.
【答案】
【解析】根据韦达定理，结合等比数列特点可判断出等比数列的偶数项均为负数；利用
求得
，则
，代入求得结果.
【详解】 由韦达定理可得：
，
，可知，
即等比数列的偶数项均为负数，可得：
又
本题正确结果：
【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是明确等比数列的所有奇数项符号一致；所有偶数项符号一致的特点.
15．已知数列的前项和为满足，则数列
的通项公式
________.
【答案】
【解析】由可得，是以2为公差，
以2为首项的等差数列，求得，利用可得结果. 【详解】
，
故，，
故是以2为公差，以2为首项的等差数列，
，
，
，
综上所述可得，故答案为.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项
和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.
16．锐角的三边和面积满足条件，且角既不是的最大角也不是的最小角，则实数的取值范围是________ .
【答案】
【解析】根据余弦定理和面积公式可得，得，结合的范围确定结果.
【详解】
，
，
又
， ， ，
锐角三角形不是最大角、也不是最小角，
则
，， ，故荅案为
.
【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、解答题 17．解下列不等式：
若不等式()()2
22240a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，试确定实数a 的取值范
围．
【答案】22a -<≤
【解析】由于二次项系数含有参数，分2a =与2a ≠两类讨论，对于2a ≠时根据不等式的恒成立，得到20a -<且2
4(2)44(2)0a a ∆=--⨯-<，进而可求解实数a 的取
值范围． 【详解】
由题意，当2a =时，原不等式为40-<恒成立，即2a =满足条件； 当2a ≠时，要使不等式2
(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立， 必须20a -<且2
4(2)44(2)0a a ∆=--⨯-<，解得22a -<< 综上所述，a 的取值范围是22a -<≤． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，同时容易忽视2a =的情况导致错解，着重考查了分类讨论思想，以及
推理与运算能力，属于基础题．
18．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2acosB+b=2c ．
（1）求角A 的大小：
（2）若AC 边上的中线BD 3，且AB ⊥BD ，求BC 的长． 【答案】（1）
3
π
；（23【解析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简已知可得sin 2cos sin B A B =，进而求得cos A 的值，即可求解A 得大小； （2）在直角ABD ∆中，2sin BD
AD A
==，1AB =，由24AC AD ==，在ABC ∆中，利用余弦定理可求BC 的值． 【详解】
（1）由题意，因为2cos 2a B b c +=，
由正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=，
可得：2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以1cos 2A =
，且(0,)A π∈，所以3
A π=． （2）在直角ABD ∆中，
3
2
sin sin 3
BD AD A =
==，则222(3)1AB =-= 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==,
在ABC ∆中，由余弦定理可得2
2
2
41241cos 133
BC π
=+-⨯⨯=，
所以13BC = 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理的边角互化，以及利用余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
【答案】（1）21n a n =-；（2）2
31
2
n n -+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；
（2）由（2）求得1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，
即可得到数列{}n c 和． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得3
2
3b q b =
=，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以141
2141
a a d -=
=-，
所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．
（2）由题意知1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，
则数列{}n c 的前n 项和为
1
2
(121)1331[13(21)](1393)2132
n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+
-L L ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 20．已知数列
的前项和
（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；
（2）探究数列
中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：
①此三项可作为三角形三边的长；
②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】数列的前n项和求出，，遂得出三角形三边边长，利用余弦定理求解三角形的面积假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍,然后推出结果．【详解】
解：数列的前n项和．
当时，，
当时，，
又时，，所以，
不妨设三边长为，，，
所以
所以
假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，
设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，
由正弦定理：，所以
由余弦定理：，
即
化简得：，所以：或舍去
当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．
所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.
【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下： 产品 时间 工艺要求 甲
乙
生产能力台时/天
制白坯时间 6 12 120 油漆时间 8 4 64 单位利润 200
240
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？ 【答案】安排生产甲4台,乙8台时,所得的利润最大,为272元 【解析】设安排生产甲x 台,乙y 台,利润为z 元
16121208464
00
x y x y x y +≤+≤≥≥则
当 x+4,y=8时z 最大为272元
答:安排生产甲4台,乙8台时,所得的利润最大,为272元
22．在数列{}n a 中，已知120,6a a ==，且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-． （1）令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的通项公式；
（3）设m 是一个正数，无论m 为何值，都有一个正整数n 使
1
3n n
a m a +-<成立． 【答案】（1）23n n
b =⋅；（2）2332n n
n a =⋅-⋅； （3）见解析．
【解析】（1）由2156n n n a a a ++=-，化为2113(2)n n n n a a a a +++-=-，根据12n n n b a a +=-，且120,6a a ==，可得13n n b b +=且16b =，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得1223n
n n a a +-=⋅，可得
11223333n n n n a a ++-⋅=，令3
n
n n
a c =，可得122
33
n n c c +-⋅=，利用等比数列的通项公式可得n c ，即可得出n a ．
（3）假设存在无论m 为何值，都有一个正整数n 使
1
3n n
a m a +-<成立，代入化简13n n
a a +-3
32()32
n m =
<⋅-，即可求解． 【详解】
（1）由题意，知2156n n n a a a ++=-，所以2113(2)n n n n a a a a +++-=-， 因为12n n n b a a +=-，且120,6a a ==， 所以13n n b b +=且16b =，
所以数列{}n b 是以6为首项，以3为公比的等比数列，所以23n
n b =⋅．
（2）由（1）可得1223n
n n a a +-=⋅，所以11
22
3333
n n n n a a ++-⋅=， 令3n n n a c =，则12233n n c c +-⋅=，所以12
2(2)3
n n c c +-=⋅-，且122c -=-， 所以数列{}2n c -构成首项为2-，公比为2
3
的等比数列，
所以1222()3n n c --=-⋅，即1
222()3
n n c -=-⋅，
所以2332n n
n a =⋅-⋅．
（3）假设存在无论m 为何值，都有一个正整数n 使
1
3n n
a m a +-<成立， 因为
1112332323
333233223322()32
n n n n n n n n
n n a m a +++⋅-⋅⋅-=-==<⋅-⋅⋅-⋅⋅-， 即3
32()32
n m
<⋅-，可得333()22n m m +>， 取33lg
23lg 2
m m n +>
，
因此m 是一个正数，无论m 为何值，都有一个正整数n 使
1
3n n
a m a +-<成立， 取33lg
23lg 2
m
m n +>
的正整数即可．
【点睛】
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，方程与不等式的解法综合应用，同时注意在解决数列问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法合理应用，着重考查了推理能力与计算能力，试题有一的综合性，属于难题．。