江苏省黄中分校高三数学模拟试卷二

某某省黄中分校高三数学模拟试卷二
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）． 1．设集合{}1A x x =>-,{}
3B x x =≤，则A
B =___________．
2．若复数2
(1)1i z i
+=-（其中i 为虚数单位），则||z =___________．
3．等差数列0，2
13-，7-，… 的第1+n 项是___________．
4．某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程
a bx y
+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为___________箱． 5．中心在坐标原点,一个顶点为(4,0),且以直线y = ±32
x 为渐近线的双曲线方程为_________．
6．若
cos 22π2sin 4αα=-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则cos sin αα+的值为_______．
7．按下列流程图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.若x =5，则运算进行______次才停止．
8．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m +1，y 3)都在二次函数y =x 2－2x 的图像上，则y 1、
y 2、y 3的大小为.
9．已知向量OC OB OA ,,满足条件0=-+OC OB OA ，且2,1===OC OB OA ，则△ABC 的
形状是________．
10．在直角ABC ∆中，已知32=AB ，3=AC ， 90=∠ACB ，点M 是ABC ∆内任意一点，则
3<AM 的概率是______．
11．实数,x y 满足350,(1,3]x y x --=∈，则2
y x -的取值X 围
是_____________．
12．如图，△OA 1A 2是等腰直角三角形，OA 1＝A 1A 2＝1，以OA 2
为直角边作等腰直角△OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角△OA 3A 4，如此继续下去得到等腰直角△OA 4A 5，…….
气温（C ︒） 18 13 10 －1 冰糕箱数
64
38
34
24
第7题
第12题
则△OA 9A 10的面积为____________．
13．设函数21
()ln(1)3,[,](0)2
x
f x x e x x t t t =+-+∈->，若函数()f x 的
最大值是M ，最小值是m ，则M m +=______
14．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边
长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为______________．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知向量3
(sin ,),(cos ,1).2
a x
b x ==-（1）当//a b 时，求22cos sin 2x x -的
值；（2）求b b a x f ⋅+=)()(在,02
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域．
16．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D －AEC 的体积；（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
D
第14题
17．（本题满分14分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（x >6），年销量为u 万件，若
已知u -8
585与2)4
21(-x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.
（1）求年销售利润y 关于x 的函数关系式；
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
18．（本题满分16分）已知数列{}n a 与圆2211:2210n n C x y a x a y ++-+-=和圆
222:2220C x y x y +++-=,若圆1C 与圆2C 交于,A B 两点且这两点平分圆2C 的周长.
(1)求证:数列{}n a 是等差数列;(2)若13a =-,则当圆1C 的半径最小时,求出圆1C 的方程.
19．（本题满分16分）设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长
等于焦距，且4x =为它的右准线（1）求椭圆的方程；（2）设P 为右准线上不同于点（4，0）
的任意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内
20．（本题满分16分）已知函数2
()ln (,0)2
x f x a x a R x =+∈>.(1)若()0f x >对0x ∀>恒成立,
求常数a 的取值X 围;(2)设1a e <≤,()()(1)H x f x a x =-+的两个极值点为,()αβαβ<,是证明:对12,[,]x x αβ∀∈,恒有12|()()|1H x H x -<.
某某市第五中学2008届调研测试卷高三数学参考答案
一 填空题
1.(1,3]-;
; 3.n 2
7-; 4. 70.; 5.22
11612x y -=; 6.12; 7. 4; 8.y 1<y 2<y 3;
9. 等腰直角三角形;
11.(,2)[4,)-∞+∞12.6.; 13.128; 14.92+π. 二 解答题 15.解: （1）
||a b ，∴3cos sin 02x x +=，∴3
tan 2
x =- …………3分
.13
20
tan 1tan 22cos sin cos sin 2cos 22sin cos 222222
=+-=+-=-x x x x x x x x x
…………7分
（2）
1
(sin cos ,)2
a b x x +=+,2()()sin(2)24f x a b b x π=+⋅=+ …………10分 ∵02
x π
-
≤≤
，∴32444
x πππ
-
≤+≤，∴1sin(2
)42x π-≤+≤
…………12分 ∴1()22f x -≤≤ ∴函数 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-21,22)(的值域为x f …………14分 16.解:（1）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD // ∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥ 又ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥
∴BCE AE 平面⊥ 又BCE BE 平面⊂ ∴BE AE ⊥…………5分 (2)31=
=--ADC E AEC D V V ×22×3
4
2=…………8分 （3）在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连MN ,则由比例关系易得＝CE 3
1
MG ∥AEMG ⊄平面ADE , AE ⊂平面ADE , ∴MG ∥平面ADE 同理, GN ∥平面ADE
∴平面MGN ∥平面ADE ………… 12分 又MN ⊂平面MGN ∴MN ∥平面ADE
∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点 …………14分
17.解：（1）设
,)4
21
(85852-=-x k u ∵售价为10元时，年销量为28万件； ∴.2,)4
2110(2885852=-=-k k 解得…………3分
∴.182128
585)421(222++-=+-
-=x x x u ∴.108108332)6)(18212(2
3
2
--+-=-++-=x x x x x x y …………7分 （2）)9)(2(6)911(61086662
2---=+--=-+-='x x x x x x y …………9分
令9),6(20=>=='x x x y 或舍去得
显然，当)9,6(∈x 时，),9(0+∞∈>'x y 当时，0<'y
∴函数)9,6(1081083322
3在--+-=x x x y 上是关于x 的增函数；
在),9(+∞上是关于x 的减函数. …………11分 ∴当x =9时，y 取最大值，且.135max =y …………13分
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元。

…………14分
18.解:（1）圆22
11:2210n n C x y a x a y ++-+-=的标准方程为：
222211()()1n n n n x a y a a a ++-++=++，
则其圆心为1(,)n n a a +，半径为1r =
.
圆22
2:2220C x y x y +++-=的标准方程为：
22(1)(1)4x y +++=，
则其圆心为(1,1)--，半径为22r =. …………4分
由题意：2221221||C C r r +=，则2222
11(1)(1)41n n n n a a a a ++++-+=++
则15
2
n n a a +-=
，所以数列{}n a 是等差数列. …………8分 （2）13a =-，则511
22n a n =-，则…………10分
1r ===………12分
*n N ∈，则当4n =时，1r 可取得最小值. …………14分
此时，圆1C 的方程是：2
2
91410x y x y +-+-=. …………16分
19.解:（1）依题意得 a ＝2c ，c
a 2
＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b
3分
故椭圆的方程为 13
42
2=+y x …………7分 （2）由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）
设M （x 0，y 0）
∵M 点在椭圆上，∴y 0＝
4
3
（4－x 02）①…………9分 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得
P （4，2600+x y ） 从而BM ＝（x 0－2，y 0），BP ＝（2，2
600
+x y ）
∴BM ·BP ＝2x 0－4＋
2602
0+x y ＝2
2
0+x （x 02－4＋3y 02）②…………10分 将①代入②，化简得BM ·BP ＝
2
5
（2－x 0）…………12分 ∵2－x 0>0，∴BM ·
BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，…………14分 故点B 在以MN 为直径的圆内…………16分
20.解: (1)a >0时,由对数函数性质,f (x )的值域为R; …………1分
a =0时,2
()02
x f x =>对0x ∀>恒成立;…………2分 a <0时,由()0a
f x x x '=+
=⇒=,列表 …………3分
min ()2a
f x f a ==-+
则由min ()0f x >02
a
a a e ⇒-+>⇒>-,所以0e a -<<. …………6分
综上述,实数a 的取值X 围是(,0]e -. …………7分 (2)因为()()(1)01,a H x x a a x
αβ'=+--=⇒==, …………9分
对[,]x αβ∀∈,(1)()
()0,x x a H x x
--'=<()H x 在[,]αβ内单调递减, …………10分
所以21211
|()()|(1)()ln 22
H x H x H H a a a a -≤-=-- …………12分
2121113
|()()|1ln 1ln 02222H x H x a a a a a a
-<⇔--<⇔--<
记13()ln ,122g a a a a e a =--<≤,则221133111
()()022233
g a a a a '=-+=-+> ……14分
所以函数13
()ln 122g a a a a e a =--<≤在内单调递增,
所以13
()()1022g a g e e
≤=--<,命题成立. …………16分。