电磁场与电磁波第3讲坐标系变换矢量积分-y

− sin φ cos φ 0
0 Ar A 0 φ 1 Az
13
写成矩阵的形式
圆柱圆柱-直角
写成矩阵的形式
直角直角-圆柱
14
写成矩阵的形式
球-直角
写成矩阵的形式
直角直角-球
15
EXAMPLE 2-9 (p30-31)
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2. 矢量函数的积分
u u v v ˆ ˆ ˆ A× B = ax ( Ay Bz − Az By ) + ay ( Az Bx − Ax Bz ) + az ( Ax By − Ay Bx ) ˆ ax ˆ ay ˆ az Az B = Ax Ay Bx By
叉积: 叉积:
微分线元 : 微分体元 : 微分面元: 微分面元:
两个矢量的点积： 两个矢量的点积： 小于或等于二者模的乘积; (1) 小于或等于二者模的乘积; 可为正或负值，这决定于两个矢量之间的夹角是小于或者大于π (2) 可为正或负值，这决定于两个矢量之间的夹角是小于或者大于π/2； (3) 等于一个矢量的模和另一个矢量在该矢量上的投影的乘积； 等于一个矢量的模和另一个矢量在该矢量上的投影的乘积； 当两个矢量相互垂直时为零。 (4) 当两个矢量相互垂直时为零。
v ˆ ˆ ˆ dl ＝dxax + dya y + dzaz v ˆ ˆ ˆ dl = drar + rdφ aφ + dzaz
17
EXAMPLE 2-14 (p38-40)
18
19
20
面积分（通量） 2) 面积分（通量） 面积分有以下三种形式： 面积分有以下三种形式：
∫
S
v φ dS
∫
S
z v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ dl = dlx ax + dl y a y + dlz az = dxax + dya y + dzaz
dv = dxdydz
v ˆ ˆ ˆ ˆ ds = dsas = ax dsx + a y ds y + az dsz ˆ ˆ ˆ = ax dydz + a y dxdz + az dxdy
问题: 问题: 柱坐标中任意一个矢量在 直角坐标系中怎么表示呢？ 直角坐标系中怎么表示呢？
u v ˆ ˆ ˆ A = Ar ar + Aφ aφ + Az az u v ˆ ˆ ˆ A = Ax ax + Ay a y + Az az
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首先： 首先：
u v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ax = A ⋅ ax = ( Ar ar + Aφ aφ + Az az ) ⋅ ax ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Ar ar ⋅ ax + Aφ aφ ⋅ ax + Az az ⋅ ax
第二步: 因为Ar Ar， Az它们本身也是关于 它们本身也是关于r, 的函数， 第二步: 因为Ar，Aφ和Az它们本身也是关于r, φ和z的函数， 的函数。 所以最终的答案中它们也必须转换成 x, y和z的函数。 由柱坐标变量 r, φ, z 和直角坐标系的坐标变量x, y，z之 间的关系
x = r cosφ y = r sinφ
在面积分中，若有向曲面S是闭合的， 1. 在面积分中，若有向曲面S是闭合的，那么该闭合曲面的 方向通常规定为闭合面的外法线方向； 方向通常规定为闭合面的外法线方向； 如果有向曲面S不是闭合的， 2. 如果有向曲面S不是闭合的，那么有向面元的方向我们用 右手法则来判断。 右手法则来判断。 21
EXAMPLE 2-15 (p41-42)
因此： 因此：
Ax = Ar cos φ + Aφ cos( + φ ) 2 Ay = Ar cos( − φ ) + Aφ cos φ 2 Az = Az
11
π
π
现在有： 现在有：
u v π π ˆ ˆ ˆ A = [ Ar cos φ + Aφ cos( + φ )]ax + [ Ar cos( − φ ) + Aφ cos φ ]a y + Az az 2 2
R
y
和
z = R cos θ
φ
x
R = x2 + y 2 + z 2
x2 + y2 θ = arctan z y φ = arctan x
6
θ=θ0
z
θ0
ˆ aR
R= R0 O P0 R0
ˆ aφ
ˆ aθ
φ=φ0
φ0
x
y
7
8
正Байду номын сангаас曲面坐标系
1. 坐标变换 2. 矢量函数的积分
9
1. 坐标变换
v v A ⋅ B = AB cos θ AB
r = x2 + y 2
φ = arctan
z=z
z=z
y x
12
Ax = Ar cos φ + Aφ cos( + φ ) 2 Ay = Ar cos( − φ ) + Aφ cos φ 2 Az = Az
因此我们推出了直角坐标系和柱坐标系之间的转换矩阵 为:
π
π
Ax cos φ Ay = sin φ A 0 z
位置矢量: 位置矢量: p ( x , y , z ) 1 1 1 点积: 点积:
uu r ˆ ˆ ˆ op = x1ax + y1a y + z1az
u u v v u v u u v v A B = Ax Bx + A y By + Az Bz A = A A = Ax 2 + Ay 2 + Ay 2
在电磁场的有关计算中， 在电磁场的有关计算中 ， 我们经常会遇到有关矢量函数积 比如说线积分，面积分和体积分等。 分，比如说线积分，面积分和体积分等。 1) 线积分 一般的，线积分有以下三种形式： 一般的，线积分有以下三种形式：
∫
C
v φ dl
∫
C
v v F ⋅ dl
∫
C
v v F × dl
v ˆ ˆ ˆ dl = dRaR + Rdθ aθ + R sin θ dφ aφ
22
23
3、体积分（电荷） 体积分（电荷）
Q = ∫ ρ dv
dv = dxdydz
dv = rdrdφ dz
dv = R sin θ dRdθ dϕ
2
24
总结：
1. 坐标系的转换
2. 矢量函数的积分
25
v v F ⋅ dS
∫
S
v v F × dS
v ˆ ˆ ˆ ds = ax dxdy + a y dxdz + az dydz
v ˆ ˆ ˆ ds = ar ( rdφ dz ) + aφ ( drdz ) + az ( rdrdφ )
v ˆ ˆ ˆ ds = R 2 sin θ dθ dφ aR + R sin θ dRdφ aθ + RdRdθ aφ
z=z
y x
4
z
z = z0
ˆ az
P0
ˆ ar
r = r0 O
ˆ aφ
φ =φ 0
x
φ0
y
5
3. 球坐标
0 ≤ R < +∞
R, θ , φ
z
0 ≤θ ≤π 0 < φ ≤ 2π
球坐标变量 R, θ, φ 和直角坐标
P(R, θ, φ)
v A
变量 x, y, z 的关系： 的关系：
θ
o
x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ
相应的： 相应的：
u v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ay = A ⋅ a y = Ar ar ⋅ a y + Aφ aφ ⋅ a y + Az az ⋅ a y u v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Az = A ⋅ az = Ar ar ⋅ az + Aφ aφ ⋅ az + Az az ⋅ az
3
2. 圆柱坐标
r,φ , z
z
0 ≤ r ≤ +∞ 0 ≤ φ ≤ 2π
− ∞ < z < +∞
柱坐标变量 r, φ, z 和直角坐标变量 x, y, z 的关系： 的关系：
v A
o
P(r,φ,z)
x = r cos φ y = r sin φ
ϕ
x
r
y
和
z=z
r = x2 + y2
φ = arctan
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
回顾： 回顾：
直角坐标系： 1.直角坐标系：
z
az
o
z = z1plane
ay
P ( x1 , y1 , z1 )
y y = y1plane
2
ax
x
x = x1plane
任意矢量 A:
u v ˆ ˆ ˆ A = Ax ax + Ay a y + Az az