甘肃省天水市一中2019届高三数学上学期一轮复习第三次质量检测试题文20181113029

甘肃省天水市一中 2019届高三数学上学期一轮复习第三次质量检测试
题 文
（满分：150分
时间：120分钟）
一、单选题（每小题 5分，共 60分）
1．已知集合A = {x|x > 2},B = {x|x 2 - 4x - 5 ≤ 0},则B ∩ C R A = （） A ． {x|2 ≤ x ≤ 5} B ． {x| - 1 ≤ x ≤ 5} C ． {x| - 1 ≤ x ≤ 2} D ． {x|x ≤ -1}
π 3
π
2．已知sin (x -
，则
（ ）
4
)= 5
cos (x + 4) =
4
3 4
A ．
B ．
C ．
D ．
5
- 5
-
5
3 5
3．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤， 斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5尺，头部1尺，重4斤， 尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” （
）
A ． 6斤
B ． 7斤
C ． 8斤
D ． 9斤
4. 已知向量a = (1, - 2),b = (x,4),且a//b,，则|a - b | = （ ）
A ． 5 3
B ． 3 5
C ． 2 5
D ． 2 2 x ,x < 1
5．已知f(x) = {
2 ，则
（
）
f(x - 1),x ≥ 1 f (log
27) =
7 7
A ． 7
B ．
C ．
D ．
2
4
7 8
6．已知定义在(0, + ∞)上的函数f(x) = x 2 - m,h(x) = 6 lnx - 4x ，设两曲线y = f(x)与y = h(x)在公共 点处的切线相同，则m 值等于（ ）
A ． -3
B ． 1
C ． 3
D ． 5
7．已知各项均不相等的等比数列{a n }，若 3a 2,2a 3,a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前 n 项和， S 3
则 等于（ ）
a 3 13 7 A ． B ． C ． 3 D ． 1
9
9
8.函数y = f(x + 2)为偶函数，y = f(x)在(2, + ∞)上单调递减，且f(a) ≤ f(0)，则实数a 的取值范 围是（ ）
A．a ≥0 B．a ≤0 C．0 ≤a ≤4 D．a ≤0或a ≥4
1
9．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC)的最小值是 （ ）
1
3
4
A ． - 8
B ． - 8
C ． -
D ． －1
3
10.已知实数x 、y ，满足x 2 + y 2 = 4，则xy 的取值范围是（） A ． xy ≤ 2 B ． xy ≥ 2 C ． xy ≤ 4
D ． -2 ≤ xy ≤ 2
11．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥 的体积为(
)
4
2
A ．
B ．
C ．
D ． 3
2
3
3 2
12．若x,a,b 均为任意实数，且(a + 2)2 + (b - 3)2 = 1，则(x - a)2 + (lnx - b)2 的最小值为（ ）
A ． 3 2
B ． 18
C ． 3 2 - 1
D ． 19 - 6 2
二、填空题（每小题 5分，共 20分）
x + y ≥ 1,
13．若实数x,y 满足{
则 的最小值为__________． 3x - 2y + 2 ≥ 0,
2x - y ≤ 0, z = 3x - y
14．三棱柱A 1B 1C 1 - ABC 中，A 1A ⊥ 平面 ABC ，AC ⊥ BC A 1A = 2、AC = 1、BC = 3，则该
三棱柱A 1B 1C 1 - ABC 的外接球的表面积为 15.下列四个命题中真命题的序号是__________． ①“x = 1”是“x 2 + x - 2 = 0”的充分不必要条件；
②命题p:∀x ∈ [1, + ∞),lgx ≥ 0，命题q:∃x 0 ∈ R,x 02 + x 0 + 1 < 0，则p ∧ q 为真命题； ③命题“∀x ∈ R,e x > 0”的否定是“∃x 0 ∈ R,e x
”
；
≤ 0
④“若am 2 < bm 2，则a < b ”的逆命题是真命题.
16．已知a,b,c ∈ R + (a > c)，关于x 的方程|x 2 - ax + b| = cx 恰有三个不等实根，且函数f(x) =
a
|x 2 - ax + b| + cx
c 2
的最小值是 ，则c = _______．
三、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
2
π1
17已知函数f(x)=3sinxcosx+sin2(x-．
)-
2
2
（1）求函数f(x)的单调增区间；
ππ
（2）若x∈[-6,6]，求函数f(x)的值域．
18已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1（1）求数列{a n}，{b n}通项公式；
（2）令c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．
19．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.
(1)求∠ACP；
(2)若△APB的面积是，求AB
1
20．数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S n2=a n⋅(S n-．
)
2
（1）求S n的表达式；
S n
(2)设b n＝,求数列{b n}的前n项和T n．
2n+1
21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为
AB
的中点.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若点M为线段PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD，求点D到平面MNC的距离. 22．已知函数f(x)=e x-x.
（1）求函数f(x)的极值；
（2）设函数g(x)=(m-1)x+n,若对∀x∈R，f(x)恒不小于g(x)，求m+n的最大值
3
参考答案
1 C
2 D
3 D 4B 5C 6D 7A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 D
11【解析】
由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥P-ACE，
1112
故其体积为V=3SΔACE PE=3×(2×1×2)×2=．选B．
3
12．D
【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线y=lnx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线y=lnx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断
定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，
即满足条件的点，代入求得结果.
详解：由题意可得，其结果应为曲线y=lnx上的点与以C(-2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点
4
的距离的平方的最小值，可以求曲线y = lnx 上的点与圆心C( - 2,3)的距离的最小值，在曲线
1
y = lnx 上取一点M(m,lnm)，曲线有y = lnx 在点 M 处的切线的斜率为k' = ，从而有
，
m k CM ⋅ k' = -1
lnm - 3 1
即
，整理得
2 + 2m -
3 = 0，解得m = 1，所以点(1,0)满足条件，其到圆心 ⋅ m = -1 lnm + m
m + 2
C( - 2,3) d = ( - 2 - 1)2 + (3 - 0)2 = 3 2 (3 2 - 1)2 = 19 - 6 2
的距离为
，故其结果为 ，故选 D.
点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用 导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜 率乘积等于-1.从而求得结果. 13． -1 14．8π 15． ①③ 16．5
16【解析】 【分析】
由条件可得直线y = cx 与y = - x 2 + ax - b 相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得a ，b ，c 的 方程，再由函数f(x) = |x 2 - ax + b| + cx 的单调性，可得f(x)的最小值，化简变形即可得到a ，c 的关系式，可得所求值． 【详解】
关于x 的方程|x 2 - ax + b| = cx 恰有三个不等实根，
可得直线y = cx 与y = - x 2 + ax - b 相切相切，设切点为（m ，n ），y ' = -2x + a ， 则 -2m + a = c ，cm = - m 2 - am + b ，
消去m ，可得b = 1
4（a - c ） 2，
2，
a -
a 2 - 4
b a +
a 2 - 4
b 设y = x 2 - ax + b 与x 轴的两个交点的横坐标为：x 1 = ，即有函数
2
，x 2 =
2
f(x)
= |x 2 - ax + b| + cx
，
当x = x 1时，f(x)取得最小值是c 2， 即有c ⋅
a - a 2 - 4b
2，
2
= c
可得a 2 - 4b = （a - 2c ）2， 即为a 2 - （a - c ）2 = （a - 2c ）2 ， 化为（a - 5c ）（a - c ） = 0， 可得a = 5c 或a = c ， 由a ＞c ，可得a = 5c ，
a
即
=5．
c
5
ππ
6
](k∈Z).[-
17⑴[kπ-3,kπ+⑵
1
2
，1]
（1）f(x)=3
2
sin2x+
1
2
cos2x=sin(2x
+
π
6)
πππππ
由2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2⇒kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z),
所以函数f(x)的单调增区间是[kπ
-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z).
ππ
（2）由x∈[-3]得2x+
6
,
π
6
∈[-
π5π
6
,
6]
π1
从而sin(2x+，
6
)∈[-2,1]
1
所以函数f(x)的值域为[-2，1].
18设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q,∵a n=2,a5+a9=14,∴a1+d=2,2a1+12d=14⇒a1=d=1.∴a n=a1+(n-1)d=n. b1=a2=2,b14=a15+1=16=2q3,∴q=2,∴b n=2n.
(2)c n=a n⋅b n=n⋅2n．∴数列{c n}的前n项和T n=2+2×22+3×23+…+n⋅2n，
2T n=22+2×23+…+(n-1)⋅2n+n⋅2n+1
，
∴-T n=2+22+…+2n-n⋅2n+1=
2(2n-1)
2-1
-n⋅2
n+1=(1-n)⋅2n+1-2．
∴T n=(n-1)⋅2n+1+2．
∘357
19（1）60；（2）
38
(1)在△APC中，因为∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，
由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC，
所以22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos 60°，
整理得AP2－4AP＋4＝0，解得AP＝2.
所以AC＝2，所以△APC是等边三角形．
所以∠ACP＝60°.
(2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°.
3333
因为△APB的面积是，所以，AP·PB·sin∠APB＝.
22
所以PB＝3.
在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos∠APB＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，
所以AB＝.
6
1 n
20．（1）S n = 2n - 1(n ∈ N)；（2） 。

2n + 1 （1）由a n = S n - S n - 1(n ≥ 2)得S n 2 = (S n - S n -
1)(S n - 1 2
2) = S
n - 1 2S n - S n - 1S n + 1
2S n - 1 得S n - 1 - S n = 2S n S n - 1(n ≥ 2)
∴ 1 S n - 1
S n - 1 = 2(n ≥ 2)
1 1
∴ {
S n }是以S 1为首项,以 2 为公差的等差数列,
∴
1 S n = 2n - 1, S n =
1 2n - 1
(n ∈ N) (2)b n =
1 (2n - 1)(2n + 1) =
1 1 2(2n - 1 -
1 2n + 1) ∴ T n = 1 2(1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 + .... + 1 2n - 1 - 1 2n + 1) = 1 2(1 - 1 2n + 1)
=
n . 2n + 1 6 （2） ．
4
2 21
21（文）（1）证明见解析；（2）
7 （1）连接AC ，因为AB = BC ，∠ABC = 60°，
所以ΔABC 为正三角形，
又点N 为AB 的中点，
所以AB ⊥ NC.
又因为PA = PB ，N 为AB 的中点，
所以AB ⊥ PN.
又NC ∩ PN = N ，
所以AB ⊥ 平面PNC ，
又PC ⊂ 平面PNC ，
所以AB ⊥ PC.
（2）由（1）知PN ⊥ AB.又平面PAB ⊥ 平面ABCD ，交线为AB ，
所以PN ⊥ 平面ABCD ，
由V M - NCD = V D - MCN .
V M - NCD = 1 3 ⋅ 3 ⋅ 3 2 = 1 1 2 V D - MCN = 3S ΔMNC ⋅ h ， ，
S ΔMNC = 21 ，
4
221
由等体积法知得h=.
7
7
22（文）（1）极小值为1，无极大值；（2）e.
【分析】
（1）求导数f′（x）=e x-1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函数f（x）的单调区
间，从而求出函数f（x）的极小值，并判断没有极大值；
（2）根据条件可得出，对任意的x∈R，都有e x-mx-n≥0成立，然后令u（x）=e x-mx-n，求导u′（x）=e x-m，讨论m的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出m+n≤2m-mlnm，同样根据导数便可求出2m-mlnm的最大值，这样即可求出m+n的最大值．
【详解】
（1）由题得，f'(x)=e x-1.
令f'(x)<0,得x<0;令f'(x)>0,得x>0.
故函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，
故函数f(x)的极小值为f(0)=1，无极大值.
（2）依题意对∀x∈R,f(x)≥g(x),即e x-x≥(m-1)x+n,即e x-mx-n≥0恒成立.
令u(x)=e x-mx-n,则u'(x)=e x-m.
①若m≤0，则u'(x)>0,u(x)在R上单调递增，没有最小值，不合题意，舍去；
②若m>0，令u'(x)=0,得x=lnm.
当u'(x)<0,即x∈(-∞,lnm)时，u(x)单调递减；
当u'(x)>0,即x∈(lnm,+∞)时，u(x)单调递增.
故u(x)min=u(lnm)=e lnm-mlnm-n=m-mlnm-n≥0,
故m+n≤2m-mlnm.（9分）
令q(x)=2x-xlnx，则q'(x)=1-lnx.
当x∈(0,e)时，q'(x)>0，q(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，q'(x)<0，q(x)单调递减，
故q(x)max=q(e)=e，即m+n≤e，即m+n的最大值为e
8。