衡阳八中高三数学上第二次月考检测(理科)

衡阳八中高三数学上第二次月考检测（理科）
②函数有五个零点;
③若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ;
④ 恒成立.
其中，正确命题的序号是 .
【答案】①④.
由图可知，若关于的方程有解，则，且对
恒成立.
三、解答题(本大题共6小题, 满分75分)
16、(本题满分12分)
设是单位圆和轴正半轴的交点，，是单位圆上两点，是坐标原点，且，
(1)若点的坐标是其中，求的值.
(2)设 , 函数，求的值域.
解：(1)由，
. …..3分
所以= . …..6分
(2)由已知有, …..8分
因为，则，所以 .
故的值域是. …..12分
17、(本题满分12分)
已知函数满足，对任意都有，且 .
(1)求函数的解析式.
(2)是否存在实数，使函数在上为减函数?若存在，求出实数的取值范围;若不存在，说明理由.
∴ 图像的对称轴为直线，则，∴ ……………2分
18、(本题满分12分)
如图，已知在直四棱柱 (侧棱垂直底面的棱柱)中，，， .
(1)求证：平面 .
(2)求与平面所成的角的的正弦值.
解法一：
(1)设是的中点，连结，则四边形
为正方形，
.故，，，
，即.……….. 2分
又，……..3分
平面，…….5分
(2)由(1)知平面，
又平面，，
取的中点 , 连结，又，
则 .
取的中点，连结，则 ,
. 平面，
则过向平面引垂线,垂足必落在上
为直线与平面所成的角……8分
连结，在中，，，
取的中点，连结，，
在中，，，. ………..10分
与平面所成的角的的正弦值为. ………..12分
解法二：
(1)以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
, . ….. 2分
, …..3分
又因为
所以，平面. ………..5分
(2)设为平面的一个法向量.
由，，
得取，则. ……….8分
又…….9分
设与平面所成的角为，则 ,
即与平面所成的角的的正弦值. ………..12分
19、(本题满分13分)
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇。

假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，用 (单位： )表示他从小岛到城镇的时间， (单位： )表示此人将船停在海岸处距点的
距离。

(1)请将表示为的函数 .
(2)将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短?最短时间是多少?
解：
(1)
………5分
(2) ………7分
令得. ………9分
当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增. ……11分
故当时, 最小,且最短时间为. ………13分
20、(本题满分13分)
(1)用导数证明: 若 ,则 .
(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.
解：(1)设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx 0 g'(x) = (1/cos2x) - 1 0 由于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数所以f(x) f(0) = 0，g(x) g(0) = 0 == x - sinx
0 ， tanx - x x sinx ，tanx x ∴sinx tanx，x∈(0，π/2) ………6分
(2)当x0时，“sin xxa”等价于“si n x-ax0”，“sin xx。