高三数学文科综合测试卷课标试题

潮阳黄图盛中学2021届高三数学文科综合测试卷
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

全卷满分是150分，考试时间是是120分钟。

参考公式：
假如事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).
假如事件A 、B 互相HY ，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).
第一卷 选择题(一共40分)
一、选择题：此题一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，有且
只有一个是正确的.
1． 不等式5|2|1<+<x 的解集是( ).
A ．)3,1(-
B ．)1,3(-∪)7,3(
C ． )3,7(--
D ．)3,7(--∪)3,1(-
2．假设复数z 满足方程220z +=，那么3z =( ).
A.±
B. -
C. -
D. ± 3． 以下命题(其中b a ,为直线，α为平面)：
① 假设一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ② 假设一条直线平行于一个平面，那么垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 假设α//a ，α⊥b ，那么b a ⊥； ④ 假设b a ⊥，那么过b 有唯一α与a 垂直. 上述四个命题中，真命题是( ).
A ．①，②
B ．②，③
C ．②，④
D ．③，④ 4．设2323log 3,log 2,log (log 2),P Q R ===那么
〔A 〕R Q P << 〔B 〕P R Q << 〔C 〕Q R P << 〔D 〕R P Q <<
5． ααcos sin 2=，那么
α
αα2
cos 1
2sin 2cos ++的值是( ). A ．3
B ．6
C ．12
D ．
2
3 6． 以下各组命题中，满足“‘p 或者q ’为真、‘p 且q ’为假、‘非p ’为真〞的是( ).
A . p ：φ=0； q ：φ∈0.
B . p ：在△AB
C 中，假设B A 2cos 2cos =，那么B A =；q ：x y sin =在第一象限是增函数. C . p ：),(2R b a ab b a ∈≥+；
q ：不等式x x >||的解集是)0,(-∞.
D . p ：圆1)2()1(22=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；
q ：椭圆13
42
2=+y x 的一条准线方程是4=x .
7．设()f x 是R 上的任意函数，以下表达正确的选项是〔 〕 Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数 Ｃ．()()f x f x +-是偶函数
Ｄ．()()f x f x --是偶函数
8. 设动点A , B 〔不重合〕在椭圆14416922=+y x 上，椭圆的中心为O ，且0=⋅OB OA ，
那么O 到弦AB 的间隔 OH 等于( ). A ．
3
20
B ．415
C ．512
D ．154
9．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么n S 等于( ). A ．1
2
2n +- B ．2n C ．3n D ．31n -
10．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，假设对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，那么称A 对运算⊕封闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法〔除数不等于零〕四那么运算都封闭的是〔 〕 Ａ．自然数集
Ｂ．有理数集
Ｃ．整数集
Ｄ．无理数集
第二卷 非选择题(一共100分)
二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
11．⎩⎨
⎧≥+<=)
1(ln )1(2)(x a x x x
x f 是R 上的连续函数，那么=a . 12．⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤--≥-+,063,02,02y x y x y x 那么y x u 2+=的最大值是 ，22y x v +=的最小值是 .
13．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，B ={1, 3, 5, 7, 9}， 集合C 是从A ∪B 中任取2个元素组成的集
合，那么C
A ∩
B 的概率是____________.
14．设0,1a a >≠，函数2
lg(23)
()x x f x a -+=有最大值，那么不等式(
)
2
log 570a x x -+>的解集
为 。

三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

15．〔本小题满分是12分〕
函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ， 求〔1〕函数()f x 的最大值及获得最大值的自变量x 的集合； 〔2〕函数()f x 的单调增区间．
16．〔本小题满分是12分〕
甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩互相之间没有影响，求：
〔1〕甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； 〔2〕甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
17．〔本小题一共 14 分〕 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面 ABCD ，且 PA=PB ，点 E 是 PD 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AC ⊥PB ；
〔Ⅱ〕求证：PB//平面 AEC ；
18．〔本小题满分是14分〕设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等
于焦距，且4x =为它的右准线。

〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设P 为右准线上不同于点〔4，0〕的任意一点，假设直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。

19．〔本小题满分是14分〕二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列
{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

〔Ⅰ〕、求数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕、设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *
∈都成立的最小
正整数m ；
20．〔本小题满分是14分〕
函数13)(3
-+=ax x x f ，5)()(/
--=ax x f x g ，其中)(/
x f 是()f x 的导函数
〔Ⅰ〕对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，务实数x 的取值范围；
〔Ⅱ〕设2
a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公一
共点
[参考答案]
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
D
A
A
C
C
C
B
B
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 11.2. 12.5，2. 13.
28
3
. 14．〔2，3〕 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分。

15．〔本小题满分是12分〕 〔I 〕解法一：
()1cos 23(1cos 2)
sin 222
x f x x θ-+=
++
2sin 2cos2x x =++22sin(2)4
x π
=++……4分
∴当2242x k πππ+=+，即()8
x k k Z π
π=+∈时，()f x 获得最大值22+
因此，()f x 获得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z π
π⎧⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
.……8分 解法二：
222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++
1sin 21cos2x x =+++22)4
x π
=++……4分
∴当2242x k πππ+=+，即()8
x k k Z π
π=+∈时，()f x 获得最大值22因此，()f x 获得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z π
π⎧⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
……8分 〔Ⅱ〕解：()22)4
f x x π
=+
由题意得222()2
4
2k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+∈，即3()88
k x k k Z π
πππ-≤≤+∈. 因此，()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
.…………12分
16〔本小题满分是12分.〕
〔Ⅰ〕解：甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为1
20.60.40.48C ⨯⨯= 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为1
20.60.40.48C ⨯⨯=
故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率为
0.480.480.2304P =⨯=…………………………6分
〔Ⅱ〕解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为4
0.40.0256,= 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为
10.02560.9744P =-=…………………………12分
解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为1
40.60.40.1536C ⨯⨯=
甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为222
40.60.40.3456C ⨯⨯= 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为222
40.60.40.3456C ⨯⨯=
甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为4
0.60.1296= 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为
0.15360.34560.34560.12960.9744P =+++=……………………12分
17．〔本小题一共 14 分〕
解： 〔Ⅰ〕∵ PA ⊥平面 ABCD ， ∴ PA ⊥AC. ∵ AB ⊥AC ，PA ∩AB=A ， ∴ AC ⊥平面PAB ， 又 ∵ AB ⊂平面PAB ， ∴ AC ⊥PB.
〔Ⅱ〕连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO. ∵ ABCD 是平行四边形， ∴ O 是BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴ EO ∥PB. 又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴ PB ∥平面 AEC.
１8．〔本小题满分是14分〕
解：〔Ⅰ〕依题意得 a ＝2c ，c
a 2＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而
b ＝3.
故椭圆的方程为 13
42
2=+y x . 〔Ⅱ〕解法1：由〔Ⅰ〕得A 〔－2，0〕，B 〔2，0〕.设M 〔x 0，y 0〕.
∵M 点在椭圆上，∴ y 0＝
4
3
〔4－x 02〕. ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点一共线可以得P 〔4，
2
600
+x y 〕.
从而BM ＝〔x 0－2，y 0〕，
BP ＝〔2，2
600+x y 〕.
∴BM ·BP ＝2x 0－4＋
2
602
+x y ＝
2
20+x 〔x 02－4＋3y 02〕. ○2
将○1代入○2，化简得BM ·BP ＝
2
5
〔2－x 0〕. ∵2－x 0>0，∴BM ·BP >0，那么∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。

解法2：由〔Ⅰ〕得A 〔－2，0〕，B 〔2，0〕.设M 〔x 1，y 1〕，N 〔x 2，y 2〕，
那么－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为〔
221x x +，2
2
1y y +〕， 依题意，计算点B 到圆心Q 的间隔 与半径的差
2
BQ －
2
41MN ＝(221x x +－2〕2＋〔221y y +〕2－4
1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]
＝〔x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3
又直线AP 的方程为y ＝
)2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2
22
--x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上，
∴
26262211-=+x y x y ，即y 2＝2
)2311
2+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，那么1342
12
1=+y x ，即)4(4
32
121x y -= ○5
于是将○4、○5代入○3，化简后可得2
BQ －2
41MN ＝0)2)(24
521<-x x －（. 从而，点B 在以MN 为直径的圆内。

19．〔本小题满分是13分〕
解：〔Ⅰ〕设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,那么 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝〔3n 2－2n 〕－[
]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 〔n N *
∈〕
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61
561(21+--n n ，
故T n ＝
∑=n
i i b 1
＝
2
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21〔1－161+n 〕. 因此，要使
21〔1－161+n 〕<20m 〔n N *∈〕成立的m,必须且仅须满足21≤20
m
，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 20．〔此题满分是15分〕
解：〔Ⅰ〕由题意()2
335g x x ax a =-+-
令()()2335x x a x ϕ=-+-，11a -≤≤
对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<
∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩
即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩
解得2
13
x -
<< 故2,13x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x < 〔Ⅱ〕()'2233f x x m =-
①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公一共点 ②当0m ≠时，列表：
∴()()2
211f x f
x m
m ==--<-极小
又∵()f x 的值域是R ，且在()
,m +∞上单调递增
∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公一共点。

当x m <时，恒有()()
f x f m ≤- 由题意得()
3f m -< 即3
2
21213m m m -=-<
解得(
)()30,2m ∈
综上，m 的取值范围是(
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。