苏教版高中数学必修四学同步课堂活页训练第三章三角恒等变换Word含解析(2)(1)

双基达标(限时15分钟) 1．cos 75°的值为________．
解析cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝
2
2·
3
2－
2
2·
1
2
＝6－2
4.
答案
6－2
4
2．－cos 70°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________.
解析原式＝－cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°＝－cos(70°＋20°)＝0.
答案0
3．已知cos(α＋β)＝
1
3，cos(α－β)＝
1
4，则cos αcos β＝________.
解析cos(α＋β)＋cos(α－β)＝
1
3＋
1
4，
即2cos αcos β＝
7
12.
∴cos αcos β＝
7
24.
答案
7
24
4．若a为锐角且cos α＝
25
5，则cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
4－α＝________.
解析由α为锐角且cos α＝
25
5，可得sin α＝
5
5.于是cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
4－α＝cos
π
4cos α
＋sin αsin π
4＝
2
2×
25
5＋
2
2×
5
5＝
310
10.
答案310 10
5．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是__________．解析cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°
＝cos 70°cos (360°－25°)＋sin(180°－70°)sin 25°
＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos (70°－25°)
＝cos 45°＝2
2. 答案 22
6．已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，且π4＜a ＜π2，0＜β＜π
4，求cos(α＋β)的值．
解 ∵π4＜α＜π2，0＜β＜π4， ∴π4＜2α－β＜π，－π4＜α－2β＜π2
， ∴由cos(2α－β)＝－1114得sin(2α－β)＝5314； 由sin(α－2β)＝437得，cos(α－2β)＝1
7. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.
综合提高 (限时30分钟)
7．cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α等于________．
解析 将α＋β看作一个整体．因此原式＝cos(α＋β－α)＝cos β. 答案 cos β
8．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝1
2，则cos(α－β)的值为________．
解析
由⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋sin β＝1－3
2， ①
cos α＋cos β＝1
2， ②
①2＋②2⇒cos(α－β)＝－3
2. 答案 －3
2 9.
2cos 50°－3sin 10°
cos 10°
＝________.
解析 2cos 50°－3sin 10°cos 10°＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°
＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°
cos 10°
＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°
cos 10°
＝
cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°
＝cos 10°
cos 10°＝1.
答案 1
10．已知sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，则cos α＝________.
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝－35.
∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4sin π4
＝－35×22＋45×22＝210. 答案 2
10
11．已知在△ABC 中，A 、B 、C 分别为其三个内角，若A －B 为锐角且sin(A －B )＝23，cos B ＝3
4，求cos A 的值．
解 ∵cos B ＝3
4， ∴sin B ＝
1－cos 2B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－342＝74. cos(A －B )＝1－sin 2(A －B )＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
232＝53. ∴cos A ＝cos[(A －B )＋B ] ＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝53×34－23×74＝35－2712
.
12．已知cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，求β的值．
解 ∵α、β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，
∴sin α＝1－cos 2α＝43
7， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝53
14.
又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，∴β＝π3.
13．(创新拓展)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝5
13，0<x <π4.求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋x 的值．
解 因为sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝5
13，
所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，
因此cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x ＝5
13.
因为0<x <π4，所以π4<x ＋π4<π2，0<π4－x <π
4， 因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝12
13.
从而cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213×513＋1213×513＝120
169，cos 2x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋x ＝120
169513＝2413.。