高二中 高二数学下学期第二次月考试题 文含解析 试题

上高二中2021-2021学年高二数学下学期第二次月考试题 文〔含解
析〕
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.〕 1.i 为虚数单位，()13z i i +=-，那么在复平面上复数z 对应的点位于( ) A. 第四象限 B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象
限 【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的运算法那么化简z ，再利用复数的几何意义即可得出结论． 【详解】由题知()()()()
31312111i i i z i i i i ---=
==-++-，那么在复平面上复数z 对应的点为〔1，-2〕，
位于第四象限， 应选A.
【点睛】此题考察了复数的运算法那么、几何意义，属于根底题．
2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°〞时，应假设〔 〕 A. 三个内角都不大于60° B. 三个内角至多有一个大于60° C. 三个内角都大于60° D. 三个内角至多有两个大于60° 【答案】C
【解析】 【分析】
根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°〞的否认是：三角形的三个内角都大于60°。

【详解】∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°， ∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°. 应选：C.
【点睛】反证法即是通过命题的反面对错判断正面问题的对错，反面那么是假设原命题不成立。

2()2ln f x x x =-的单调减区间是〔 〕
A. 〔0，1〕
B. 〔1，+∞〕
C. 〔-∞，1〕
D. 〔-1，1〕
【答案】A 【解析】
()()()21122x x f x x x x
+--
=
'＝. (0)x > 令()0f x '<，解得01x <<，故减区间为：()0,1. 应选A.
4.关于某设各的使用年限x 〔单位：年〕和所支出的维修费用y 〔单位：万元〕有如下的统计资料，
由上表可得线性回归方程0.08y bx =+，假设规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为〔 〕 A. 7 B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C 【解析】
试题分析：由表格得：1(23456)45x =
++++=，1
(2.2 3.8 5.5 6.57.0)55
y =++++=， 由于线性回归直线恒过样本中心点(),x y ，所以有：540.08b =+，解得： 1.23b =，
所以线性回归方程 1.2308ˆ.0y
x =+， 由12y >得：1.230.0812x +>解得：9.69x >， 由于*x N ∈，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9. 应选C.
考点：线性回归．
5.某工科院校对A 、B 两个专业的男、女生人数进展调查统计，得到以下表格：
假如认为工科院校中“性别〞与“专业〞有关，那么犯错误的概率不会超过〔〕
注：
2
2
()
()()()()
n ad bc
x
a b c d a c b d
-
=
++++
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】
根据联表中的数据
()2
2
1001246438100
4.762
1684505021
K
⨯⨯-⨯
==≈
⨯⨯⨯
，与临界值比拟，即可得
到结论。

【详解】根据题意，填写上2×2列联表如下；得到以下表格：
计算()2
21001246438100
4.76216845050
21
K ⨯⨯-⨯=
=
≈⨯⨯⨯；且4.762＞3.841， 所以认为工科院校中“性别〞与“专业〞有关，犯错误的概率不会超过0.05. 应选：D.
【点睛】此类题首先把表格补齐，然后根据表格数据代入的方程求出值与HY 值进展比拟即可，属于较易题目。

6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩〔α为参数〕.假设以射
线Ox 为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为〔 〕 A. ρ＝sinθ B. ρ＝2sinθ
C. ρ＝cosθ
D. ρ＝
2cosθ 【答案】D 【解析】
由1cos sin x y αα
=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕得曲线C 普通方程为22(1)1x y -+=，
又由cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，应选D ．
7.*
1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察以下算式：1223lg 3lg 4
log 3log 42lg 2lg 3
a a ⋅=⋅=
⋅=；123456237lg3lg 4
lg8
log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7
a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
⋅=，…；假设*123
2016()m a a a a m N ⋅⋅=∈，那么m 的值是〔 〕
A. 201622+
B. 20162
C. 201622-
D.
201624-
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
12231lg3lg 4
lg(2)lg(2)
log 3log 4log (2)2016lg 2lg3lg(1)lg 2
m m m m a a a m m +++=+=
⋅==+…,所
以有2log (2)2016m +=,201622m =-,选C. 考点：1.对数的根本计算；2.对数的换底公式.
8.给出定义：设()f x '
是函数()y f x =的导函数，
()f x ''是函数()f x '的导函数，假设方
程()0f x '
'=有实数解x 0，那么称点〔x 0，f 〔x 0〕〕为函数y=f 〔x 〕的“拐点〞．函数f 〔x 〕
=3x+4sinx-cosx 的拐点是M 〔x 0，f 〔x 0〕〕，那么点M 〔 〕 A. 在直线y=-3x 上 B. 在直线y=3x 上
C. 在直线y=-4x 上
D. 在直线
y=4x 上 【答案】B 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决． 【
详
解
】
()34cos sin ,()4sin cos f x x x f x x x
=++=-+'''，所以
000()4sin cos 0f x x x =-+'='，
因此00()3f x x =，故M 〔x 0，f 〔x 0〕〕在直线3y x =上． 应选：B ．
【点睛】此题是新定义题，考察了函数导函数零点的求法，解答的关键是函数值满足的规律，属于中档题．
R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(0)2f =，那么不等式
()20x f x e -<的解集为〔 〕
A. (2,)-+∞
B. (0,)+∞
C. (1,)+∞
D.
(4,)+∞
【答案】B 【解析】
根据题设构造函数()
()x f x h x e =，那么2()()()()()()x x x x e f x e f x f x f x h x e e '-=='-'，因
()()f x f x <'，故()0h x '<，那么函数()
()x f x h x e
=
在R 上单调递减，又原不等式可化为()2x f x e <且(0)2f =，故
0(0)
(0)(0)2f h f e ===，那么()(0)0h x h x ⇒，应填答案(0,)+∞。

点睛：解答此题的关键是能观察和构造出函数()
()x f x h x e
=
，然后运用导数中的求导法那么进展求导，进而借助题设条件进展判断其单调性，从而将不等式进展等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解。

2()()f x x x c =-在x ＝2处有极大值，那么常数c 为〔 〕
A. 2
B. 6
C. 2或者6
D. -2或者
-6 【答案】B 【解析】
【分析】
求出函数的导数，那么()20f '=，求出c 值。

然后再代回去检验函数的导数在2x =处左侧为正数，右侧为负数。

因为满足这个条件才能说在2x =处获得极大值。

【详解】∵函数()()2
3222f x x x c x cx c x =-=-+，它的导数为()22
34f x x cx c =-+'，
由题意知，在x ＝2处的导数值为21280c c -+=，∴c＝6，或者c ＝2，
又函数()()2
f x x x c =-在x ＝2处有极大值，故导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数.
当c ＝2时，()()2
2384323f x x x x x ⎛⎫=-+=-'- ⎪⎝
⎭，
不满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数.
当c ＝6时，()()
()()22
324363812326f x x x x x x x =-+=-=-'+-，
满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数.故c ＝6. 应选：B.
【点睛】函数在0x 处获得极值的充要条件是：1〕()00f x '= 2)导函数在o x 处两端异号。

所以此类题先求()00f x '=，再判断导函数在0x 处是否异号即可。

()1
sin 2sin 3
f x x x a x =-+在R 上单调递增，那么a 的取值范围是( )
A. []1,1-
B. 11,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C. 11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D.
11,3⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】
试题分析：()2
1cos 2cos 03
f x x a x =-
+'对x R ∈恒成立，
故()2212cos 1cos 03x a x --+，即2
45cos cos 033a x x -+
恒成立， 即245033t at -++
对[]1,1t ∈-恒成立，构造()245
33
f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1
10
3
{110
3
f a f a -=-=+，解得1133a -．应
选C ．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】此题把导数与三角函数结合在一起进展考察,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或者最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
f 〔x 〕＝|lnx|，假设函数
g 〔x 〕＝f 〔x 〕-ax 在区间〔0，4〕上有三个零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 〔0，
1
e
〕 B. 〔
ln 2
2
，e 〕 C. 〔
ln 22，1
e
〕 D. 〔0，
ln 2
2
〕 【答案】C 【解析】 【分析】
函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕-ax 在区间〔0，4〕上有三个零点等价于|lnx|-ax ＝0在区间〔0，4〕
上有三个不同的解，别离参数后等价于ln ,01
ln y ln ,14x x x x
a y x x x x
⎧-⎪⎪===⎨⎪≤⎪⎩＜＜与＜函数图像有三个
交点，通过ln y x x
=
的图像较容易求处实数a 的取值范围。

【详解】∵g 〔x 〕＝f 〔x 〕-ax 在区间〔0，4〕上有三个零点， ∴|lnx|-ax ＝0在区间〔0，4〕上有三个不同的解，
令ln ,01
ln ln ,14x
x x x
a x x x x
⎧-⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩＜＜＜；
那么当0＜x ＜1时，ln x
x -
的值域为〔0，+∞〕； 当1≤x ＜4时，ln x a x =在[1，e]上是增函数，ln 1
0x x e
≤
≤，在[e ，4〕上是减函数， ln2ln 12x x e ≤＜；故当ln21,2a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，有三个不同的解. 应选：C.
【点睛】几个零点表示函数()f x 与x 轴有几个交点或者者表示0f x
方程有几个根。

然后再别离参数比拟参数和别离出的函数值域关系进展解题即可，别离参数和分类讨论是我们求解导数题目常用两种方法，注意辨析。

二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
13.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中〞；乙说：“我没有作案，是丙偷的〞；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷〞；丁说：“乙说的是事实〞，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.
【答案】乙 【解析】
四人供词中，乙、丁意见一致，或者同真或者同假，假设同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的〞是假话，即乙、丙、丁
没偷，互相矛盾；假设同假，即不是丙偷的，那么甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中〞，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷〞是真话， 可知犯罪的是乙.
【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实〞发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的打破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.
m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是______. 【答案】 【解析】
试题分析：设该长方体的宽是米，由题意知，其长是
米，高是
米，
那么该长方体的体积，由，得
到，且当时，；当时，
，即体积函数在
处获得极大值
，也是函数
.故答案为：.
考点：〔1〕导数在最值中的应用；〔2〕棱柱、棱锥、棱台的体积.
15.f 〔x 〕为奇函数，当x≤0时，2
()3f x x x =-，那么曲线y ＝f 〔x 〕在点〔1，-4〕处的切线方程为_______.
【答案】510x y +-= 【解析】 【分析】
由题意，根据函数的奇偶性，求得2f x x 3x x 0=-->（）（），再根据导数的几何意义，即可求解曲线在点()1,4-处的切线方程，得到答案.
【详解】由题意，设0x >，那么0x -<，那么22f x x 3x x 3x -=---=+（）（）（）.
又由函数()f x 是奇函数，所以2f x x 3x -=+（），即2f x x 3x x 0=-->（）（）， 那么f x 2x 3（）=--'，所以f 1235=-'-=-（），且f 14=-（），
由直线的点斜式方程可知y 45x 15x 5+=--=-+（
），所以5x y 10+-=. 【点睛】此题主要考察了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
16.假设过定点〔0，-1〕的直线与曲线ln 1y x x =+相交不同两点A ，B ，那么直线的斜率的取值范围是_____. 【答案】(1ln 2,)++∞ 【解析】 【分析】
设直线l:y=kx-1,转化为kx 1ln 1x x -=+有两个不同的根，别离2
k lnx x
=+，求导求最值即可.
【详解】设直线l:y=kx-1,那么kx-1=ln 1,x x +得2k lnx x
=+， 令g(x)=lnx+
2x ,g '(x)=22,x x
-
x>2,g '(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,g '(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=1ln2,+
又()()x ,g x ;x 0,g x ,→+∝→+∝→→+∝故k>1ln2,+ 故答案为()1ln2,.++∞
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，极值，是根底题.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，第17题10分，其他各题每一小题12分.〕
17.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，xl
的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，曲
线C 的极坐标方程为ρ＝4sin 〔θ+
3
π
〕. 〔1〕求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕假设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.
【答案】(1) 直线l
＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x
2＋(y －1)2
＝4. (2)4 【解析】 【分析】
〔1〕将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两
边同时乘以ρ，利用222
sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
可得曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕求出点O 到直线的间隔 ，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．
【详解】解：(1)
由题意有(1)
1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，
()()12⨯
+得，
＋y ＝4，
直线l
＋y －4＝0. 因为ρ＝4sin +
3πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
所以ρ＝2sinθ＋
， 两边同时乘以ρ得，
ρ2＝2ρsin θ＋
ρcos θ，
因为222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以x 2＋y 2＝2y ＋
x ，即(x
)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x
)2＋(y －1)2＝4.
(2)∵原点O 到直线l 的间隔
2d =
=
直线l
过圆C 的圆心1)， ∴|MN |＝2r ＝4， 所以△MON 的面积S ＝
1
2
|MN |×d ＝4. 【点睛】此题考察了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，
解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
这一转化公式，还考察了直线与圆的位置关系等知识.
18.某地随着经济的开展，居民收入逐年增长，下表是该地一建立银行连续五年的储蓄存款〔年底余额〕，如下表1：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进展了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2：
〔Ⅰ〕求z 关于t 的线性回归方程；
〔Ⅱ〕用所求回归方程预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达多少？
〔附：对于线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a
y bx x
nx ==-⋅==--∑∑〕 【答案】〔Ⅰ〕 1.2 1.4z t =- 〔Ⅱ〕预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕由表中的数据分别计算x ，y 的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；
〔Ⅱ〕t=x ﹣2021，z=y ﹣5，代入z=1.2t ﹣1.4得到：y ﹣5=1.2〔x ﹣2021〕﹣1.4，即y=1.2x ﹣2408.4，计算x=2021时，的值即可． 试题解析：
〔Ⅰ〕
4553 2.2 1.255ˆ59
b -⨯⨯==-⨯， 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-
〔Ⅱ〕2010,5t x z y =-=-，代入
得到：
()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-
1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，
∴ 预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元
点睛：求解回归方程问题的三个易误点：〔1〕易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．〔2〕回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，本质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．〔3〕利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而本质上是预测值(期望值)．
19.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.
〔Ⅰ〕证明MN∥平面PAB ； 〔Ⅱ〕求四面体N-BCM 的体积.
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕45 3
【解析】
【分析】
〔1〕取BC中点E，连结EN，EM。

易得四边形ABEM是平行四边形，进而平面NEM∥平面PAB，
∴MN∥平面PAB.〔2〕设AC中点F，那么V N-BCM＝1
3BCM
S NF
⨯⨯。

求出S△BCM面积，算S△BCM
面积时高时构造一个等高的△MEG ，NF＝1
2
PA＝2，带入即可。

【详解】〔Ⅰ〕取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，
∴BE＝1
2
BC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB.
〔Ⅱ〕取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF＝1
2
PA＝2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，∵AM//CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，
又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝5，
∴S△BCM＝1
2
×BC×h＝
1
2
×4×5＝25，
∴四面体N-BCM的体积V N-BCM＝1145
252
333
BCM
S NF
⨯⨯=⨯⨯=.
【点睛】〔1〕证明线面平行两种方法：1〕先证线线平行，线属于面，那么线面平行；2〕先证面面平行，线属于一个面，那么线平行于另一个面。

此题两种方法都行〔2〕记住三棱锥体积公式1
3
V Sh =，然后找到S 和h 即可。

C ：22221x y a b +=＝1〔a ＞b ＞0〕的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2
212
y x -=的焦
点重合，过点P 〔4，0〕且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点. 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求OA OB ⋅的取值范围. 【答案】〔1〕
；〔2〕
【解析】
试题分析：〔1〕设椭圆的方程，假设焦点明确，设椭圆的HY 方程，结合条件用待定系数法求出
的值，假设不明确，需分焦点在轴和
轴上两种情况讨论；〔2〕解决直线和椭
圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件点，而斜率未知；有的题设条件斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二
次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：解：〔1〕由题意知2222
22
11,24
c c a b e e a a a -==∴===， 224
3
a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b =224,3a b ∴==，
∴椭圆的方程为22143
x y +=. 〔2〕假设直线l 的倾斜角为0，那么(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-，
当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，
2222
4{(34)243603412
x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>
设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，121222
2436
,3434
m y y y y m m +=-
=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++
2116434m =
-+，2
134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为
13[4,)4
-. 考点：1、椭圆的HY 方程；2、直线与椭圆的综合问题.
()ln ()a
f x x a R x
=+∈.
〔Ⅰ〕讨论函数f 〔x 〕的单调性； 〔Ⅱ〕令(5)2
()a k g a a
--=
，假设对任意的x ＞0，a ＞0，恒有f 〔x 〕≥g 〔a 〕成立，务
实数k 的最大整数. 【答案】〔1〕见解析〔2〕7 【解析】 【分析】 〔1〕()221,a x a
f x x x x
-='=
-讨论0a ≤和0a >两种情况；〔2〕由()()()min 1ln 1f f x a x g a （），=+≥ 成立转化为()()min max f x g a ≥，别离k,构造函数求
最值即可.
【详解】〔1〕此函数的定义域为()0,+∞，()221,a x a
f x x x x
-='=
- 〔1〕当0a ≤时，()0,f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，
〔2〕当0a >时， ()()()0,,0,x a f x f x <'∈单调递减，()()(),,0,x a f x f x '∈+∞> 单调增
综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增
当0a >时， ()()0,,x a f x ∈单调递减，()(),,x a f x ∈+∞ 单调递增. 〔2〕由〔Ⅰ〕知()()min ln 1,f x f a a ==+
()()f x g a ∴≥恒成立，那么只需()ln 1a g a +≥恒成立，
那么()52
2
ln 15,a k a k a
a
--+≥
=--
2
ln 6a k a
⇔+
≥-， 令()2
ln ,h a a a
=+那么只需()min 6,h a k ≥-
那么 ()22
122
,a h a a a a -='=- ()()()0,2,0,a h a h a '∴∈<单调递减， ()()()2,,0,a h a h a '∈+∞>单调递增，()()min 2ln21h a h ==+
即ln216,ln27,k k k +≥-∴≤+∴的最大整数为7.
【点睛】此题考察利用导数研究函数单调性，求最值，考察双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为()()min max f x g a ≥是关键.
2()(1)ln 1f x a x ax =+++.
〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调性；
〔Ⅱ〕设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-。

【答案】
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；〔Ⅱ〕借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 试题解析：
〔Ⅰ〕解：()f x 的定义域为()0,+∞，()()222111212a x a ax a f x ax x x x +++++='=+=。

当0a >时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增；
当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞单调递减；
当10a -<<时，令()0f x '=，解得12a x a
+=-。

由于()f x '在()0,+∞上单调递减，故当10,2a x a ⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在10,2a a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增；当1,2a x a ⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在1,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减。

〔Ⅱ〕证明：不妨假设12x x ≥．由于2a ≤-，故()f x 在()0,+∞单调递减。

∴()()12124f x f x x x -≥-等价于()()211244f x f x x x -≥-。

即()()221144f x x f x x +≥+。

令()()4g x f x x =+，那么()2124124a ax x a g x ax x x
++++=+='+。

于是()()
22214410x x x g x x x --≤='-+-<。

从而()g x 在()0,+∞单调递减，故
， 即()()221144f x x f x x +≥+，故对任意()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∈+∞-≥-。

考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。

此题就是以含参数的函数解析式为背景，考察的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的才能。

此题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中那么先构造函数()()4g x f x x =+，然后再对函数()()4g x f x x =+求导，运用导数的知识研究函数的单
调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证。

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