山东省百师联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题

山东省百师联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题
一、单选题 1．若复数z 满足1i
3i z -=-，则z =（ ） A
B ．15
C
D
2．已知集合{}{}2
|19,2,1,0,1,2A x x B =<<=--，则A B =I （ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}2,2-
D ．{}2,1,1,2--
3．抛物线22y x =的准线方程为（ ）
A ．1
8y =-
B ．1
2y =-
C ．1
8x =-
D ．1
2
x =-
4．如果随机变量(),B n p ξ:，且()()224,8E D ξξ==，则p =（ ） A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
5．已知tan 2θ=，则
πsin cos24πsin 4θθ
θ⎛
⎫- ⎪⎝⎭=⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭（ ） A ．1
5
-
B ．73
-
C ．15
D ．73
6．某兴趣小组组织四项比赛，只有甲､乙､丙､丁四人报名参加且每项比赛四个人都参加，每项比赛冠军只有一人，若每项比赛每个人获得冠军的概率均相等，则甲恰好拿到其中一项比赛冠军的概率为（ ） A ．1
4
B ．
964
C ．
2764
D ．
916
7．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>
C 的一条渐近线截圆
22(2)9x y -+=所得的弦长为（ ）
A
B
C
D
8．已知正三棱锥A BCD -
的外接球为球,6,O AB BC ==E 为BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A ．21π,12π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．27π,12π4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[]21π,48π
D ．[]27π,48π
二、多选题
9．若“2x <”是“2x a -<<”的充分不必要条件，则实数a 的值可以是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．记等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且*56,a a ∈N ，若5
106T =，则56a a +的可能取值为（ ）
A ．-7
B ．5
C ．6
D ．7
11．已知函数()(),f x g x 的定义域均为(),1f x +R 的图象关于1x =-对称，()11g x -+是奇函数，且()()()24,43g x f x f =++=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．()()f x f x =-
B ．()10g -=
C ．()12g =
D ．2023
1()2021i g i ==-∑
三、填空题
12．已知一组数据为90,80,79,85,72,74,82,77，则这组数据第60百分位数为.
13．已知圆O 的半径为4,,BC DE 是圆O 的两条直径，若3BF FO =u u u r u u u r ，则FD FE ⋅=u u u r u u u r
. 14．已知函数()3,01,ln ,1,x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩若存在实数12,x x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则
216x x -的取值范围为.
四、解答题
15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为π
,,,,66cos 3
a b c C b ab c A ==+. (1)求b 的值；
(2)若c ABC V 的面积.
16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面11,,,2ABC AB AC AB BC AB BC ⊥⊥==.
(1)求证：平面11AB C ⊥平面1A BC ；
(2)设点P 为1AC 的中点，求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.
17．在平面直角坐标系中，点,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，且2AB =，动点T
满足OT OA =u u u r u u u r u u r .
(1)求动点T 的轨迹C 的方程；
(2)已知直线:1l x my =+与曲线C 相交于,M N 两点，直线:4l x '=，过点M 作MD l ⊥'，垂足为D ，设点O 为坐标原点，求OND △面积的最大值. 18．已知函数()()2
1ln (0)2
f x x a x a =++>. (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若1a =，设()()21
2g x f x x =-，证明：对任意两个不等实数[)12,0,x x ∈+∞，不等式
()()(
1212x x g x g x ->-.
19．已知数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ：对任意的
(),1,i j i j i j n a a ≤≤≤与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .
(1)分别判断数集{}2,4,8与{}1,2,5,10是否具有性质P ，并说明理由； (2)（i ）证明：11a =且121121
1111)(
n n n n n a a a a a a a a a --++++=++++L L ； （ii ）当5n =时，若23a =，写出集合A .。