黑龙江省双鸭山一中高二上学期期末考试 数学理

高二数学（理科）期末试题
（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）
第Ⅰ卷（12题：共60分）
一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入 家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为 （ ）
A ．①简单随机抽样调查，②系统抽样
B ．①分层抽样，②简单随机抽样
C ．①系统抽样，②分层抽样
D ．①② 都用分层抽样
2.“”是“”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.命题“所有能被整除的整数都是偶数”的否定是 （ ） A.所有不能被整除的整数都是偶数 B.所有能被整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被整除的整数是偶数 D.存在一个能被整除的整数不是偶数
4.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点， 这样的直线共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.如果执行下面的程序框图，输出的，则判断框中
为 （ ） A. B. C. D.
6.与向量共线的单位向量是 （ ） A. B.和 C. D.和
7.已知双曲线2
2
:44(0)C x my m m -=>的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 （ ）
A. B. C. D.
8.下列各数中最小的一个是 （ ） A. B. C. D.
9.一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知 第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A. B. C. D.
10.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均 成绩的概率为 （ ）
A ． B. C ． D ．
11.
在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ） A. B. C. D.
12．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相 切于线段的中点，则该椭圆的离心率为 （ ） A. B. C. D.
第Ⅱ卷（10题：共90分）
二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中的系数是 。

14. 要用四种颜色（可以不全用）给四川、青海、西藏、云南 四省（区）的地图上色，每一省（区）一种颜色，只要求相 邻的省（区）不同色，则上色方法有 。

15.将五种不同的文件随机地放入编号依次为的七个抽屉内，每
个
抽屈至多放一种文件，则文件被放在相邻的抽屉内且文件被放在不相邻的抽屉内的 概率是 。

16. ①命题“”的否定是“”；②已知为两个命题，若 “”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件； ④“若，则且”的逆否命题为真命题。

其中所有真命题的序号为 。

三、解答题（包括6小题，共70分）
17.（本题10分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； (2)试预测加工个零件需要多少小时？
(注：1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-=-∑∑，)
18.（本题12分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在米(精确到米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右 前个小组的频率分别为 。

第小组的频数是。

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 若由直方图来估计这组数据的中位数，
指出它在第几组内，并说明理由；
(3) 若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率。

19.（本题12分）
顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线截得的弦长为，求抛物线方程。

20.（本题12分）
已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，
分别为棱的中点，。

(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值。

21.（本题12分）
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：
①每位参加者记分器的初始分均为分，答对问题分别加分、分、分、分，答错任一题减分；
②每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数
大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束。

假设甲同学对问题回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列。

22.（本题12分）
设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足
，记动点的轨迹为。

（1）求曲线的方程；
（2）若点的坐标为，是曲线上的两个动点，并且，求实数的取值范围；
（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。

高二（理科）数学试题答案
一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）
13.； 14.； 15. =； 16. 2。

三、解答题
17. (1)由表中数据得：，，
∴，，∴。

回归直线如图所示：
(2)将代入回归直线方程，得ˆ0.710 1.058.05y
=⨯+= (小时)．
18. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为 (人).∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为 0.56，∴中位数位于第4组内. (3)、两人至少有1人入选的概率为
19. 设抛物线方程为，弦的两个端点分别为 由得： 2
4x (42a )x 10+-+=22(42a )164a 16a 0=--=->V 。

得：。

12122a 41
x x ,x x 44
-+=
=
AB ===∴ 得或。

故抛物线方程为或。

20. 以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x,y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1， 0)，
B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(，0，0)，C(0，1，1)，M(，-，). (1)设平面NEC 的一个法向量为=(x,y,1)，因为=(0，1，1)， =(，0，0)， 所以=y+1=0， =0；所以=(0,-1,1)，因为， =0，
所以，因为AM 平面NEC ，所以直线AM ∥平面NEC. (2)设平面DEC 的一个法向量为=(1,y,z),
因为=(0,0,1), ,
所以m DC z 0,m DE y 0==-=；
u r u u u r u r u u u r
g g 所以
.n m cos n,m 4|n ||m |
===-r u r
r u r g r u r 〈〉
因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D 的余弦值为.
21.（1）设事件为：甲同学进入下一轮。

事件为：甲同学答对了第题，事件为：甲同学答错了第题，
则12312341234123412341
()()()()()()=4
P A P B B B P B B B B P B B B B P B B B B P B B B B =++++ （2）的所有可能取值为：
121(2)()8P P B B ξ===，1231233
(3)()()8
P P B B B P B B B ξ==+=
131
(4)1882
P ξ==--=
的分布列为：
22. （1
）设：1122(,),(),(,)P x y A x x A x x
12121212)5x x x x x x y x x x x y =++=⎧⎧⎪⎪∴∴⎨⎨=--=⎪⎪⎩⎩
，
又，，即所求曲线方程为
（2）设：，则由可得(,16)(,16)x y s t λ-=-
故,16(16)x s y t λλ==+-在曲线上，22
222
12516
(1616)125
16s t s t λλλ⎧+=⎪⎪∴⎨-+⎪+=⎪⎩消去，
得
222
(16)(1616)11616
t t λλλ--++=，又解得 又且
（3）设直线为，则22
12516x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：222
(2516)5025(16)0k x kbx b +++-=
解得：①且1212222516,2251622516x x y y kb b
k k ++=-=-
++ 则直线为22
16125()25162516
b kb
y x k k k -=-+++由在直线上② 由①②得200
2818199
25161644
y y k <<∴-<<+。