重庆大学最优化方法习题答案
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构造初始单纯形表并计算得 以 x1 为换入变量， x 4 为换出变量，得
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z
x4 x5 x7
10+2M 5
15+M 3
12+M 1
0 1
0 0
-M 0
0 0 9
-5
6
15
0
1
0
0
15
2
1
1
0
0
-1
1
5
以 x1 为换入变量， x 4 为换出变量
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z
(0,2,1,0) ， z 4 1 ；
⑤因为 p 2 , p 4 线性相关， x 2 , x 4 不能构成基变量； ⑥因为 p 3 , p 4 线性无关，可得基解 x
(6)
(0,0,1,1) ， z 6 3 ；
所以 x ( 2) , x (4) , x (6) 是原问题的基可行解， x (6) 是最优解，最优值是 z 3 。 （2） max z x 1 x 2 2x 3 x 4 x 5
（4）为退化解。
x1 c1 x2 x5 x6 a1
1+M
1-4M 1 -4
-2+M -1 1
0 1 0
-M 0 -1
0 0 1 5 7
x4 x6
3 1
以 x1 作为换入基， x 4 作为换出基有
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
2 13M 3 3 1 3 13 3
4M 5 3 3
-1
1 M 3 1 3 1 3
-M
0
x1
1
0
0
3
5 3 16 3
maxz18y600200600200600时即四月份进货400件售货600件五月份进货500件售货600件六月份进货600件售货60016设市场上可买到n种不同的食品第j种食品的单位售价为c每种食品含有m种基本营养成分第j种食品每一个单位含第i种营养成分为aij每人每天对第i种营养成分的需要量不少于b试确定在保持营养成分要求条件下的最经济食谱
1 1
1 0
-1 0
3 5
根据单纯形表可知，原问题的最优解为 x * (5,0,0,3) ，最优值为 z* 10 （2） max z x 1 x 2 2x 3
3x1 x 2 x 3 5 s.t.x 1 4x 2 x 3 7 x 1 , x 2 , x 3 0
0 -1 0
0 0 1
0 0 0 8
x6 x7
3
2
0
0
-1
0
1
6
以 x 2 为换入变量， x 6 为换出变量，得
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
w
x2 x7
5 4 5 2 1 4 5 2
0 0 1 0
1 2
-11Βιβλιοθήκη 2-13 4 1 2 -1 4 1 2
0 -1 0 -1
3 4 3 2 1 4 1 2
以 x1 为换入基， x 5 作为换出基有
x1
x2
x3
x4
x5 3 M 2
0
0
1 2 1 2 1 2
3 2 1 2 3 2
-5.5
x2 x1
0 1
1 0
1 2 3 2
1.5 0.5
以 x 4 换入， x 2 换出有
x1
x2
x3
x4
x5
0
-3
-2
0
3 M
-10
x4 x1
0 1
2 3
x1 4x 2 2x 3 8 s.t.3x1 2x 2 6 x 1 , x 2 , x 3 0
解：引入剩余变量 x 4 , x 5 和人工变量 x 6 , x 7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划
max w x 6 x 7
max z ' 2x 1 3x 2 x
max z 10x 1 15x 2 12x 3 Mx 7 5x 1 3x 2 x 3 x 4 9 5x 1 6x 2 15x 3 x 5 15 s.t. 2x1 x 2 x 3 x 6 x 7 5 x j 0, j 1,2,...,7
0 0 0 1 2 2
以 x1 为换入变量， x 7 为换出变量，得
x1
x2
x3
x4
x5
z' x2 x1
0
0
0
1 2
-0.3
1 2
0.1 1.8
0
1
0.6
1
0
-0.4
0.2
-0.4
0.8
从单纯行表中可知，原问题有无限多个最优解，其中一个为 x * (0.8,1.8,0) ，最优值为
z* 7 。
(3)
( 4)
(0,2,1.0,0) ，是非基可行解；
(6)
⑥因为 p 2 , p 4 线性无关，可得基解 x ⑦因为 p 2 , p 5 线性无关，可得基解 x
(0,2,0,1,0) ，是非基可行解； (0,1,0,0,2) ， z 7 1 ；
(7)
⑧因为 p 3 , p 4 线性相关， x 3 , x 4 不能构成基变量； ⑨因为 p 3 , p 5 线性无关，可得基解 x ⑩因为 p 4 , p 5 线性无关，可得基解 x
解：引入松弛变量 x 4 ，剩余变量 x 5 和人工 变量 x 6 ，把原问题规范化为
max z x1 x 2 2x 3 Mx 6 3x1 x 2 x 3 x 4 5 s.t.x 1 4x 2 x 3 x 5 x 6 7 x i 0, i 1,2...6 x1 x2 x3 x4 x5 x6
①因为 p1 , p 2 线性无关，故有
x 1 x 2 1 x 3 x 4 x 1 2x 2 4 x 5
，令非基变量为 x 3 x 4 x 5 0 ，得
x 2 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) ( 2 , 5 ,0,0,0) ，是非基可行解； 3 3 x 5 2 3
（4） max z 10x 1 15x 2 12x 3
5x1 3x 2 x 3 9 5x 1 6x 2 15x 3 15 s.t. 2x1 x 2 x 3 5 x j 0, j 1,2,3
解：引入松弛变量 x 4, x 5 ，剩余变量 x 6, ，人工变量 x 7 ，将原问题化为规范式
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x ③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x ④因为 p1 , p 5 线性无关，可得基解 x ⑤因为 p 2 , p 3 线性相关，得基解 x
(5) ( 2)
(4,0,5,0,0) ，是非基可行解； (4,0,0,5,0) ，是非基可行解； (1,0,0,0,5) ， z 4 4 ；
x6
0
4 3
-1
1
以 x 3 为换入变量， x 6 为换出变量，得
x1
0
x2 19 4M 4
x3
0
x4 1 12 1 4 1 4
x5 5 4
-
x6 5 4M 4 1 3
3
x1 x3
1
5 6 13 4
0
0
1
-
3 4
3 4
4
所以原问题最优解为 x * (3,0,4) ，最优值为 z* 5 。 （3） min z 2x 1 3x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 x 4 1 s.t. x1 2x 2 x 5 4 x i 0, i 1,2,3,4,5
解：易知 x1 的 系数列向 量 p1
1 1 ， x 的 系 数列向 量 p ， x 的系 数列向量 2 2 3 1 2 1 0 1 p 3 ， x 4 的系数列向量 p 4 ， x 5 的系数列向量 p 5 。 0 0 1
（2） min z x1 6x 2
2x1 x 2 1 s.t. x1 x 2 7 x 1 , x 2 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z 3x1 2x 2
x1 x 2 1 s.t.x 1 2x 2 4 x 1 , x 2 0
习题一 1.1 利用图解法求下列线性规划问题： （1） max z x1 x 2
3x1 x 2 2 s.t.x 1 2x 2 5 x 1 , x 2 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分， ， 有图形可知，原问题在 A 点取得最优值， 最优值 z=5
0
9 M 5
0.6
10 3M 5
0.2
2 2M 5
0.2
0
-M
0
x1
1
0
0
0
1.8
x5
0
9
16
1
1
0
0
24
x7
0
-0.2
0.6
-0.4
0
-1
1
1.4
进一步计算知道， x 7 0 ，所以原问题没有可行解。
1.4
设目标函数极大化的线性规划问题的单纯形表如下，表中无人工变量，当待定常数
a1 , a 2 , b1 , c1 , c 2 为何值时，表中的解： （ 1）为唯一最优解， （ 2）为多重解， （ 3）有无界解，
x1 2x 2 3x 3 4x 4 7 s.t.2x1 x 2 x 3 2x 4 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0 1 2 3 解： 易知 x1 的系数列向量 p1 ， x 的系数列向量 p 2 ， x 的系数列向量 p 3 ， 2 3 2 1 1 4 x 4 的系数列向量 p 4 。 2 x 1 2x 2 7 3x 3 4x 4 ① 因为 p1 , p 2 线性无关，故有 ，令非基变量为 x 3 x 4 0 ，得 2x x 3 x 2x 1 2 3 4 x 1 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) ( 1 , 11 ,0,0) 是非基可行解； 3 3 x 11 2 3
(9)
(0,0,1,0,4) ， z 9 6 ； (0,0,0,1,4) ， z10 3 ；
(10)
所以原线性规划的基可行解是 x ( 4) , x (7) , x (9) , x (10) ，最优解是 x (7) ，最优值是 z 1 。
1.3 用单纯形法求解下列线性规划问题； （1） max z 2x1 3x 2
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x
( 2)
③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x (3) ④因为 p 2 , p 3 线性无关，可得基解 x
( 4)
2 11 43 ( ,0, ,0) ， z 2 ； 5 5 5 1 11 ( ,0,0, ) ，是非基可行解； 3 6
x1 3x 2 5 s.t.x 1 x 2 2 x 1 , x 2 0
解：引入松弛变量 x 3 ，剩余变量 x 4 和人工变量 x 5 ，把原问题化为规范式
max z 2x1 3x 2 Mx 5
x1 3x 2 x 3 5 s.t.x1 x 2 x 4 x 5 2 ，其中 M 无限大， x i 0, i 1,2...5
构造初始单纯形表并计算如下：
x1
x2
x3
x4
x5
2+M
3+M 3 1
0 1 0
-M 0 -1
0 0 1 5 2
x3
1 1
x5
以 x 2 作为换入基， x 3 作为换成基，计算得
x1 2M 3
x2
x3 M 3
x4
x5
1+
0 1 0
-1-
-M 0 -1
0 0 1
x2
1 3
1 3
5 3
x5
2 3
1 3
1 3
3
x1 4x 2 2x 3 x 4 x 6 8 s.t.3x1 2x 2 x 5 x 7 6 x i 0, i 1,2...7
构造初始单纯形表，并计算
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
w
-2 4 1
-3 6 4
-1 2 2
0 -1 -1
解：如图 所示，可行域为图 中阴影部 分，易得 原线性规 划问题 为无界 解。
（4） min z 2x1 5x 2
x1 2x 2 6 s.t.x 1 x 2 2 x 1 , x 2 0
解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。 （1） min z 5x 1 2x 2 3x 3 6x 4
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z
x4 x5 x7
10+2M 5
15+M 3
12+M 1
0 1
0 0
-M 0
0 0 9
-5
6
15
0
1
0
0
15
2
1
1
0
0
-1
1
5
以 x1 为换入变量， x 4 为换出变量
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z
(0,2,1,0) ， z 4 1 ；
⑤因为 p 2 , p 4 线性相关， x 2 , x 4 不能构成基变量； ⑥因为 p 3 , p 4 线性无关，可得基解 x
(6)
(0,0,1,1) ， z 6 3 ；
所以 x ( 2) , x (4) , x (6) 是原问题的基可行解， x (6) 是最优解，最优值是 z 3 。 （2） max z x 1 x 2 2x 3 x 4 x 5
（4）为退化解。
x1 c1 x2 x5 x6 a1
1+M
1-4M 1 -4
-2+M -1 1
0 1 0
-M 0 -1
0 0 1 5 7
x4 x6
3 1
以 x1 作为换入基， x 4 作为换出基有
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
2 13M 3 3 1 3 13 3
4M 5 3 3
-1
1 M 3 1 3 1 3
-M
0
x1
1
0
0
3
5 3 16 3
maxz18y600200600200600时即四月份进货400件售货600件五月份进货500件售货600件六月份进货600件售货60016设市场上可买到n种不同的食品第j种食品的单位售价为c每种食品含有m种基本营养成分第j种食品每一个单位含第i种营养成分为aij每人每天对第i种营养成分的需要量不少于b试确定在保持营养成分要求条件下的最经济食谱
1 1
1 0
-1 0
3 5
根据单纯形表可知，原问题的最优解为 x * (5,0,0,3) ，最优值为 z* 10 （2） max z x 1 x 2 2x 3
3x1 x 2 x 3 5 s.t.x 1 4x 2 x 3 7 x 1 , x 2 , x 3 0
0 -1 0
0 0 1
0 0 0 8
x6 x7
3
2
0
0
-1
0
1
6
以 x 2 为换入变量， x 6 为换出变量，得
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
w
x2 x7
5 4 5 2 1 4 5 2
0 0 1 0
1 2
-11Βιβλιοθήκη 2-13 4 1 2 -1 4 1 2
0 -1 0 -1
3 4 3 2 1 4 1 2
以 x1 为换入基， x 5 作为换出基有
x1
x2
x3
x4
x5 3 M 2
0
0
1 2 1 2 1 2
3 2 1 2 3 2
-5.5
x2 x1
0 1
1 0
1 2 3 2
1.5 0.5
以 x 4 换入， x 2 换出有
x1
x2
x3
x4
x5
0
-3
-2
0
3 M
-10
x4 x1
0 1
2 3
x1 4x 2 2x 3 8 s.t.3x1 2x 2 6 x 1 , x 2 , x 3 0
解：引入剩余变量 x 4 , x 5 和人工变量 x 6 , x 7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划
max w x 6 x 7
max z ' 2x 1 3x 2 x
max z 10x 1 15x 2 12x 3 Mx 7 5x 1 3x 2 x 3 x 4 9 5x 1 6x 2 15x 3 x 5 15 s.t. 2x1 x 2 x 3 x 6 x 7 5 x j 0, j 1,2,...,7
0 0 0 1 2 2
以 x1 为换入变量， x 7 为换出变量，得
x1
x2
x3
x4
x5
z' x2 x1
0
0
0
1 2
-0.3
1 2
0.1 1.8
0
1
0.6
1
0
-0.4
0.2
-0.4
0.8
从单纯行表中可知，原问题有无限多个最优解，其中一个为 x * (0.8,1.8,0) ，最优值为
z* 7 。
(3)
( 4)
(0,2,1.0,0) ，是非基可行解；
(6)
⑥因为 p 2 , p 4 线性无关，可得基解 x ⑦因为 p 2 , p 5 线性无关，可得基解 x
(0,2,0,1,0) ，是非基可行解； (0,1,0,0,2) ， z 7 1 ；
(7)
⑧因为 p 3 , p 4 线性相关， x 3 , x 4 不能构成基变量； ⑨因为 p 3 , p 5 线性无关，可得基解 x ⑩因为 p 4 , p 5 线性无关，可得基解 x
解：引入松弛变量 x 4 ，剩余变量 x 5 和人工 变量 x 6 ，把原问题规范化为
max z x1 x 2 2x 3 Mx 6 3x1 x 2 x 3 x 4 5 s.t.x 1 4x 2 x 3 x 5 x 6 7 x i 0, i 1,2...6 x1 x2 x3 x4 x5 x6
①因为 p1 , p 2 线性无关，故有
x 1 x 2 1 x 3 x 4 x 1 2x 2 4 x 5
，令非基变量为 x 3 x 4 x 5 0 ，得
x 2 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) ( 2 , 5 ,0,0,0) ，是非基可行解； 3 3 x 5 2 3
（4） max z 10x 1 15x 2 12x 3
5x1 3x 2 x 3 9 5x 1 6x 2 15x 3 15 s.t. 2x1 x 2 x 3 5 x j 0, j 1,2,3
解：引入松弛变量 x 4, x 5 ，剩余变量 x 6, ，人工变量 x 7 ，将原问题化为规范式
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x ③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x ④因为 p1 , p 5 线性无关，可得基解 x ⑤因为 p 2 , p 3 线性相关，得基解 x
(5) ( 2)
(4,0,5,0,0) ，是非基可行解； (4,0,0,5,0) ，是非基可行解； (1,0,0,0,5) ， z 4 4 ；
x6
0
4 3
-1
1
以 x 3 为换入变量， x 6 为换出变量，得
x1
0
x2 19 4M 4
x3
0
x4 1 12 1 4 1 4
x5 5 4
-
x6 5 4M 4 1 3
3
x1 x3
1
5 6 13 4
0
0
1
-
3 4
3 4
4
所以原问题最优解为 x * (3,0,4) ，最优值为 z* 5 。 （3） min z 2x 1 3x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 x 4 1 s.t. x1 2x 2 x 5 4 x i 0, i 1,2,3,4,5
解：易知 x1 的 系数列向 量 p1
1 1 ， x 的 系 数列向 量 p ， x 的系 数列向量 2 2 3 1 2 1 0 1 p 3 ， x 4 的系数列向量 p 4 ， x 5 的系数列向量 p 5 。 0 0 1
（2） min z x1 6x 2
2x1 x 2 1 s.t. x1 x 2 7 x 1 , x 2 0
解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点 A 处取得最优值，最优值 z=-6.
（3） max z 3x1 2x 2
x1 x 2 1 s.t.x 1 2x 2 4 x 1 , x 2 0
习题一 1.1 利用图解法求下列线性规划问题： （1） max z x1 x 2
3x1 x 2 2 s.t.x 1 2x 2 5 x 1 , x 2 0
解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分， ， 有图形可知，原问题在 A 点取得最优值， 最优值 z=5
0
9 M 5
0.6
10 3M 5
0.2
2 2M 5
0.2
0
-M
0
x1
1
0
0
0
1.8
x5
0
9
16
1
1
0
0
24
x7
0
-0.2
0.6
-0.4
0
-1
1
1.4
进一步计算知道， x 7 0 ，所以原问题没有可行解。
1.4
设目标函数极大化的线性规划问题的单纯形表如下，表中无人工变量，当待定常数
a1 , a 2 , b1 , c1 , c 2 为何值时，表中的解： （ 1）为唯一最优解， （ 2）为多重解， （ 3）有无界解，
x1 2x 2 3x 3 4x 4 7 s.t.2x1 x 2 x 3 2x 4 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0 1 2 3 解： 易知 x1 的系数列向量 p1 ， x 的系数列向量 p 2 ， x 的系数列向量 p 3 ， 2 3 2 1 1 4 x 4 的系数列向量 p 4 。 2 x 1 2x 2 7 3x 3 4x 4 ① 因为 p1 , p 2 线性无关，故有 ，令非基变量为 x 3 x 4 0 ，得 2x x 3 x 2x 1 2 3 4 x 1 1 3 ，所以得到一个基解 x (1) ( 1 , 11 ,0,0) 是非基可行解； 3 3 x 11 2 3
(9)
(0,0,1,0,4) ， z 9 6 ； (0,0,0,1,4) ， z10 3 ；
(10)
所以原线性规划的基可行解是 x ( 4) , x (7) , x (9) , x (10) ，最优解是 x (7) ，最优值是 z 1 。
1.3 用单纯形法求解下列线性规划问题； （1） max z 2x1 3x 2
②因为 p1 , p 3 线性无关，可得基解 x
( 2)
③因为 p1 , p 4 线性无关，可得基解 x (3) ④因为 p 2 , p 3 线性无关，可得基解 x
( 4)
2 11 43 ( ,0, ,0) ， z 2 ； 5 5 5 1 11 ( ,0,0, ) ，是非基可行解； 3 6
x1 3x 2 5 s.t.x 1 x 2 2 x 1 , x 2 0
解：引入松弛变量 x 3 ，剩余变量 x 4 和人工变量 x 5 ，把原问题化为规范式
max z 2x1 3x 2 Mx 5
x1 3x 2 x 3 5 s.t.x1 x 2 x 4 x 5 2 ，其中 M 无限大， x i 0, i 1,2...5
构造初始单纯形表并计算如下：
x1
x2
x3
x4
x5
2+M
3+M 3 1
0 1 0
-M 0 -1
0 0 1 5 2
x3
1 1
x5
以 x 2 作为换入基， x 3 作为换成基，计算得
x1 2M 3
x2
x3 M 3
x4
x5
1+
0 1 0
-1-
-M 0 -1
0 0 1
x2
1 3
1 3
5 3
x5
2 3
1 3
1 3
3
x1 4x 2 2x 3 x 4 x 6 8 s.t.3x1 2x 2 x 5 x 7 6 x i 0, i 1,2...7
构造初始单纯形表，并计算
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
w
-2 4 1
-3 6 4
-1 2 2
0 -1 -1
解：如图 所示，可行域为图 中阴影部 分，易得 原线性规 划问题 为无界 解。
（4） min z 2x1 5x 2
x1 2x 2 6 s.t.x 1 x 2 2 x 1 , x 2 0
解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。 （1） min z 5x 1 2x 2 3x 3 6x 4