高考数学百所名校备考(新课标)模拟试题

2012 年高考数学百所名校备考( 新课标)
模拟试题08
【重组报告】试题紧扣2012 年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识
和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了
基础知识与数学思想方法的考查；第15、16、17、18、19、20 题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能
力的考查。

试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，
非常适合考前训练。

一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
3 x
1. ( 山东省青岛市2012 届高三上学期期末检测理科1) 命题“x R，x 2 1 0 ”的否定是（）
3 x 3 x
A．x R，x 2 1 0 B．不存在x R，x 2 1 0
3 x 3 x
C．x R, x 2 1 0 D．x R, x 2 1 0
【答案】 D
【解析】根据含有量词的命题的否定规律知D正确.
2．( 福建省泉州市2012 年3 月普通高中毕业班质量检查理科2) 已知集合 A x 1 x 3 ，
B x 1 log x 2 ，则AI B等于（）
2
A. x 0 x 3
B. x 2 x 3
C. x1x 3
D. x 1 x 4
【答案】 B
【解析】B x x x x ，AI B x 2 x 3 .
1 log
2 2 4
2
3. ( 湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科1) 复数z a bi a,b R 的虚部记作
Im z b，则I m
1
2 i
（）
A．1
3
B ．
2
5
C ．
1
3
D ．
1
5
【解析】因为 1 2
2 i 5 i，所以Im 1
2 i
1
5
，故选 D.
4. ( 北京市东城区2012 届高三上学期期末考试文4) 下列命题中正确的是（）
（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面
5. ( 山东省临沂市2012 年 3 月高三一模文科10) 如图，ABC 中，o
C 90 ，且AC BC 3，点M满足BM 2MA，则C M CB （）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
u u u u r u u u r u u u r uu u u r uu u r uu u r u u u r u u u r uu u r u u u r u u u r u u u r
u u u r
2 2 2 2 1 2
CM CB CB BM CB CB CB BA CB CB CA CB CB
3 3 3
3.
6.( 北京市西城区2012 年1 月高三期末考试理科) 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）
（A）3 （B） 6 （C）10 （D）15
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【解析】执行程序框图可得： i 1,S 1; i 2, S 3;i 3, S 6;i 4,S 10; i 5,
程序结束，输出
S 10.
7. ( 浙江省宁波市鄞州区 2012 年 3 月高考适应性考试文科
8) 先后掷两次正方体骰子（骰子
的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为
m,n ，则 mn 是
奇数的概率是（ ）
A. 1 2
B. 1 3
C. 1 4 D . 1
6
【答案】 C
【解析】本题主要考查概率中古典概型的计算。

先后掷两次正方体骰子总共有 36 种可能 , 要使 mn 是奇数 , 则m,n 都是奇数 , 因此有以下几
种 可 能 :
1, 1 , 1, 3 , 1, 5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5
共 9
种 可 能 . 因 此
9 1
P
.
36
4
8. (2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科
如图， PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， P O 交
圆
O 于 B ,C 两点， PA 3, PB 1，则 ABC =( )
（A ）70 （B ）60 （C ）45 （D ）30 【答案】 B
【解析】由切割线定理得：
2
PA PB PC ，因为 PA
3, PB 1，所以解得 PC 3， 即 BC=2，OA=1，OP=2，因为 OA ⊥PA ，所以 P 30
o
， AOB 60o ，因为 OA=O ，B 所以 ABC
=60 ，故选 B.
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第II 卷（共110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分。

9. ( 河南省郑州市2012 届高三第一次质量预测文4) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱，故
S表1
2
2 1 2 2.
10.( 福建省泉州市2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科11) 已知等差数列{ }
a 中,
n
a5 1, a3 a2 2 , 则S11 .
【答案】33
【解析】 d 2,a 3,
6
11 a a
1 11
S 1 1a 33.
11 6
2
11. ( 北京市东城区2012 年1 月高三考试文科）已知函数 f (x)
3x, x 0,
f ( x 1), x 0,
那么
5
f ( )的值为．
6
1
【答案】
2
【解析】
5 5 1 1 1
f ( ) f ( 1) f ( ) 3( )
6 6 6 6 2
y 0,
12. (2012 年3 月北京市朝阳区高三一模文科) 设x,y满足约束条件
y x, 则目标
2x y 3 0,
函数z 2x y 的最大值是；使z 取得最大值时的点( x, y) 的坐标是.
【答案】3;
3
2
,0
【解析】画出平面区域可知, 当直线过点
3
( ,0)
2
时, z 2x y取得最大值 3.
13．(2012 年3 月北京市丰台区高三一模文科) 已知函数
3
f (x) 1+2 x+ (x0)
x
在x=a 时
取到最小值，则a=________．
【答案】
6 2
3 【解析】因为
2x+
2 6
x
, 当且仅当
2x
3 x
, 即 6 x 时, f (x) 取得最小值1 2 6 , 2
故 a = 6 2
.
14. ( 江苏省淮阴中学、 海门中学、 天一中学 2012 届高三联考 14)在平面直角坐标系
xoy 中，
2
抛物线y 2x 的焦点为F 设M 是抛物线上的动点，则
M O MF
的最大值为 .
【解析】焦点 F
1 2
,0
1
2
2
，设M m,n ，则
n
m ， m 0，设M 到准线x
的距离
2
等于 d ，则
= = = = =
= =
．令
1 m- =t 4
， t> 1 4 ，则
=
=
≤
=
（当且仅当
t=
3 4
时，等号成立）． 故 的最大值为
.
三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过
程 . 15.（2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模） ( 本小题满
分 13 分) 已知函数
π
f (x) cos( x ) . 4
（Ⅰ）若
3
f ( )
，其中
5
π 3π , 4
4
求
sin
π 4
的值； （II ）设g (x) f x f x ，求函数 g( x) 在区间
2
π π , 6 3 上的最大值
和最小值.
π 3
【解析】 （Ⅰ）因为f ( )
cos( )
，且
4
5
π π ，
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 分
4
2
所以
sin
π 4 4
5
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分.
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（II ）
π
g (x) f x f x =
2
ππ
cos( x) cos( x ) =
4 4
ππ
sin( x) cos( x )
4 4
= 1π
sin( 2x) =
2 2
1
2
cos 2x . ⋯⋯⋯10 分
当
ππ
x ,时，
6 3
π2π
2x , .
3 3
则当x 0时，g (x) 的最大值为1
2 ；当
π
x时，g (x) 的最小值为
3
1
4
. ⋯⋯13 分
16．（理科）（2012 年3 月北京市东城区示范校高三联考理科）（本小题满分13 分）某中学选
派40 名同学参加北京市高中生技术
设计
创意大赛
的培训
，他们
参加培训
的次
数统计如表所示：
培训
次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 （1）从这
40 人中任意选
3名学生，求这
3名同学中至少有 2 名同学参加培训
次数恰好相等的概率；
（2）从40 人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX .
则随机变量X 的分布列：
X 0 1 2
P 61 75 5
156 156 39 精品文档
所以的数学期望
X EX
61 75 5 115
0 1 2 .
156 156 39 156 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分
16. （文科）（2012 年3 月北京市东城区示范校高三联考文科）（本小题满分13 分）
《国家中长
期教育改革和发
展规
划纲
要》下设
A，B，C 三个工作组，其分别有组员36，
36，18 人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分
层抽样的方法从A，B ，C 三个工作小组抽取 5 名工作人员来完成.
（Ⅰ）求从三个工作组
分别
抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见
结束后，若从抽取的 5 名工作人员
中再随机抽取 2 名进
行汇
总整理，求这
两名工作人员
没有A组工作人员的概率.
从C组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取 2 名，其所以可能的结果是：
(A1, A2 ),( A1, B1 ), (A1 ,B2 ),( A1, C1 ), (A2 ,B1),( A2, B2 ),( A2 ,C1 ), (B1, B2), (B1 ,C1 ),
(B ,C ) , 共有10 种，--------------------------9 分
2 1
其中没有A组工作人员的结果是：(B1,B2 ),( B1,C1),( B2 ,C1) 有3 种，------11 分所以从抽取的 5 名工作人员
中再随机抽取 2 名进
行汇
总整理，此时
这两名工作人员
中
没有A组
工作人员
的概率
3
P 。

-------------------------13 分
10
17．（理科）（2012 年4 月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14 分）在四棱锥
P- ABCD 中，AB // CD ，AB ^ AD ，AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 ，
PA^ 平面ABCD ，PA = 4.
（Ⅰ）设平面PAB I 平面PCD m ，求证：CD // m ；
（Ⅱ）求证：BD 平面PAC ；
（Ⅲ）设
点Q为线段PB 上一点，且直线Q C 与平面PAC 所成角的正弦值为 3 3 ，求P Q
PB 精品文档
的值．
【解析】（Ⅰ）证
明：因为
A B // CD ，CD 平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以CD // 平面PAB . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
因为
C D 平面PCD，平面PAB I 平面PCD m ，
所以CD // m . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）证
明：因为
A P ^ 平面ABCD，A
B ^ AD ，所以以A为坐标原点，AB, AD, AP 所
在的直线
分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0) ，P (0,0,4) ，D (0, 2 2,0) ，C (2, 2 2,0) . ⋯⋯⋯⋯ 5 分
u u u r
所以BD ( 4,2 2,0)
u u u r
，AC (2, 2 2,0) ，
uu u r
A P (0,0, 4) ，
u u u r u u u r
所以BD AC ( 4) 2 2 2 2 2 0 0 0 ，
uu u r u u u r
BD AP ( 4) 0 2 2 0 0 4 0 .
所以BD AC ，BD AP .
因为A PI AC A，AC 平面PAC ，
PA 平面PAC，
所以BD 平面PAC . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
PQ
（Ⅲ）解：设
=（其中0＃1），Q(x, y, z) ，直线Q C 与平面PAC所成角为.
PB
u u u r u u u r
所以PQ = PB
.
所以(x, y, z- 4) = (4,0, - 4) .
所以ìx= 4 ,
?
?
?
y= 0, 即Q (4 ,0, - 4 + 4) . í
?
? = - +
?z 4 4,
?
u u u r
所以CQ = (4 - 2,- 2 2,- 4 + 4) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
u u u r
由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为B D ( 4,2 2,0) .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
u u u r u u u r
因为
s in cos ,
= < CQ BD > = u u u r u u u r CQ ×BD u u u r
u u u r，CQ ×BD
所以
3 4(
4 2) 8
3 2 6 (
4 2) 8 ( 4 4)
2 2
. 解得
7
12
[0,1] .
所以
P Q
PB
7
= . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分12
17．（文科）（2012 年4 月北京市海淀区高三一模文科）（本小题满分14 分）
已知菱形ABCD中，AB=4，BAD 60
o（如图
1所示），将菱形ABCD沿对角线B D
翻折，使点 C 翻折到点 C 的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，D C1，BC1 的中点．
1
（Ⅰ）证
明：BD // 平面EMF ； D
C
C1 （Ⅱ）证
明：AC BD ；
1
F
M
（Ⅲ）当EF AB时，求线段AC
1 的长．【解析】证
明：（Ⅰ）因为
点 F , M
分别是
A B
C1D, C1B 的中点，
图1
D
A B
E
图2
所以FM / /BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又FM 平面EMF ，BD 平面EMF ,
所以BD / / 平面EMF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O为A C, BD 的交点,
则A C BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分所以在三棱锥
C- ABD 中，
1
C1
F C1O BD, AO BD .
M
又C1O I AO O,
D
O
A B
E
所以BD 平面AOC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
1
又A C 平面AOC1，
1
所以BD A C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
1
所以AB C E ．
1
因为
A E = EB, A
B = 4，B
C = AB ，
1
所以A C1 BC1 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．（2012 年北京市石景山区高三一模）（本小题满分13 分）
已知函数 2
f (x) x 2a ln x .
（Ⅰ）若函数 f (x) 的图象在(2, f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若函数
2
g (x) f ( x)
x
在[1,2] 上是减函数，求实数a的取值范围.
【解析】（Ⅰ） f '(x )2x
2
2a 2x2a
x x
⋯⋯⋯⋯ 1 分
由已知 f '(2) 1，解得a 3. ⋯⋯⋯⋯ 3 分（II ）函数 f (x) 的定义域为(0, ) .
（1）当a 0时, f '( x) 0 ， f (x) 的单调递增区间为(0, )；⋯⋯ 5 分
（2）当a 0时f'( x) 2(x a)(x a)
x .
当x变化时， f '( x), f (x) 的变化情况如下：
x (0, a) a ( a,)
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f x - 0 +
'( )
f (x) 极小值
由上表可知，函数 f (x) 的单调递减区间是(0, a)；
单调递增区间是( a,) . ⋯⋯⋯⋯8 分
（II ）由
2
2
g(x) x 2a ln x
x
得
2 2a
g '( x) 2x
2
x x
，⋯⋯⋯⋯9 分
由已知函数g(x)为[1,2] 上的单调减函数，则g '( x) 0在[1,2] 上恒成立，
即2 2a
2x 0
2
x x
在[1,2] 上恒成立.
即
1
2
a x
x
在[1,2] 上恒成立.
⋯⋯⋯⋯11 分
令
1
2
h(x) x
x
，在[1,2] 上
1 1
h '(x) 2x ( 2x) 0
2 2
x x
，
所以h(x) 在[1,2]为减函数.
7 h(x) h(2) , min
2
所以7
a . ⋯⋯⋯⋯13 分
2
19. (2012 年3 月北京市朝阳区高三一模)（本题满分14 分）
2 2
x y
已知椭
圆C : 1(a b 0)
2 2
a b
的两个焦点分别为F1( 2,0) ，F2( 2,0) ，点
M (1,0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭
圆C 的方程；
（Ⅱ）过
点M (1,0) 的直线l与椭圆C 相交于 A ，B 两点,设点N (3,2) ，记直线A N ，BN
的斜率分别
为k ，k2 ，求证：k1 k2为定值.
1
【解析】（Ⅰ）依题
意，由已知得 c 2 ， 2 2 2
a b ，由已知易得 b OM 1,
解得a 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
2
x 则椭圆的方程为
3
2 1
y . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
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x (II)
①当直线l 的斜率不存在时，由
2
x 3
1,
2
y
1
解得
6
x 1,y
.
3
6
设A(1, )，
3
6 6 2
2
6
3
3 2
B(1,
)，则k 1 k 2为定值. ⋯ ⋯ ⋯ 5 分 3 2 2
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：
y k( x 1) .
将 y
k(x 1) 代入
2
x 3
2
1
y
整理化简，得
2 2 2 2
(3k 1)x 6k x 3k 3 0. ⋯ 6 分
依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设
A(x , y ) ， B(x 2 , y 2) ，
1
1
2
6k
则x x
1
2
2
3k 1 ，
2
3k
3
x x 1 2
2
3k 1
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
又 y 1
k (x 1 1)， y 2
k( x 2
1)，
2 y
2 y
所以
1
2
k
k
1
2
3 x
3 x
1
2
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
(2 y )(3 x ) (2 y )(3 x )
1
2
2
1
(3 x )(3 x )
1
2
[2 k(x 1)](3 x ) [2 k(x 1)](3 x )
1
2
2
1
9 3(x
x ) x x
1
2
1 2
12 2( x
x ) k[2 x x
4( x
x ) 6]
1
2
1 2
1 2
9 3(x
x ) x x
1
2
1 2 2
2
3k
3
6k
12 2( x
x ) k[2
4 6]
1
2
2
2
3k 1
3k 1
2
2
6k
3k
3 9 3
2
2
3k
1 3k
1
2
12(2 k 1)
2
6(2 k
1)
2.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 13 分
综上得k k为常数 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分
1 2
20. （北京市师大附中2012 届高三下学期开学检测）（本题满分13 分）
正数列{a} 的前n项和S n满足：2S n a n a n 1 1，a1 a 0。

n
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（1）求证：a n2a n是一个定值；
（2）若数列{}
a是一个单调递增数列，求a的取值范围；
n
（3）若S是一个整数，求符合条件的自然数a。

2013
1
a2a2解得1a12
a
1
（3）解：a a
a2012,20132012
2012
a
S2013(a1a3a2013)(a2a4a2012)
11
(22012)
(a2012a)1006
a a
1007100620260841007a
22a S是一个整数，所以a1,2,503,1006一共4个对一个得1分，合计4分2013
另解：
2S2013a2013a20041(2012a)(20141
a
)1
S
2013a
2013
a
2004
1100720121007a
1006
a
.。