山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学 3-1-2-2 两角和与差的正切巩固练习 新人教A版必修4

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学 3-1-2-2 两角
和与差的正切巩固练习 新人教A 版必修4
[答案] B
[解析] 由已知得tan α＝4，tan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3＋41－3×4＝－7
11.
2．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值为( ) A ．－ 3 B. 3 C ．3 D.33
[答案] B
[解析] 原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝ 3.
3.
1＋tan15°
1－tan15°
的值为( )
A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 3 [答案] C [解析]
1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°
1－tan45°·tan15°
＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝ 3.
4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( ) A.π8
B.π4
C.3
8π D.π2
[答案] C
[解析] ∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan α＋β＋tan α－β
1－tan α＋βtan α－β
＝
3＋2
1－3×2
＝－1，
又∵α为锐角，∴α＝3π
8
.
5．设tan α、tan β是方程x 2
－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
[答案] A
[解析] tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3
1－2＝
－3
6．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝1
3，则tan(α－β)( )
A ．－1
7
B ．1 C.17 D.15 [答案] C
[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12－131＋12×13
＝1
7
.
7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案] 1
7
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝
tan β－α－tan α1＋tan β－α·tan α＝3－21＋3×2＝1
7
.
8．tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°＝________. [答案] － 3
[解析] ∵tan70°＋tan50° ＝tan120°(1－tan50°·tan70°) ＝－3＋3tan50°·t an70°
∴原式＝－3＋3tan50°·tan70°－3tan50°·tan70° ＝－ 3.
9．已知sin α＝－31010且α是第三象限角，求tan(α－π
4)的值．
[解析] ∵sin α＝－310
10且α是第三象限角，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－1－－
310
10
2
＝－
1010
. ∴tan α＝sin α
cos α
＝3.
∴tan(α－π4)＝tan α－tan
π
41＋tan α·ta n
π4
＝3－11＋3×1＝1
2
.
11．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，且α、β∈(0，π)．
(1)求tan α的值； (2)求2α－β的值．
[解析] (1)tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－
1
71＋114＝13
. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝
tan α－β＋tan α
1－tan α－βtan α
＝1.
∵tan β＝－17<0，∴π
2<β<π.
又∵tan α＝13>0，∴0<α<π
2.
∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π
2.
∴2α－β∈(－π，0)． ∴2α－β＝－3π
4
.
12．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝1
4，则tan2α＝( )
A.1
6
B.2213
C.
322
D.
1318
[答案] D
[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝25＋141－25×14
＝13
18
. 13、在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－
22
B.22
C.12 D ．－12
[答案] B
[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得
tan A ＋tan B
1－tan A ·tan B
＝－1，即tan(A ＋B )＝
－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝2
2
.
14．已知tan α、tan β是方程x 2
＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，
则α＋β的值为( )
A.π
3
B ．－
2π
3
C.π3或－2π3
D ．－π3或2π3
[答案] B
[解析] 由韦达定理得
tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33
1－4＝ 3
又－π2<α<π2，－π2<β<π
2，且tan α<0，tan β<0
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.
15、已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π
4
)＝________. [答案] －3
[解析] ∵x ∈(π2，32π)，sin x ＝55，∴x ∈(π
2，π)
∴cos x ＝－255，∴tan x ＝－1
2
tan(x －π4)＝tan x －1
1＋tan x ＝－3
21－1
2
＝－3.
16．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. [答案] 1
7
[解析] tan
α＋β
2
＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛
⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2
＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－131－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝17.
17．如果tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π
4)＝________.
[答案]
3
22
[解析] tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π
4)]
＝tan α＋β－tan β－π41＋tan α＋βtan β－π4＝25－
1
41＋25×
14
＝3
22
.
18．已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小． [解析] 依题意：tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＝－3，
即tan(A ＋B )＝－3，又0<A ＋B <π， ∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－A －B ＝π
3
.
19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为
210、25
5
.
求：(1)tan(α＋β)的值； (2)α＋2β的值． [解析] 由已知得cos α＝210，c os β＝2
5
5. 又α，β是锐角．
则sin α＝1－cos 2
α＝7102，
sin β＝1－cos 2
β＝
55
. 所以tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝1
2.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
7＋12
1－7×
12
＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝
tan α＋β＋tan β
1－tan α＋βtan β
＝－3＋
12
1＋3×
12
＝－1，
又α、 β是锐角，则0<α＋2β<3π
2，
所以α＋2β＝3π
4
.
20．已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.
(1)求角A ；
(2)若tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋B ＝－3，求tan C .
[解析] ∵(1)m ·n ＝1，
∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1,2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1. ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2.
∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π
6.
∴A －π6＝π6，即A ＝π
3
.
(2)由t an ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝
tan B ＋11－tan B ＝－3， 解得tan B ＝2.
又A ＝π
3
，∴tan A ＝ 3.
∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2＋31－23＝8＋5311.。