山东省桓台第二中学高三数学下学期开学考试试题文

山东省桓台第二中学高三数学下学期开学考试试题文
文 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“A B ⊆”是“3a =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若,m n 为实数，且()()2243mi n i i +-=--，则m
n
= A ．1 B ．1- C ．2
D ．2-
3．已知函数()2x
f x =，记()()0.52(lo
g 3),log 5,0a f b f c f === ，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 4．已知θ为锐角，且3cos 123πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则5cos 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
A ．
624+ B ．12 C ．63 D ．6
3
-
5．如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且
2
ACB π
∠=
，侧面PAB ⊥底面ABC ，2AB PA PB ===.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸
,,x y z 分别是
A ．3,1,2
B ．3,1,1
C ．2,1,2
D ．2,1,1
6．在区间[11]-，
上随机取一个数k ，使直线(2)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为 A ．
1
2
B ．13
C ．
32
D ．
33
7． 设实数,x y 满足约束条件1140x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，若对于任意[]0,1b ∈，不等式ax by b ->恒成立，则
实数a 的取值范围是
A ．2(,4)3
B ．2(,)3
+∞ C ．(2,)+∞ D ．(4,)+∞
8．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=
A ．43
B ．53
C ．
15
8
D ．2 9．已知点1F 是抛物线2
:4C x y =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物
线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以12F F ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A ．
62
2
- B ．21- C ．21+ D ．
62
2
+ 10．已知2a >，函数()()log 3 0()1 3 0a x x x x f x x x a +->⎧⎪=⎨⎛⎫
-+≤⎪ ⎪⎝⎭
⎩ ，若()f x 有两个零点分别为1x ，2x ，则 A ．2a ∃>，120x x += B ．2a ∃>，121x x += C ．2a ∀>，122x x -= D ．2a ∀>，123x x -=
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值 ． 12．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得图
B
M
C D A
3 1 3 4
甲品牌
3 1 3 2 2 7 3 1 5 3
4 1 2 4
5 5 2 3
6 1
乙品牌
象关于点
3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω的最小值是 ． 13．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________．
14．已知球的直径4PC =，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒ 则棱锥P ABC -的体积为 ．
15．已知圆C 的方程()2
2
11x y -+=，
P 是椭圆22
143
x y +=上一点，过P 作圆的两条切线，切点为,A B ，则PA PB ⋅的取值范围
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本题满分12分）
已知),cos sin (cos )cos sin sin 32(x x x b x x x a -=+=，，， 函数b a x f
⋅=)(．
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递减区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，c
a
b A 22cos -=
， 若0)(>-m A f 恒成立，求实数m 的取值范围．
17．（本题满分12分）某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期100天的营销活动，为调查这100天的日销售情况，随机抽取了10天的日销售量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图．若日销量不低于50件，则称当日为“畅销日”． (Ⅰ)现从甲品牌日销量大于40且小于60的样本中任取两天，求这两天都是“畅销日”的概率；
(Ⅱ)用抽取的样本估计这100天的销售情况，请完成这两种品牌100天销量的22⨯列联表，并判断
是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
畅销日天数
非畅销日天数
合计 甲品牌 乙品牌 合计
18．（本题满分12分）
直棱柱1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，222AB AD CD ===．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 和平面1ACB 都平行？证明你的结论．
19．（本题满分12分）
已知椭圆C 方程为12
22=+y a
x ，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为22.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线与椭圆C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围． 20．（本题满分13分）
()20P K k ≥ 0.050
0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
已知二次函数212
()33
f x x x =
+．数列{}n a 的前n 项和为n S ， 点(,)n n S *()n N ∈在二次函数()y f x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1cos[(1)]n n n b a a n π+=+*()n N ∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 若2n T tn ≥对*
n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）在数列{}n a 中是否存在这样一些项：231,,,
,,
k n n n n a a a a ，这些项都能够
构成以1a 为首项，*(05,)q q q N <<∈为公比的等比数列{}k n a *()k N ∈？若存在，写出k n 关于k 的表达式；若不存在，说明理由．
21．（本题满分14分） 已知函数()x
ex f x e =
． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若直线y ax b =+是函数()f x 的切线，判断a b -是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．
（Ⅲ）求方程[()]f f x x =的所有解．
高三寒假开学考试（文科） 数学试题参考答案及评分说明
一、选择题： BACCB DDBCD 二、填空题：
11．17；12．2；13．9；14．
43
3
；15．56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：（Ⅰ）函数)cos )(sin cos (sin cos sin 32)(x x x x x x b a x f -++=⋅=
2223sin cos sin cos 3sin 2cos 22sin(2)6
x x x x x x x π
=+-=-=- ………3分
由23k 2622k 2πππππ+≤-≤+x 可得35k 2232k 2π
πππ+≤≤+x ．
65k 3
k πππ
π+
≤≤+
x ，所以函数)(x f 的单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++65,3ππππk k …6分 （Ⅱ）（法一）由 bc
a c
b
c a b A 222cos 2
22-+=
-= ． 可得，22222a c b ab b -+=-即ab c a b =-+2
2
2
．
解得,21cos =
C 即3π
=C …………………………………………………9分 因为,320π<<A 所以67626πππ<-<-A ，1)6
2(sin 21≤-<-πA ……10分 因为0)62(sin 2)(>--
=-m A m A f π
恒成立，即m A >-)6
2(sin 2π
恒成立
所以1-≤m ． ………………………………………12分
（法二）由c
a
b A 22cos -=可得A C A A B
c A sin )sin(2sin sin 2sin cos 2-+=-= 即0sin cos sin 2=-A C A ，解得,21cos =C 即3
π
=C …………9分
因为,320π<<A 所以67626πππ<-<-A ，1)6
2(sin 21≤-<-πA ………10分 因为0)62(sin 2)(>--
=-m A m A f π
恒成立，则m A >-)6
2(sin 2π
恒成立
即1-≤m ． ………………………………………12分
17．解：(Ⅰ)由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天，分别记为123,,a a a ，
非畅销日有三天，分别记为 123,,b b b . ………………………1分 从中任取2天的所有结果有：
{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ， {}12,a b ，{}13,a b ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}23,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}33,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}23,b b ，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. ………………………………6分 其中两天都是畅销日的结果有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a 共3个. 所以两天都是畅销日的概率31
155
P ==. ……………………………7分 (Ⅱ)
畅销日天数
非畅销日天数
合计
甲品牌 50 50 100
乙品牌 30 70 100 合计
80
120
200
…………………………………………9分
()2
22005070305025 6.635801*********
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ………………………11分
所以，有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关． …………………12分 18．（Ⅰ）证明：直棱柱1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥平面ABCD ， 所以1BB AC ⊥． ………………2分
又90BAD ADC ∠=∠=︒,222AB AD CD === 所以2,45AC CAB =∠=︒, 2BC = ……4分 三角形ACB 为直角三角形，BC AC ⊥ ； 又1
BB BC B =,所以AC ⊥平面11BB C C ．……………………………………6分
（Ⅱ）存在点P ，P 为11A B 的中点可满足要求． ………………………………7分 由P 为11A B 的中点，有1PB //AB ，且11
2
PB AB =； 又因为CD //AB ,1
2
CD AB =
，所以CD //1PB ，且1CD PB = ； 所以1CDPB 是平行四边形，DP //1CB ．………………………………………10分
又1CB ⊂平面1BCB ,1CB ⊂平面1ACB ，DP ⊄平面1BCB ,DP ⊄平面1ACB 所以DP //平面1BCB ，DP //平面1ACB ……………………………………12分 19．解:（Ⅰ）设右焦点为(,0)c ,
则过右焦点斜率为1的直线方程为：y x c =- …………………………………1分 则原点到直线的距离2
22
c d =
=
得1,2c a == …………………3分
所以2
212x y +=
………………………………………………………………4分
（Ⅱ）显然直线的斜率k 存在，所以可设直线的方程为(2)y k x =+.
设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段EF 的中点为G 00(,)x y ，
由22
(2)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)8820k x k x k +++-= 由22
2
2
(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->解得22
22
k -
<<
…(1) ………7分 由韦达定理得2
122
812k x x k -+=+，
于是：1202x x x +==22412k k -+，002
2(2)12k
y k x k =+=+ ……………8分 因为2
02
4012k x k =-
≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1211,C B C B 方程分别为1,1y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为
000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即2
22222
24112122411212k k k k
k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即22
2210,2210.
k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ …………10分
解得3131
22
k ---
≤≤
，……………………………(2) 由（1）（2）知，直线斜率的取值范围是3131
[,].22
--- ……………12分 20．解：（Ⅰ）由题意可知，212
33n S n n =
+*()n N ∈ 当2n ≥ 时，22
1121221[(1)(1)]33333
n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-= ………………２分
当1n = 时，111a S ==适合上式 所以数列{}n a 的通项公式为21
3
n n a +=
*()n N ∈． …………………3分 （Ⅱ）因为111cos[(1)](1)n n n n n n b a a n a a π-++=+=-，所以
12n n T b b b =+++1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-+
+- ……4分
由（Ⅰ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为2
3
的等差数列．所以 ① 当2n m =*()m N ∈时，
21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+
+-
21343522121()()()m m m a a a a a a a a a -+=-+-+
+-
2224244()332m m a a a a a m
+=-+++=-⨯⨯2211
(812)(26)99
m m n n =-+=-+ ……………………6分
②当21n m =-*()m N ∈时，
21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==--2
21
1
(812)(16163)9
9
m m m m =-++++ 2211
(843)(267)99
m m n n =
++=++ 所以，2
21(26),9
1(267)9
n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩为偶数，为奇数 …………………………8分
要使2n T tn ≥对*
n N ∈恒成立，只要使22
1
(26)9
n n tn -+≥（n 为正偶数）恒成立，即使
16
(2)9t n
-+≥对n 为正偶数恒成立，
故实数t 的取值范围是5(,]9
-∞-．…………………………………………10分 （Ⅲ）由21
3
n n a +=
知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数． ①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}k n a *()k N ∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a ………………………11分
②当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a ；当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{}k n a *
()k N ∈，
则11n a =1(1)n =，1
2133k k k n n a -+==，31
2
k k n -=即存在满足条件的数列{}k n a ，
且*31
()2
k k n k N -=∈．……………………13分 21．解析：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为：(1)
()x
e x
f x e -'=；…………………………1分 当()0f x '=时，得=1x ；
当()0f x '>时，得1x <，故函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递增； 当()0f x '<时，得1x >，故函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减；
所以函数()f x 在=1x 处取得极大值(1)=1f ．……………………………………3分 （Ⅱ）设函数()f x 的切点为(,
)t
et
P t e ，t R ∈． 显然该点处的切线为：(1)()t t et e t y x t e e --=-，即为2
(1)t
t e t et y x e e
-=+；…4分 可得：2
(1)t
t e t a e et
b e -⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则2(1)(1)=2t t t e t et e t t a b e e e ---+-=-； 设函数(1)()2t
e t t F t a b e --+=-=；………………………………………………5分
11 其导函数为(2)()2t e t t F t e
--'=，显然函数当()0F t '>时，得1t <-或2t >，故函数()F t 在区间(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递增；当()0F t '<时，得12t -<<，故函数()F t 在区间(1,2)-上单调递减；
函数的()F t 的极大值为2(1)0F e -=>，()F t 的极小值为5(2)0F e
=-<． ……………………………………………………………………7分
显然当(,2)t ∈-∞时，()(1)F t F ≤-恒成立；
而当(2,)t ∈+∞时， 215(24()t
t F t e e -++=⨯）， 其中0t e >，221515((25<02424
t -++<-++=-）），得()0F t <；…………8分 综上所述，函数的()F t 的极大值为2(1)F e -=即为a b -的最大值．…………9分
（Ⅲ）设m 是方程[()]f f x x =的解，即[()]f f m m =；
当()f m m =时，即m
em m e =，可得0m =或1m =；……………………………11分 当()f m m ≠时，设()f m n =，且n m ≠．
此时方程[()]f f m m =，得()f n m =；
所以两点(,)A m n ，(,)B n m 都在函数()f x 的图象上，且1AB k =-；………12分
因为函数()f x 的最大值是1，且()f m m ≠，所以()1()1f n m f m n =<⎧⎨=<⎩
， 因为函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递增，两点(,)A m n ，(,)B n m 的横坐标都在区间(,1)-∞上，显然0AB k >； …………………………………………………13分
这与1AB k =-相矛盾，此种情况无解；……………………………………………14分
综上，方程[()]f f x x =的解0x =和1x =．。