浙江省慈溪市六校2025届高二上数学期末达标检测试题含解析

浙江省慈溪市六校2025届高二上数学期末达标检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A 地测得纪念塔顶D 的仰角为45°，乙同学在二七广场B 地测得纪念塔顶D 的仰角为30°，塔底为C ，（A ，B ，C 在同一水平面上，DC ⊥平面ABC ），测得63m AB =，30ACB ∠=︒，则纪念塔的高CD 为（） A.40m B.63m
C. D.m
2．设双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>的虚轴长为2，焦距为
A.y =
B.2
y x =± C.2y x =±
D.12
y x =±
3．已知椭圆方程为2
212
x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）
A.1
B.2
D.4．以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（） A.28y x =
B.28y x =-
C.28y x =或28y x =-
D.28x y =或2
8x y
5． “24m <<”是“方程22
124x y m m
+=--表示椭圆”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,
===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M
相等的向量是（ ）
A.11
22a b c --+ B.11
22a b c -
++ C.11
22
a b c -+ D.11
22
a b c ++ 7．椭圆22
1164
x y +=的短轴长为（ ）
A.8
B.2
C.4
D.45
8．已知函数2
e ,0
()2,0x x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩
，要使函数()f x k =有三个零点，则k 的取值范围是（） A.10e -<<k B.11e
k -<≤
C.1e k >-
D.1
2e
k -<<
9．对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.0a b >>，则
11a b > C.若a b >，
11
a b
>，则0a >，0b < D.若0a b >>，则b a
a b
>
10．定义在区间1,42⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论不正确．．．
的是（）
A.函数()f x 在区间()0,4上单调递增
B.函数()f x 在区间1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减
C.函数()f x 在1x =处取得极大值
D.函数()f x 在0x =处取得极小值
11．下列双曲线中，以()2,0为一个焦点，以()1,0为一个顶点的双曲线方程是（ ）
A.2214x y -=
B.2213
x y -= C.2
2
13
y x -=
D.221x y -=
12．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线
()2:240E x py p =-+>的焦点为3(0,)2
F -，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F 的距离为（ ）
A.
32
B.2
C.22
D.
52
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，111AC A B ⋅=
___________. 14．已知双曲线22145
x y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，则
12
21
sin sin PF F PF F ∠=∠______
15．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2
n S n =，则n a =_______.
16．若函数2sin cos 1=++-y x x a 在区间[,]22ππ
-
上的最大值是1
4
，则=a __________ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知首项为1的数列{}n a 满足121n n a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记()221
log 1n n b a -=+，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
18．（12分）已知点(1,3)M ，圆22:(2)(1)4C x y -++=.
（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；
（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程.
19．（12分）已知命题:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，命题:q 实数x 满足不等式53x -<. （1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
20．（12分）已知O 为坐标原点，点()1,0F ，设动点W 到直线4x =-的距离为d ，且28d WF +=，4OW ≤. （1）记动点W 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，直线l '与曲线C 交于A '，B '两点，直线l 与l '的交点为P （P 不在曲线C 上），且PA PB PA PB ''⋅=⋅，设直线l ，l '的斜率分别为k ，k '.求证：k k '+为定值. 21．（12分）已知函数()e ln 3x
f x x x =+.
（1）求()f x 的导数()f x '；
（2）求函数()f x 的图象在点()()
1,1f 处的切线方程. 22．（10分）已知函数3
1()3
f x x ax b =++在2x =±处有极值，且其图象经过点(0,4). （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[0,3]的最值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】设CD m =，先表示出,AC BC ，再利用余弦定理即可求解.
【详解】
如图所示，45,300,3ACB DAC CBD ∠︒∠∠===，设塔高为m ，因为DC ⊥平面ABC ，所以,DC CA DC CB ⊥⊥， 所以,3AC m BC m ==，又2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，即2223
63323m m m m =+-⨯ 解得63m =. 故选：B. 2、B
【解析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得1b =，3c =222a c b -=2b y x x a =±=. 故选：B. 3、B
【解析】根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B. 4、C
【解析】由分焦点在x 轴的正半轴上和焦点在x 轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据28p =，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通经长为8， 当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>， 可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =；
当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->， 可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-， 所以所求抛物线的方程为28y x =±. 故选：C.
5、B
【解析】方程2
2
124x y
m m +=--表示椭圆，可得20,40,
24.
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
，解出m 的范围即可判断出结论. 【详解】∵方程2
2
124x y
m m +=--表示椭圆，∴20,40,
24.
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
解得23m <<或34m <<，故“24m <<”是“方程22
124x y m m
+=--表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 6、B
【解析】根据111
2=+=+
B M B B BM c BD 代入计算化简即可. 【详解】()
111111
2222
=+=+=+
+=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c 故选：B. 7、C
【解析】根据椭圆的标准方程求出b ，进而得出短轴长.
【详解】由22
1164
x y +=，可得2b =，
所以短轴长为24b =. 故选：C. 8、A
【解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =图象有三个交点，数形结合即可求解. 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =图象有三个交点， 因为当0x <时，()e x f x x =， 所以()(1)e x f x x '=+，
可得()f x 在(,1)-∞-上递减，在(1,0)-递增， 所以，()e x f x x =有最小值1
(1)f e
-=-
，且0x <时，()0f x <， 当x 趋向于负无穷时，()f x 趋向于0，但始终小于0， 当0x ≥时，2()2f x x =-单调递减，
由图像可知：
所以要使函数()f x k =有三个零点，则1
0e
-<<k . 故选：A 9、C
【解析】对于选项A ，可以举反例判断；对于选项BCD 可以利用作差法判断得解. 【详解】解：A.若a b >，则22ac bc >不一定成立.如：0c .所以该选项错误；
B.
110b a a b ab --=<，所以11a b <，所以该选项错误； C.110,0,,0,0b a
ab a b a b a b ab
--=
>∴<>∴><，所以该选项正确； D.220,b a b a b a a b ab a b
--=<∴<，所以该选项错误. 故选：C 10、C
【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B 的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断C 、D 的结论
【详解】函数()f x 在(0,4)上()0f x '>，故函数在(0,4)上单调递增，故A 正确； 根据函数的导数图象，函数在1
(,0)2
x ∈-时，()0f x '<， 故函数()f x 在区间1(,0)2
-上单调递减，故B 正确；
由A 的分析可知函数在(0,4)上单调递增，故1x =不是函数()f x 的极值点，故C 错误； 根据函数的单调性，在区间1(,0)2
-上单调递减，在(0,4)上单调递增， 故函数
0x =处取得极小值，故D 正确，
故选：C
11、C
【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得,a b ，即可选择.
【详解】因为双曲线的一个焦点是()2,0，故可设双曲线方程为22
221x y a b
-=，
且224a b +=；
又()1,0为一个顶点，故可得1a =，解得23b =，
则双曲线方程为：2
2
13
y x -=.
故选：C . 12、D
【解析】根据给定条件求出抛物线E 的顶点，结合抛物线的性质求出p 值即可计算作答. 【详解】依题意，抛物线E 的顶点坐标为2(0,
)p ，则抛物线的顶点到焦点F 的距离为23
22
p p =+，p >0，解得4p =， 于是得抛物线E 的方程为284x y =-+，由0y =得，2x =±，即抛物线E 与x 轴的交点坐标为()2,0M ±，
因此，()
2
235
||2()22
MF =
±+=， 所以矿石落点的最远处到点F 的距离为5
2
. 故选：D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
【解析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，
2
1111111001AC A B AC CC A B AB AD AA AB AB →→→→→→→
→
⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故答案为：1 14、3
【解析】根据双曲线方程求出a ，再根据双曲线的定义可知214PF PF -=，即可得到1PF 、2PF ，再由正弦定理计算可得；
【详解】解：因为双曲线为22
145
x y -=，所以2a =、3c =，因为点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，所
以214PF PF -=，所以12=PF ，26PF =，在12PF
F △中，由正弦定理可得1221
12
sin sin PF PF PF F PF F =
∠∠，所以
2
12211
sin 3sin PF PF F PF F PF ∠==∠；
故答案为：3 15、21n -，*n N ∈.
【解析】由,n n S 的递推关系，讨论1n =、2n ≥求1a 及n a ，注意验证1a 是否满足通项，即可写出n a 的通项公式. 【详解】当1n =时，111a S ==，
当2n ≥且*n N ∈时，()2
2
1121n n n a S S n n n -=-=--=-，
而12111a =⨯-=，即1a 也满足21n -， ∴21n a n =-，*n N ∈. 故答案为：21n -，*n N ∈. 16、0
【解析】由函数22sin cos 1cos cos y x x a x x a =++-=-++，又由[,]22
x ππ
∈-，则cos [0,1]x ∈，根据二次函数的
性质，即可求解函数的最大值，得到答案.
【详解】由函数22sin cos 1cos cos y x x a x x a =++-=-++， 因为[,]22x ππ
∈-，所以cos [0,1]x ∈，
当1cos 2x =时，则max 11
44
y a =+=，所以0a =.
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质，其中解答中根据余弦函数，转化为关于cos x 的二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）21n
n a =- （2）21
n n
S n =
+ 【解析】（1）由121n n a a +=+，构造{}1n a +是以2为首项，2为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；
（2）由（1）得()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，利用裂项相消可求n S . 【小问1详解】
由121n n a a +=+，得()1121n n a a ++=+， 又112a +=，
所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 则12n
n a +=，即21n
n a =-， 故数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-.
【小问2详解】 由（1）知，21
2121n n a --=-，
所以21n b n =-.
因为111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以12231
111n n n S b b b b b b +=
++⋯+ 1111335(21)(21)
n n =
++⋯+⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21
n
n =
+，
所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和21n n S n =+. 18、（1）1x =或158390x y +-=
（2）223()(1)12x y -+-=
【解析】（1）由直线l 被圆C
截得的弦长为l 的距离为1d =，分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
（2）设点(,)P x y ，11(,)N x y ，根据线段MN 的中点为P ，求得112123x x y y =-⎧⎨
=-⎩，结合N 在圆C 上，代入即可求解. 【小问1详解】
解：由题意，圆22:(2)(1)4C x y -++=，可得圆心(2,1)C -，半径2r =，
因为直线l 被圆C
截得的弦长为
则圆心到直线l
的距离为1d ==， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，
1=，解得158
k =-，即158390x y +-=， 综上可得，所求直线的方程为1x =或158390x y +-=.
【小问2详解】
解：设点(,)P x y ，11(,)N x y
因为点(1,3)M ，线段MN 的中点为P ，可得111232
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为N 在圆C 上，可得()()222122314x y --+-+=，即223
()(1)12
x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为22
3
()(1)12x y -+-=. 19、（1）()2,3；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）分别求出命题p ，q 均为真命题时x 的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，即3a x a <<
命题:q 实数x 满足不等式53x -<，即28x << （1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，则13x <<且28x << 则实数x 的取值范围为()2,3；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|3x a x a <<是{}|28x x <<的真子集
则2a ≥且38a ≤
解得823
a ≤≤ 故a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
20、（1）22
143
x y += （2）证明见解析
【解析】（1）设点(),W x y ，由28d WF +=即所以()224218x x y ++-+=化简即可得到答案.
（2）设(),P s t ，()11,A x y ，()22,B x y 设直线l 的方程为：y kx m =+与（1）中W 的轨迹方程联立，得出韦达定理，求出PA PB ⋅，同理设直线l '的方程为：y k x m ''=+，得出PA PB ''⋅，再根据PA PB PA PB ''⋅=⋅从而可证明结论.
【小问1详解】
设点(),W x y ，因为28d WF +=，
所以()224218x x y ++-+=，()22184x y x -+=-+
因为4OW ≤，所以4x ≤
所以
所以()()22
24144x y x -+=- 所以223412x y +=
所以C 的方程为：22
143
x y += 【小问2详解】
设(),P s t ，()11,A x y ，()22,B x y
设直线l 的方程为：y kx m =+，则t ks m =+ 由2214
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2223484120k x kmx m +++-= 所以122834km x x k +=-+，2122
41234m x x k -=+，()22Δ1612930k m =+->
所以()()221212121PA PB x s x s k
x x s x x s ⋅=--=+-++ 所以()()()2222222214312
143123434k ks m s k t s PA PB k k
+++-++-⋅==++ 设直线l '的方程为：y k x m ''=+，则t k s m ''=+ 同理可得()222214312
34k t s PA PB k '++-''⋅='+ 因PA PB PA PB ''⋅=⋅
所以()()22222222414312
4143123434k t s k t s k k '++-++-='++
即2222113434k k k k '++='++，即22
22343411k k k k
'++='++，即22114411k k -=-'++ 解得k k '=-，即0k k '+=
所以k k '+为定值.
21、（1）1(ln )3e )(x x x x
f +'+=；
（2）(e 3)e y x =+-.
【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.
(2)求出()1f '，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【小问1详解】
函数()e ln 3x
f x x x =+定义域为(0,)+∞， 所以函数()e ln e 11(3e ln )3x x x x x f x x x
⋅
+'=+=++. 【小问2详解】 由(1)知，(1)3e f '=+，而(1)3f =，于是得3(e 3)(1)y x -=+-，即(e 3)e y x =+-， 所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程是(e 3)e y x =+-.
22、（1）31()443
f x x x =-+（2）max ()4f x =，min 4()3f x =- 【解析】（1）由(2)0f '=与(0)4f =解方程组即可得解；
（2）求导后得到函数()f x 的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.
【详解】（1）求导得2()f x x a '=+，
2x =±处有极值，∴(2)0f '=即4a =-，
又 图象过点(0,4)，代入可得4b =. ∴31()443
f x x x =-+.
（2）由（1）知2()4f x x =-'，令()0f x '=得2x =±
又 [0,3]x ∈，∴2x =.
列表如下：
∴在[0,3]x ∈时，max ()4f x =，min ()3f x =-.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.。