2020年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题09 导数意义及导数运算 理

专题09 导数意义及导数运算
一、
考纲要求:
1.了解导数概念的实际背景
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x
，y ＝y ＝x 3
，y ＝x 的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 二、概念掌握及解题上的注意点：
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．
3．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．
4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5.求函数导数的一般原则如下
1）遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导. 2）遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导. 3）遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
4）.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理. 6.求函数图象的切线方程的注意事项:
1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出.
2）切点既在函数的图象上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组. 3）在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件. 4）曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点. 5）当曲线y=f(x)在点,)处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，
切线方程是x ＝x 0. 三、高考考题题例分析：
例1.（2020全国卷Ⅰ）设函数f （x ）=x 3
+（a ﹣1）x 2
+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y=﹣2x B ．y=﹣x
C ．y=2x
D ．y=x
解析：函数f （x ）=x 3
+（a ﹣1）x 2
+ax ，若f （x ）为奇函数， 可得a=1，所以函数f （x ）=x 3
+x ，可得f′（x ）=3x 2
+1，
曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为：y=x ． 故选：D ．
例2.（2020全国卷II ）曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ． 解析：∵y=2ln （x+1）， ∴y′=
，
当x=0时，y′=2，
∴曲线y=2ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ． 故答案为：y=2x ．
例3.（2020全国卷Ⅲ）曲线y=（ax+1）e x
在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ．
例4.(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2
＋1
x
在点(1,2)处的切线方程为________．
x －y ＋1＝0
解析：∵y ′＝2x －1
x
2，∴y ′|x ＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.
例5.(2020·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．
y ＝－2x －1
解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x
－3，
则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.
例6.(2020·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线
为l ，则l 在y 轴上的截距为________ 解析：∵f ′(x )＝a －1
x
，∴f ′(1)＝a －1.
又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.
导数意义及导数运算练习
一、 选择题
1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
的导数为( ) A ．2(x 2
－a 2
) B ．2(x 2＋a 2
) C ．3(x 2
－a 2
)
D ．3(x 2
＋a 2
)
C 解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
＝x 3
－3a 2
x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2
－a 2
)．
2．曲线f (x )＝2x －e x
与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0
D ．x ＋y －1＝0
3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )
A ．－e
B ．－1
C ．1
D ．e
B 解析： 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，
∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.
4．曲线y ＝x e x
＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1
D ．y ＝－3x －1
A 解析：由题意得y ′＝(x ＋1)e x
＋2，则曲线y ＝x e x
＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0
＋2＝3，故曲线y ＝x e x
＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.
5．若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图象的一条切线，则k ＝( )
A ．1e 2
B ．1e
C ．e
D ．e 2
A 解析： 由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1
x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩
⎪
⎨⎪⎧
ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1
x 0
，
解得x 0＝e 2
，
则k ＝1x 0＝1
e
2，故选A ．
6.已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3
＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3
D ．4
C 解析：对于y ＝x 3
＋mx ＋n ，y ′＝3x 2
＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.
7．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
8.曲线y ＝1－
2
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
9.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e
-12
B ．2e
-
12
C ．e 12
D ．2e 12
B 解析： 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2
x 0
，于是有⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2x 0
，
ax 0＝2ln x 0＋1，
解得x 0＝e ，a ＝2
x 0
＝2e
-
1
2
，选B.
10．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相
切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
D 解析： ∵f ′(x )＝1
x
，
∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，
∴切线l 的方程为y ＝x －1.
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，
则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7
2，m <0，
解得m ＝－2.
11．曲线y ＝e 1
2x 在点(4，e 2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．92e 2 B ．4e 2
C ．2e 2
D ．e 2
D 解析：易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2
)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 1
2x ，∴k
＝12e 1
2×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12
×2×|－e 2|＝e 2.
12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都
相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
二、填空题
13．(2020·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.
1－ln 2 解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．
求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1
x ＋1
.
设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.
又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 1
2＋2＝2－ln 2，
所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.
14．已知函数f (x )＝ax 3
＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.
1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，
∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.
15．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.
16．设曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的
坐标为________．
(1,1) 解析：∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x
， ∴曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0
＝1.
设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1
x
(x ＞0)在点P 处
的切线的斜率k 2＝－1
x 20
.
易知k 1k 2＝－1，即1·⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x
20
＝－1，解得x 2
0＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y
＝1
x
(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．
三、解答题
17．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x
.
[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′
＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2
x cos 2
x ＝tan x ＋x
cos 2x
.
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3
＋6x 2
＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2
＋12x ＋11. (3)y ′＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2
＝2x ＋1′
2x ＋1
·x －ln
2x ＋1
x 2
＝2x
2x ＋1－ln 2x ＋1x
2
＝
2x －2x ＋1ln 2x ＋1
2x ＋1x
2
. 18．已知函数f (x )＝x 3
－4x 2
＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
19．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2
＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.
[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2
－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2
－1≥－1，
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
⎩⎪⎨⎪⎧
k ≥－1，－1
k
≥－1，
解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2
－4x ＋3＜0或x 2
－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。