数学中考数学压轴题的专项培优易错试卷练习题附解析

一、中考数学压轴题
1．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.
（1）求点A 的坐标；
（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；
（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.
2．在平面直角坐标系中，抛物线24y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B
在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且
:3:4∆∆=ABC BCE S S ．
（1）求点A ，点B 的坐标；
（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式；
②求抛物线的解析式．
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．
（1）求直线AD 和BC 之间的距离；
（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．
5．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．
（1）求证：△PFA ∽△ABE ；
（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．
6．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ． （1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；
（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15
h OD =
时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动，当点
Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．
7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．
（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；
（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；
（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．
8．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，
在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
9．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标；
（3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值．
10．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
11．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，
，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a ≤3时，
①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；
②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；
（2）已知函数()10Z x x x
=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．
12．如图1，已知抛物线21833
y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为
3:1，已知4tan 3BDE ∠=，求点E 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点K ，若EK EG =，求点K 的坐标．
13．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+，32AB =，45ABC ∠=︒，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．
问题探究
（1）如图1，若30PBC ∠=︒，则AP 的长为__________．
（2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；
（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN
①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；
②请直接写出PMN 面积的最小值．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =
>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0x
y =
>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．
（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ； （2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0x
y =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
15．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-
与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；
（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
16．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线
l 交O 于A
B 、两点．
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．
（2）已知M是O一点，1cm
OM ．
①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．
17．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣1
2
x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B
在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；
（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一
动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1
3
，试探究四边形
ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
19．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范
20．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，PQ ，且PC PQ =．
（1）若60B ∠=︒，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：DQ PD AB +=（不需证明）；
（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．
21．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．
（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；
（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．
①求证：DM 2+CN 2=CM 2；
②如图3，当AD=1，10时，请直接写出．．．．
线段ME 的长． 22．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．
例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；
②点（1
2
，﹣
9
8
）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求
a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣1
2
m2关于点P（m，0）的相关函数的最大
值为6，求m的值．
23．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）
A．180° B．270° C．360° D．540°
（1）请写出这道题的正确选项；
（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．
（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D在△ABC外，连接AD、BD，且∠ADB=90°，AB、CD相交于点E，AB、CD的中点分别是点F、G，连接FG．
（1）求AB的长；
（2）求证：2CD；
（3）若BD=6，求FG的值．
25．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=
（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:
（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）A （4，0）；（2）2144S t =-；（3）(4,8)E - 【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出42t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．
（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44
t t -+，从而得到 1144t t OM =-=-，34
t FM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而
OA OM OD MF =， 即14434
t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】
（1）由题意可得：211•••822
AOB S OA OB OA ==＝， ∴OA 2=16，
∵OA ＞0，
∴OA=OB=4，
∴A （4，0），B （0，4）．
（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．
∵∠AOB=90°，OA=OB ，
∵AB ⊥CD ，
∴∠CEA=90°，
∴∠ECA=45°，
∴△CEA 是等腰直角三角形，
∵∠ECA=45°，∠COD=90°，
∴∠CDO=45°，
∴△CDO 是等腰直角三角形.
∵点D 纵坐标为t ，
∴CO=DO=t.
∵OA=OB=4,
∴AC=t+4. ∴42t CN NE NA +===
， ∴()()214114444222
4AEC ABC t S S S t t t +⎛⎫=-=⨯+⨯-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭； ∴S 与t 的函数关系是：2144S t =
-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，
由（2）可知，42t CN NE +==
， ∴22t ON OC CN =-=
-， ∴点E 的坐标为(2,2)22
t t -+， ∵点B （0,4），点F 为BE 中点，
∴点F 的坐标为(1,3)44t t -
+， ∴1144t t OM =-=-，34
t FM =+， ∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，
∴OF ∥AD ，
∵FM ⊥AC ，
∴FM ∥DO ，
∴∠MFO=∠ODA ，
∴tan ∠MFO =tan ∠ODA ， ∴OA OM OD MF
=， 即14434
t t t -=+， 解得t=12或4=-4（不合题意，舍去）
∴点E 的坐标为(4,8)-.
【点睛】
本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构建方程解决问题．
2．A
解析：（1） A （12,0） B （72,0）；(2)
①y x =+，
②2y x x =+ 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2，利用:3:4∆∆=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4，由△AOE ∽△AGC 可得13
=AO AG ，进而求得OA 、OB 的长，即可求得点A 、点B 的坐标； （2）根据旋转的性质求出C 点坐标，利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标，，分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式．
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为24(0)=-+>y mx mx n m ， ∴对称轴为直线422-=-=m x m
， 如图，设对称轴与x 轴交于G ，则//CG y 轴，2OG =，
∴△AOE ∽△AGC ， ∴=AO AE AG AC ， ∵:3:4ABC BCE S S =，
∴CA :CE =3:4 ，则
31AE AC =， ∴13
==AO AE AG AC ， ∴1142==OA OG ，3342
==AG OG ， 则23==AB AG ，72=+=
OB OA AB ， ∴A (12,0)， B (72
,0)； （2）如图，设O 旋转后落在点Q 处，过点C 作CP y ⊥轴于点P ，
由旋转的性质得：△BCO ≌△ACQ ，
∴BO =AQ =
72，CO =CQ ， ∴OQ
==== ∵CP y ⊥轴，
∴12
==OP OQ ∴点C
的坐标为(2,
，则CG =由（1）得△AOE ∽△AGC ，
13==OE AE CG AC ，
∴3OE =，即点E
的坐标为(0,3
， ①设CE 的解析式为y kx b =+，分别代入
C (2,，
E 得：
23k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，解得：k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴CE
的解析式为33y x =-
+； ②将A (12
,0)，
C (2,分别代入24y mx mx n =-+得：
1204
48m m n m m n ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩
，解得：99m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线解析式为2999
y x x =
-+． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式，正确的理解题意，熟练运算“数形结合思想”是解题的关键． 3．A
解析：（1）12；（2）5s 或
373s ；（3）163s 或685
s 或72s 【解析】
【分析】
（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在
RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；
（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；
（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．
【详解】
（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E
∵∠B=90°，AD∥BC
∴AB⊥BC，AB⊥AD
∴AB的长即为AD与BC之间的距离
∵AD=16，BC=21，
∴EC=5
∵DC=13
∴在Rt DEC中，DE=12
同理，DE的长也是AD与BC之间的距离
∴AD与BC之间的距离为12
（2）∵AD∥BC
∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形
QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21
∴16－t=21－2t或16－t=2t－21
解得：t=5s或t=37 3
s
（3）情况一：QP=PD
图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F
∵PQ=PD，PF⊥QD，
∴QF=FD
∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°
∴四边形ABPF是矩形，
∴AF=BP
由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t
∵AF=BP
∴8+2t =2t 或8+2
t =42－2t 解得：t=163或t=685
情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理QD=16－t ，PF=AB=12
BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t
则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26
∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()2
2212226PD t =+-
∵PD=QD ，
∴22PD QD =
∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－
解得：2个方程都无解
情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F
同理：QD=16－t ，FP=12
BP=2t 或BP=42－2t
QF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t
在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()2
2212423PQ t =+- ∵PQ=QD ，
∴22
PQ QD =
∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－
第一个方程解得：t=
72，第二个方程解得：无解 综上得：t=
163或685或72 【点睛】 本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．
4．A
解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599
y x =
+ 【解析】
【分析】
（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；
（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；
（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．
【详解】
解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==． 45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，
2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒
6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩
解得16k b =-⎧⎨=⎩
∴直线BC 的解析式为6y x =-+．
（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，
(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．
如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，
6DK t =-+， 16362
S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，
6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．
（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．
45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．
AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．
ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．
AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥， HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠ MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，
::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．
同理NF DG =．RD CN =．
∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=． RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB
∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=．
7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52
OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，
0752
2a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得5959a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DM 的解析式为5599
y x =
+． 【点睛】
本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标． 5．D
解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x 的值为6或
253；（3）DP =485
或10＜DP ≤12
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF =∠EAB 时，则得到四边形ABEP 为矩形，从而求得x 的值；②当∠PEF =∠AEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE ．再根据等腰三角形的三线合一得到F 是AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D 与线段相切时，x 的值，在画出圆D 过E 时，半径r 的值，确定x 的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x 的取值范围,从而得出DP 的范围．
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD ，
∴∠ABE =90°，AD ∥BC ，
∴∠PAF =∠AEB ，
又∵PF ⊥AE ，
∴∠PFA =90°=∠ABE ，
∴△PFA ∽△ABE ．
（2）解：分二种情况：
①若△EFP ∽△ABE ，如图1，
则∠PEF =∠EAB ，
∴PE ∥AB ，
∴四边形ABEP 为矩形，
∴PA =EB =6，即x =6．
②如图2，若△PFE ∽△ABE ，
则∠PEF =∠AEB ，
∵AD ∥BC
∴∠PAF =∠AEB ，
∴∠PEF =∠PAF ．
∴PE =PA ．
∵PF ⊥AE ，
∴点F 为AE 的中点，
Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，
∴AE 22AB BE +2286+，
∴EF =152
AE =， ∵△PFE ∽△ABE ， ∴
PE EF AE BE =， ∴5106
x =， ∴PE =253
， ∴满足条件的x 的值为6或
253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，
∵AP=x，
∴PD═DG=12﹣x，
∵∠DAG=∠AEB，∠AGD=∠B=90°，∴△AGD∽△EBA，
∴AD DG AE AB
=，
∴1212
108
x
-
=，
∴x=12
5
，
∴
1248
12
55 DP=-=，
当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，
此时PD=DE=10，
故答案为：DP=48
5
或10＜DP≤12．
【点睛】
本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解．
6．B
解析：（1）35t ，45t ；（2）当0＜t ＜3时，224655
S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052
S t t =+-；（3）75；（4）132，7713，477 【解析】
【分析】
（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得； （2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公式可求得；
（3）直接令15
h OD =即可求出； （4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解．
【详解】
（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M
根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA
∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB
∵AB=4，AD=BC=3
∴BD=5
∵BM OM BO DA BA BD
==，OB=t ∴BM=3
5t ，OM=
45t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD
∵AP=t ，∴PD=3－t ∵PN BA PD BD =，∴PN=()435
t - 图中，OD=5+t ∴()
()243124562555OBD t S t t t -=+=--+ 情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
图中，PD=t －3，OD=5+t
同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=
()335t - ∴()()
23313395251052
OBD t S t t t -=+=-+- （3）情况一：当0＜t ＜3时
则h=PN=
()435t - ∵15h OD =
∴()
43555t t -+= 解得：t=75
情况二：当3＜t ＜7时
则h=PN=
()335t - ∵15h OD =
∴()
33555
t t -+= 解得：t=7(舍)
（4）情况一：QP ∥BD ，图形如下
由题意可得：BQ=43t ，AP=t ，则QA=4－43t ，DP=3－t ∵BD ∥QP
∴QA PA QB PD
= 代入得：4()2243t t =-
解得：t=32
∴OD=5+t=
132 情况二：如下图，EP ∥CD(或EQ ∥CB)
∵点E 是点A 关于QP 对称的点
∴EP=PA ，EQ=QA ，QP=QP
∴△APQ ≌△EPQ
∵EP ∥CD ，CD ⊥AD
∴EP ⊥AD
∴∠APQ=∠EPQ=45°
∴△AQP 是等腰直角三角形，AQ=PA
∴4－43
t t = 解得：t=127
∴OD=5+t=
477 情况三：如下图，QE ∥BD ，延长QE 交DA 于点N
∵△APQ ≌△EPQ ，∴∠QEP=∠QAP=90°
∴△ENP 是等腰直角三角形
∵QN ∥BD ，∴∠NQA=∠DBA ，∠A=∠A
∴△QNA ∽△BDA
∵BQ=
43t ，AP=t ，QA=4－43t ，DP=3－t ∴QN QA AN BD BA AD
== ∴QN=5－43
t ，NA=3－t ∴EN=QN －QE=QN －QA=1－
3
t ，NP=NA －AP=3－2t ，EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中，()
2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得：t=1213
或t=3(舍) ∴OD=5+t=
7713 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来．
7．A
解析：（1）()1,1E -；（2）1312m -≤≤-或0131m ≤≤3）639t ≤≤.
【解析】
【分析】
（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确
定“倍增点”横坐标的范围；
（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．
【详解】
（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，
22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯
∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；
()1,1E -到线段BC 的距离为1，
22(12)(10)103EC =--+-=>,
∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；
()0,2F 到线段BC 的距离为2，
22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯
∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；
综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；
（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，
当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤
解方程222(2)8m m +-+=，
得1131m =+，2131m =-
当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+
解得：m≥0或m≤-2
∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为
1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；
（3）如图所示，
当点G(1,0)为T "倍增点"时，
T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值，
当点H(0,1)为T “倍增点”时，
则T(63，此时T 的横坐标为最小值；
∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．
【点睛】
在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不
等关系式，即可列不等式组求解范围．
8．B
解析：（1）12；（2）53；（3）202．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.
【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =，
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ， PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=， 点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点， 90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，
1110522
OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222
DH OD QH DH ∴==∴==，
2OH ∴===， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
5,22
OM QH MQ OH ∴====， 515522
CM OM OC ∴=+=+=，
CQ ∴===，
PC PD ∴+的最小值为．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点
PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=，
45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
9．C
解析：（1）26y x x =--；（2）Q 的坐标为()2,0或()4,0；（3）CI 的最小值为42【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式；
（2）根据//CP BQ 即点C 坐标，可以求出P 点坐标，算出CP 长，即可写出Q 点坐标; （3）利用AIM AIO ≌△△可判断出I 的运动轨迹是圆弧，设I 运动轨迹所在的圆心为G 计算出圆心G 的坐标及半径为，当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短.
【详解】
（1）由题意得：A 点坐标为()2,0-，C 点坐标为()0,6-带入2y x bx c =++中
得：4206b c c -+=⎧⎨=-⎩
， 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线的解析式为26y x x =--．
（2）∵点Q 在x 轴上，又点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形
∴//CP BQ ，由对称性可知，P 点的坐标为()1,6-
∴1PC =，∴1BQ =．
∴Q 的坐标为()2,0或()4,0．
（3）连接AI ，MI ，OI
∵I 为AMN 的内心
∴AI 、MI 分别平分MAN ∠，AMN ∠
∴MAI OAI ∠=∠
又∵MN AN ⊥，∴90ANM ∠=︒
∴135AIM ︒∠=．
又∵MA OA =，AI AI =
∴AIM AIO ≌△△
∴135AIO AIM ∠=∠=︒
∴I 的运动轨迹是圆弧．
设I 运动轨迹所在的圆心为G
∵135AIO ∠=︒，∴90AGO ∠=︒
又∵AG OG =，2AO =
∴圆心G 的坐标为()1,1-2
当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短
∵()()2210165052CG =--++== 2GI =
∴CI 的最小值为52242=
综上所述：CI 的最小值为42
【点睛】
此题为二次函数的综合应用，第一问利用待定系数法求解属基本题型；第二问判断出//CP BQ 是解题关键；第三问判断出I 的运动轨迹是解题关键.
10．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，
∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.
【详解】
（1）(
)11801802
118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示
AD 与BO 交于点E ，
()9060301180307521909030602
180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化
设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以
180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

因为BC 平分ABN ∠，所以45ABC α∠=︒+。

又因为180ABC ABD D BAD ∠=︒-∠=∠+∠。

所以
4545D ABC BAD αα∠=∠-∠=︒+-=︒
（3）因为∠BAO 与∠BOQ 的平分线交于点E ，
所以135AOE ∠=︒，
所以
()11118045454518090222
E EAO AOE EAO BAO ABO ABO ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-︒-∠=∠
因为AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的平分线， 所以11118090222EAF BAO GAO ∠=
∠+∠=⨯︒=︒在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当3EAF E ∠=∠时，得30E ∠=︒，此时60ABO ∠=︒
②当3EAF F ∠=∠时，得60E ∠=︒，此时12090ABO ∠=︒>︒，舍去。

③当3F E ∠=∠时，得19022.54E ∠=
⨯︒=︒，此时45ABO ∠=︒ ④当3E F ∠=∠时，得39067.54
E ∠=⨯︒=︒，此时13590ABO ∠=︒>︒，舍去。

综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°。

【点睛】
前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论.
11．A
解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②23m ≤；（2）最小值为2．
【解析】
【分析】
（1）①根据“特征点”的定义判断即可；
②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(2W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切
时，2(3W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特
征点．
（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x
+的值最小（如图3中）．
【详解】
解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，
又∵2≤a ≤3，
∴A ，C 是特征点，
故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ；
②如图1，∵2≤a ≤3，
∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，。