上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题解析版

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题
一、单选题
1．若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ） A ．积硅步一定可以至千里 B ．不积硅步也可能至千里 C ．要想至千里一定要积硅步 D ．不想至千里就不用积硅步
【答案】C
【解析】根据命题与逆否命题的真假关系,即可判断. 【详解】
命题“不积硅步,无以至千里” 则其逆否命题为“至千里,积硅步” 可知C 为正确选项. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用,对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.
2．若U 为全集，A B 、为非空集合，下面四个命题：
（1）A B A =I ；（2）A B B ⋃=；（3）U A B =∅I ð；（4）U
A B U =U ð. 其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】根据集合与集合的关系及运算,可判断四个选项是否正确. 【详解】
对于（1）,若A B A =I 则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（1）与命题A B ⊆等价; 对于（2）,若A B B ⋃=,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（2）与命题A B ⊆等价;
对于（3）,若U
A B =∅I ð,由韦恩图可知,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（3）与命题A B ⊆等价;
对于（4）若U
A B U =U ð,由韦恩图可知,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（4）与命题A B ⊆等价;
综上可知,与命题A B ⊆等价的命题为（1）（2）（3）（4）
故选:D 【点睛】
本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与并集和补集运算,韦恩图在研究集合关系时是常用方法,属于基础题.
3．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，
{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ）
A ．a b A +∈
B ．a b B +∈
C ．a b C +∈
D ．以上都不对
【答案】B
【解析】利用列举法,写出集合A 、集合B 、集合C 的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可. 【详解】
集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,则{2,0,2,4,6,8,10}A =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 则{1,1,3,5,7,9,11}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|41,}C x x k k ==+∈Z 则{3,1,5,9,13,17,21}C =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 又a A ∈,b B ∈
当2,1a b ==时, 21a b A +=+∉,所以A 错误; 当2,1a b ==时, 21a b C +=+∉,所以C 错误;
因为集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 又a A ∈,b B ∈
则()121222121a b k k k k +=++=++ 所以+a b 表示奇数,而集合B 表示奇数 所以a b B +∈ 故选:B 【点睛】
本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.
二、填空题
4．已知{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂，那么满足条件的集合A 的个数是________ 【答案】7
【解析】根据已知条件可知,集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集.即可求得满足条件的集合A 的个数. 【详解】
因为{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂
所以满足条件的集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集. 即分别为
{}2,3,5{}2,3,5,7{}2,3,5,11{}2,3,5,13{}2,3,5,7,11{}2,3,5,7,13{}2,3,5,11,13
所以共有7个 故答案为:7 【点睛】
本题考查了集合与集合的关系,集合子集与真子集的关系及个数,属于基础题.
5．将集合U
A C
B I I ð在图中用阴影部分表示出来.
【答案】
【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得U
A C
B I I ð. 【详解】
由交集与补集的运算可知,阴影部分如下图所示:
故答案为:
【点睛】
本题考查了集合交集与补集的运算,韦恩图表示集合关系的方法,属于基础题. 6．命题“若1a =且2b =，则5a b +<.”的否命题是_____ 【答案】若1a ≠或2b ≠，则5a b +≥
【解析】根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义即可得解. 【详解】
根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义可知
“若1a =且2b =,则5a b +<.”的否命题是若1a ≠或2b ≠,则5a b +≥ 故答案为: 若1a ≠或2b ≠,则5a b +≥ 【点睛】
本题考查了复合命题否命题的的写法,四种命题的关系,属于基础题.
7．已知{(,)|40}A x y x y =+-=，{(,)|10}B x y x ay =+-=，若A B =∅I ，则实数a 的值为________ 【答案】1
【解析】根据集合的表示形式可知,集合A 与集合B 为两条直线.当A B =∅I 时,两条直线平行.由直线平行的斜率关系即可求得a 的值. 【详解】
因为{(,)|40}A x y x y =+-=,{(,)|10}B x y x ay =+-= 则集合A 与集合B 为两条直线 若A B =∅I 则两条直线平行
所以两条直线的斜率相等,即1a = 故答案为:1 【点睛】
本题考查了两条直线平行的斜率关系,根据直线平行求参数,属于基础题.
8．设集合{,,1}A x xy xy =-，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠. 若0A ∈，则用列举法表示
集合A =________ 【答案】{1,0,1}-
【解析】根据0y ≠且0A ∈,结合集合的互异性原则可知0xy -1=,进而求得x 和y 的值,即可表示集合A . 【详解】
集合{,,1}A x xy xy =-,其中x ∈Z ,y ∈Z 且0y ≠.
若0A ∈,则当0x =时, 0x xy ==由集合的互异性可知不符合要求 所以0xy -1=,即1xy
=
则11x y =⎧⎨
=⎩或1
1
x y =-⎧⎨
=-⎩ 当11x y =⎧⎨=⎩时,1x xy ==, 由集合的互异性可知不符合要求
因而1
1
x y =-⎧⎨
=-⎩,此时1,1,10x xy xy =-=-= 所以{1,0,1}A =- 故答案为: {1,0,1}- 【点睛】
本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
9．设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则满足B A ⊆的实数的值所组成的集合为_________. 【答案】11{,,0}23
-
【解析】首先化简集合{3,2}A =-，因为B A ⊆，对0m =和0m ≠分别讨论，得到m 的值即可. 【详解】
2{|60}{3,2}A x x x =+-==-，
当0m =时，B =∅，B A ⊆，符合题意. 当0m ≠时，1
{}B m
=-
，因为B A ⊆，
所以13m -
=-或12m
-=，解得：1
3m =，或12m =-. 综上：0m =，或1
3m =，或12
m =-.
故答案为：11{,,0}23
- 【点睛】
本题主要考查集合间的子集关系，解本题时，容易忽略对空集的讨论，属于简单题.
10．已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B ⋂=，{9}U
A B =I ð，则集合A =________ 【答案】{3,9}
【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得集合A 中的元素.再判定其他元素是否符合要求. 【详解】
A 、
B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集 若{3}A B ⋂=,则3A ∈
若{9}U
A B =I ð,则9A ∈ 假设1A ∈,因为{3}A B ⋂=,则1B ∉.所以1U C B ∈,则U
A B I ð必含有1,不合题意,所以1A ∉
同理可判断5,7A A ∉∉ 综上可知, {3,9}A = 故答案为:{3,9} 【点睛】
本题考查了元素与集合的关系,集合与集合的交集与补集运算,对于元素的分析方法,属于基础题.
11．建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________ 【答案】40人
【解析】根据集合的交集运算,结合韦恩图即可求解.
设{
U x x =为建平中学高一某班全体学生} 集合{A x =参加大舞台的学生} 集合{
B x =参加风情秀的学生}
两个节目都参加的人数为n ,只参加风情秀的人数为m . 两个节目都不参加的人数为7n +,只参加大舞台的人数为3m + 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知
()3
378
m n m n m n +=
+++++ 解得15m n += 所以总的人数为3
15408
÷=人 故答案为: 40 【点睛】
本题考查了集合的基本运算在实际问题中的应用,常常借助韦恩图来分析各量间的关系,属于基础题.
12．已知集合{1,2,3}A =，{|}B E E A =⊆，令||E 表示数集E 中所有元素的和，对集合B 中所有元素均求||E ，则这些||E 的值的和为________ 【答案】24
【解析】根据E A ⊆,可列举出集合E. 对集合B 中所有元素均求||E 即可求得这些||E 的值的和. 【详解】
因为集合{1,2,3}A =,且E A ⊆
则E 集合的所有可能为:∅,{}1,{}2,{}3,{}1,2,{}1,3,{}2,3,{}1,2,3 则()()()()12312132312324E =+++++++++++= 故答案为: 24
本题考查了集合的包含关系及集合各个子集,由题意求集合子集中各元素的和,属于基础题.
三、解答题
13．证明：“已知a 、b ∈R ，若22220a ab b a b ++++-≠，则1a b +≠.”为真命题. 【答案】证明见解析.
【解析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. 【详解】
由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. “已知a 、b ∈R ,若22220a ab b a b ++++-≠,则1a b +≠.
其逆否命题为“已知a 、b ∈R ,若1a b +=,则22220a ab b a b ++++-=. 证明如下:若1a b += 则2222a ab b a b ++++-
()()2
2a b a b =+++-
1120=+-=
所以 “已知a 、b ∈R ,若1a b +=,则22220a ab b a b ++++-=.成立 即原命题“已知a 、b ∈R ,若22220a ab b a b ++++-≠,则1a b +≠.”为真命题 得证. 【点睛】
本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题.
14．已知全集为R ，集合{|1}A x x a =<-，{|2}B x x a =>+，
{|1C x x =≤或4}x >.若()A B C C =R U U ð，求实数a 的取值范围. 【答案】1a ≤-或5a >.
【解析】根据集合的并集与补集运算,由集合的关系即可求得参数a 的取值范围. 【详解】
集合{|1}A x x a =<-,{|2}B x x a =>+ 则{}
12A B x x a x a ⋃=-+或
则(){}
12R C A B x a x a ⋃=-≤≤+ 因为()A B C C =R U U ð
则()R C A B C ⋃⊆.而{|1C x x =≤或4}x > 所以21a +≤或14a -> 解得1a ≤-或5a >
故实数a 的取值范围为1a ≤-或5a > 【点睛】
本题考查了集合并集与补集的基本运算,集合与集合的基本关系,属于基础题.
15．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；
（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围. 【答案】（1）1
2m ≥
（2）12
m <或m 1≥ 【解析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.
（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围. 【详解】
（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈ 因为命题p 为真命题 所以210m -≥ 解得12
m ≥
（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根
当命题q 为真命题时,1212
440020m x x m x x ∆=->⎧⎪
+=>⎨⎪⋅=>⎩
解得01m <<
当命题p 和命题q 都为真命题1201
m m ⎧≥⎪
⎨⎪<<⎩
所以
1
12
m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则1
2
m <
或m 1≥ 所以实数m 的范围为1
2
m <或m 1≥ 【点睛】
本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.
16．称正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：如果对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与
i
j
a a 两数中至少有一个属于A . （1）分别判断集合{1,3,6}与{1,3,4,12}是否具有性质P ；
（2）设正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，证明：对任意1i n ≤≤（i ∈*N ），i a 都是n a 的因数； （3）求30n a =时n 的最大值
【答案】（1）{1,3,6}不具有性质P ；{1,3,4,12}具有性质P ；（2）见解析（3）4 【解析】（1）根据定义,验证给定的集合{1,3,6}与{1,3,4,12}即可判断是否具有性质P . （2）根据性质P 的定义,利用反证法即可证明.
（3）由（2）可知, i a 都是30n a =的因数,即可求得n 的最大值. 【详解】
（1）根据定义如果对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤,i j a a 与i
j
a a 两数中至少有一个属于A . 可知对于集合{1,3,6},36⨯与
6
3
都不属于{1,3,6} 所以集合{1,3,6}不具有性质P .
对于集合{1,3,4,12},13,14,112,34⨯⨯⨯⨯或1212
,34
都属于{1,3,4,12} 所以集合{1,3,4,12}具有性质P .
（2）证明: 正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P
即对于任意i 、j (1)i j n ≤≤≤i j a a 与
i j a a 两数中至少有一个属于A . 假设存在一个数i a 不是n a 的因数
即有i n a a 或i n n i
a a a a 或都不属于A .这与性质P 矛盾 所以假设不成立
则对任意1i n ≤≤（i ∈*N ）,i a 都是n a 的因数成立
得证.
（3）由（2）可知, i a 都是30n a =的因数
而30235=⨯⨯
则30的因数分别为1,2,3,5,6,10,15,30
因而n 的最大值为8
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用,反证法的应用,对分析问题、解决问题的能力要求较高,属于中档题.。