高三下学期4月学情调研联考理科数学试题(原卷版)

2020届高三学情调研联考
理科数学试题卷
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. [3,4]
B. (3,)-+∞
C. (,4]-∞
D. (3,4]-
2.x ，y 互为共轭复数，且()2
3i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）
A. 2
B. 1
C. 22
D. 4
3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的
绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A. 20
B. 27
C. 54
D. 64
4.如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则λ
μ
=（ ）
A.
12
B.
13
C. 2
D.
23
5.已知定义在R 上的函数||
()2
1x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，
(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. c b a <<
6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为
1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）
A. 23
B. 22
C.
6 D. 2
7.已知双曲线22
22C :1(0,b 0)x y a a b
-=>>的左、右焦点分别为()10F c
－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围
为( )
A. 1353⎛ ⎝
B. 5,13)
C. 131,(5,)3⎛+∞ ⎝⎭
U
D. 5)(13,)+∞U
8.已知在关于x ，y 的
不等式组0
10x y a x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
，(其中0a >)所表示的平面区域内，存在点()00,P x y ，满足()()
22
00331x y -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (],3-∞
B. )
62,⎡+∞⎣
C. (
,62-∞
D. )
62,⎡+∞⎣
9.设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=，则()tan A B -的最大值为 A.
3
2
B.
34
C.
32
D.
310.已知函数2
2()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->
⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）
A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
B. 15,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11.已知抛物线C ：2
4y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的
一条切线与y 轴交于Q ，则PQF ∆外接圆面积的最小值为（ ）
A.
2
π B.
22
π C.
2π
D. 2π
12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ） A. 163
(0,
]27
B. 83
(0,
]27
C. 23
(0,
]3
D. 3(0,
]3
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知二项式6
1ax x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为160-，则a =__________．
14. 观察分析下表中的数据： 多面体
面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥
5 6 9 五棱锥
6 6 10 立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.
15.设函数()()e
1x
f x x =-，函数()
g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得
()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．
16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且
2CA CB mc =⋅u u u v u u u v
，有下列结论：
①28t <<； ②2
29
m -
<<
； ③4t =，ln 2a =时，ABC ∆的面积为215ln 2
；
④当5
2
8t <<时，ABC ∆为钝角三角形.
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：11
4
a =，1n n a
b +=，121n
n n
b b a +=
-. （1）证明：11n b ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．
18.在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=o ，1
tan 2
ACB ∠=
.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：
（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '
（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角大小.
19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.
（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为
()11
91
1,2,31010
n n P n P n --⎛⎫+
= ⎪
⎝=⎭
，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；
②该团队以i P 从小到大的
顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.
20.如图，设抛物线C 1:2
4(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点
F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为1
2
e =
，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.
（1）当
3
2a +
取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线
MP 的方程. 21.已知函数()ln x
f x a x e
=+，其中a 为常数． （1）若直线y x e
2
=
是曲线()y f x =的
一条切线，求实数a 的值；
（2）当1a =-时，若函数()()ln x
g x f x b x
=-
+在[)1+∞，
上有两个零点．求实数b 的取值范围． 22.在平面直角坐标系
xoy 中，直线l 的参数方程为2,
1x t y t
=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅u u u v u u u v
的取值范围；
（Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2
f x x x
≥+恒成立，求m 的取值范围．。