人教版九年级数学上册期末综合能力提升卷(二)(含答案解析)

人教版九年级数学上册期末综合能力提升测试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.将下图以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（）
A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天定下雨
C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
D.数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7
3.已知关于x的一元二次方程22
(1)2230
k x x k k
+++--=的常数项等于0，则k的值等于（）
A.-1
B.3
C.-1或3
D.-3
4.如图，AD是⊙O 的直径，=，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
5.下列说法错误的是（）
A.关于x的方程2x k=必有两个互为相反数的实数根
B.关于x的方程20(0)
ax bx a
+=≠必有一根为0 C.关于x的方程22
()
x c k
-=必有两个实数根
D.关于x的方程22
1
x a
=-可能没有实数根
6.某楼盘准备以每平方米16000元的均价对外销售，由于受有关房地产的新政策影响，购房者持币观望.开发商为促进销售，对价格进行了连续两次下调，结果以每平方米14440元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率为（）
A.5%
B.8%
C.10%
D.l1%
7.如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（）
A.3-1）
B.（1，3）
C.（3-2）
D.（2，3）
8.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程（x-3）（x-5）=0的一根，则此三角形的外接圆的半径是（）
A.3.2
B. 25
8
C.3.5
D.4
9.箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（）
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
10.抛物线C1：2
1
421
y mx mx n
=-+-与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（-1，2），请结合图分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，-1）；
③m>2
5
；④若抛物线C2：2
2
y ax
=（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围
是2
25
≤a<2；⑤不等式2420
mx mx n
-+>的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数
值均为正数.其中正确结论的个数为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.在一个不透明的袋子中放有a个红球，b个黑球6个白球，这些球除颜色外完全相同，
若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发
现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a，b的关系是______.
12.有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形，平行四边形，矩形正方形，
菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的
概率为______，是中心对称图形的概率为______，既是轴对称图形又是中心对称图形的
概率为______.
13.关于x的一元二次方程2
mx nx
+=0的一根为x=3，则关于x的方程2
(2)2
m x nx n
+++=0
的根为______.
14.抛物线2
y ax bx c
=++经过A（-3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程
2
(1)
a x c
b bx
-+=-的解是______.
15.为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年11月份组织了“县长杯”校园足
球比赛.在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可用公式
2
5
h t v t
=-+表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，0v（m/s）是足球被踢出时
的速度，如果足球的最大高度为20m，那么足球被踢出时的速度应达到______m/s.
16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF中，AB=5，AE=AF=4，连接BF，DE.若△AEF绕点A旋
转，当∠ABF最大时，S△ADE=______.
17.如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、所在圆的圆心分别在边
AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为______.
18.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点AB在一个半径为2的圆上，顶点C、D在圆
内.将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向做无滑动的滚动.当点C第一次落在圆上时，
点C运动的路径长为______.
19.如图，P是抛物线24
y x x
=-+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，
当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为______.
20.抛物线223
y x x
=+-与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，如图.在这个新图象上有一点P，能使得S△ABP=6，则点P的坐标为______.
三、解答题（共60分）
21.（6分）已知关于x的一元二次方程220
x x m
++=.
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根.
22.（8分）抛物线2
y ax bx c
=++中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如下表：
（1）求该抛物线的表达式：
（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2，4）的位置，那么其平移的方法是___________________.
23.（8分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，问这种干果每千克应降价多少元？
24.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC. （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点B 是的中点，⊙O的半径为2，求的长.
25.（8分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字不同外，其他完全相同. （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是______；（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（0，-2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率.
26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x 轴另一交点为M，与y轴另一交点为G，连接AE.
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若点A，D的坐标分别为（0，-1），（2，0），求⊙F的半径；
（3）在（2）的条件下，求经过M，F，D三点的抛物线的解析式.
27.（12分）
（1）【操作发现】
如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=_____度；（2）【类比探究】
如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形；
（3）【解决问题】如图③，在边长为7的等边三角形ABC内有点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC 的面积；
（4）【拓展应用】
如图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量，AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值.
参考答案
一、选择题
1.答案：D
解析：选项A中图形是通过轴对称得到的，选项B中图形是通过平移或旋转360°得到的，选项C中图形是通过轴对称得到的，选项D中图形是通过旋转180°得到的.故选
D.
2.答案：D
解析：打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A中说法错误；天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B中说法错误；两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C中说法错误；数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，故D中说法正确.故选D.
3.答案：B
解析：由题意，得2230
k k
--=且k+1≠0，所以（k-3）·（k+1）=0且k+1≠0，所以k=3.
故选B.
4.答案：B
解析：∵，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=100°，∴∠BPC=1
2
∠BOC=50°.故选B.
5.答案：A
解析：关于x的方程2x k
=，当k≥0时，方程有两个互为相反数的实数根，当k＜0时，方程无实数根，所以A选项的说法错误；当x=0时，关于x的方程20
ax bx
+=（a≠0）两边相等，所以B选项的说法正确；解方程22
()
x c k
-=得x c k
=±，所以C选项的说法正确；当a>1或a<-1时，关于x的方程22
1
x a
=-没有实数根，所以D选项的说法正确.故选A. 6.答案：A
解析：设平均每次下调的百分率为x，依题意，得160002
(1)x
-=14440，解得1x=0.05=5%，2
x=1.95（不合题意，舍去）.故选A.
7.答案：B
解析：设斜边长为4的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转120°后得△A'OB'，点P到了P'的位置，如图所示由旋转知∠BOB'=120°，所以∠2=120°-90°=30°=∠ABO=∠3，于是AB'∥x轴，因此OC⊥A'B'，且∠1=30°.作PD⊥x轴于点D，得矩形OCP'D.在Rt△
A'OC中，OA'=1
2
AB'=2，A'C=1
2
OA'=1，∴OC22
213
=-=.∵A'P'=1
2
A'B'=2，∴P'C=2-1=1，PD'=OC=3.∵点P'在第四象限，点P的对应点P'的坐标是（1，-）3，故选B.
8.答案：B
解析：解方程（x-3）（x-5）=0得x=3或x=5，若腰长为3，则三角形的三边长为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时能组成三角形.如图所示，AB=AC=5，BC=6，O为△ABC的外接圆的圆心，连接AO并延长交BC于D，连接OB，则AD⊥BC，BD=3，由勾股定理可得AD=4.设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=4-r，在Rt△OBD中，BD2+OD2=OB2，即222
3(4)r r
+-=，解得r=25
8
.故选B.
9.答案：B
解析：画树状图如下：
由树状图可知，共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8
种结果，∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率为81
243
=.故选B.
10.答案：B
解析：抛物线的对称轴为直线422b m
x a m
-=-
=-
=2，故①正确；当x=0时，y=2n-1，故②错误；把A 点坐标（-1，2）代入抛物线解析式得2=m+4m+2n-1，整理得2n=3-5m ，代入
21421y mx mx n =-+-，整理得21425y mx mx m =-+-，由题中图象可知，抛物线交
y 轴于负
半轴，则2-m<0，即m>2
5
，故③正确；由抛物线的对称性，知点B 的坐标为（5，2），当22y ax =的图象分别过点A 、B 时，其与线段分别有两个和有唯一一个公共点，此时，a 的值分别为2、
225，a 的取值范围是2
25
≤a<2，故④正确；不等式242mx mx n -+>0的解是抛物线214y mx mx =-+2n-1位于直线y=-1上方的部分对应的自变量的取值，由题中图象可知此时x 的取值使2
1421y mx mx n =-+-的图象在x 轴上下方均有，故⑤错误.故选B.
二、填空题 11.答案：a+b=18
解析：通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，可估计从中摸出一个球，恰好是白球的概率为0.25，所以
6
6
a b ++，解得a+b=18，又当a+b=18时，66a b ++，
有意义，所以a ，b 的关系是a+b=18. 12.答案：45
；45
；35
解析：题中所列的五个图形中，轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，菱形；中心对称图形有平行四边形，矩形，正方形，菱形.则从中随机抽取一张，共5种等可能的结果，其中是轴对称图形的有4种结果，是中心对称图形的有4种结果，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3种结果，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形
的概率为4
5，是中心对称图形的概率为45，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为35
. 13.答案：1212x x ==-，
解析：∵关于x 的一元二次方程20mx nx +=的一根为x=3，∴9m+3n=0，且m ≠0，解得n=-3m ，且m ≠0，∴关于x 的方程2(2)20m x nx n +++=为244360mx mx m mx m ++--=，整理可得220mx mx m +-=，∵m ≠0，∴220x x +-=，解得1212x x ==-，. 14.答案：1225x x =-=，
解析：关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-变形为2(1)(1)0a x b x c -+-+=，因为把抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向右平移1个单位可得到抛物线2(1)(1)y a x b x c =-+-+，抛物线
2y ax bx c =++经过A （-3，0）、B （4，0），所以抛物线2(1)(1)y a x b x c =-+-+与x 轴的两交
点坐标为（-2，0），（5，0），所以一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为1225x x =-=，. 15.答案：20
解析：2
05h t v t =-+图象的对称轴为直线t=010v ，当t=010v 时，h 最大2
00
05201010v v v ⎛⎫=-⨯+⋅= ⎪⎝⎭
，解得0v =20或0v =-20（不合题意，舍去），故如果足球的最大高度为20m ，那么足球被踢出
时的速度应达到20m/s.
16.答案：6
解析：如图，作DH⊥AE，交EA的延长线于H，∵AF=4，当△AEF绕点A旋转时，点F 在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线，即BF⊥AF时，∠ABF最大在Rt△ABF中，BF=22
54
-=3，∵∠EAF=90°，∴∠BAF+∠BAH=90°.∵∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠DAH=∠BAF.在△ADH和△ABF中，
AHD AFB
DAH BAF
AD AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
，
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），∴
DH=BF=3，∴S△ADE=1
2AE·DH=1
2
×4×3=6.
17.答案：3
2
a
解析：如图，连接DE、AE，作DE的中垂线交CD于点G，作AE的中垂线交AB于点H，则G为所在圆的圆心，H为所在圆的圆心，易知F在DE、AE的中垂线上.连接EF、GH，交于点O，连接HE、EG.设GE=CD=x，则CG=2a-x，易知CE=a，Rt△CEG中，
222
(2)
a x a x
-+=，解得x=5
4a，∴GE=FG=5
4
a.同理可得，EH=FH=5
4
a，∴四边形EGFH是菱
形，∴EF⊥GH.易知四边形BCGH是矩形，∴GO=1
2
BC=a，∴Rt△OEG中，
OE
2
2
53
44
a a a
⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
，∴EF3
2
a
=.
18.答案：12
36
π
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
解析：如图，第一次滚动后，点D落在圆上的点D'处，此时点C转到C'处，连接AC、
AC'.∵正方形的边长为2，∴AB=BC=AD=AD'=2，∴AC=2.∵圆的半径是2，∴AB、AD'
为圆内接正六边形的两边，∠BAD'=120°.∵∠BAD=90°，∴∠DAD'=30°，∴∠
CAC'=30°，∴第一次滚动中，点C运动的路径是以A为圆心，AC为半径，圆心角为30°
的一段弧.观察图形可知，第二次滚动时，点C第一次落在圆上，同理可得点C运动的
路径是以D'为圆心，D'C'为半径，圆心角为30°的一段弧，∴当点C第一次落在圆上时，
点C运动的路径长为30230212
18018036
ππ
π
⎛⎫
⨯⨯
+=+
⎪
⎪
⎝⎭
.
19.答案：（2，1）或（2，1）或（2，-1）
解析：当y=1时，243
x x
-+=1，解得x=22P的坐标为（2）或（2，1）；
当y=-1时，243
x x
-+=1，解得12
x x
==2，∴P（2，-1）.综上，点P的坐标为（21）
或（2，1）或（2，-1）.
20.答案：（7，3）或（73）或（-2，3）或（0，3）
解析：把y=0代入223y x x =+-得223x x +-=0，解得1x =-3，2x =1，A （-3，0），B （1，0），∴AB=4.∵2223(1)4y x x x =+-=+-，∴M （-1，-4）.将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，此时翻折后的抛物线的顶点坐标为（-1，4）. 由于抛物线翻折，开口方向改变，形状不变，
则翻折后抛物线的解析式为22(1)423(31)y x x x x =-++=--+-<<.
设点P 的横坐标为a ，当点P 在原抛物线223y x x =+-上时（x 轴上方的部分）， 可得()2142362
a a ⨯⨯+-=， 解得121717a a =-=-，， ∴P1（7，3），P2（7，3）.
当点P 在新抛物线223y x x =--+上时（x 轴上方的部分），可得()21
42362
a a ⨯⨯--+=， 解得3420a a =-=，，∴P3（-2，3），P4（0，3）.
综上，点P 的坐标为（73）或（7，3）或（-2，3）或（0，3）. 三、解答题 21.答案：见解析
解析：（1）当m=3时，原方程为2230x x ++=， ∴2241380∆=-⨯⨯=-<， ∴当m=3时，原方程没有实数根.
（2）当m=-3时，原方程为2230x x +-=， 即(3)(1)0x x +-=， 解得1231x x =-=，，
∴当m=-3时，方程的根为-3和1. 22.答案：见解析
解析（1）∵抛物线2y ax bx c =++过点（-1，0），（0，-1），（1，-4），
∴0,4, 1,a b c a b c c -+=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩，解得121a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
，，，， ∴该抛物线的表达式为221y x x =---. （2）向右平移3个单位，向上平移4个单位. 23.答案：见解析
解析：（1）设一次函数的关系式为y=kx+b （k ≠0）， 当x=2时，y=120；当x=4时，y=140，
∴21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩
，，
解得10100k b =⎧⎨
=⎩，
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y=10x+100. （2）由题意，得
（60-40-x ）（10x+100）=2090， 整理得21090x x -+=， 解得1219x x ==，，
∵要让顾客得到更大的实惠，
∴=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.
24.答案：见解析
解析（1）DE是⊙O的切线理由：连接OD，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°，
∴∠COD=2∠ABC=90°.
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD=180°，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线.
（2）如图，连接OB，
∵点B 是的中点，
∴，
∴∠BOC=∠BOD. ∵∠BOC+∠BOD+∠COD=360°，∠COD=90°，
∴∠BOC=135°，
∴的长13523
1802
π
π
⋅⨯
==.
25.答案：见解析
解析：（1）1
4
.
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的有（-2，0），（-1，-1），（-1，0），（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，0）这8
个结果，所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为1
2
.
26.答案：见解析
解析：（1）证明：如图，连接FE，
∵⊙F与边BC相切于点E，
∴∠FEC=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠ACB=180°，
∴FE∥AC，
∴∠EAC=∠FEA.
∵FA=FE ， ∴∠FAE=∠FEA ， ∴∠FAE=∠EAC ， ∴AE 平分∠BAC.
（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ， ∵A （0，-1），D （2，0）， ∴OA=1，OD=2.
在Rt △FOD 中，FD 2=（AF-OA ）2+OD 2， ∴222(1)2r r =-+，解得52
r =， ∴⊙F 的半径为5
2
.
（3）∵FA=5
2
r =，OA=1，
∴FO=32，∴F （0，32
）.
∵直径AG 垂直平分弦MD ，点M 和点D （2，0）关于y 轴对称， ∴M （-2，0）.
设抛物线的解析式为y=a （x+2）·（x-2）（a ≠0）， 将点F （0，32
）代入，得342
a -=，解得38
a =-，
则经过M ，F ，D 三点的抛物线的解析式为23
3
3(2)(2)8
8
2
y x x x =-+-=-+.
27.答案：见解析
解析：（1）【操作发现】60.
理由：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ， ∴AD=AB ，∠DAB=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∴∠ABD=60°.
（2）【类比探究】证明：如图，以PA 为边长作等边△PAD ，使P ，D 分别在AC 的两侧，连接CD.
∵∠BAC=∠PAD=60°， ∴∠BAP=∠CAD.
∵AB=AC ，AP=AD ， ∴△PAB ≌△DAC （SAS ）， ∴BP=CD.
在△PCD 中，∵PD+CD>PC ， 又∵AP=PD ， ∴AP+BP>PC.
∴以PA ，PB ，PC 的长为三边必能组成三角形.
（3）【解决问题】如图，将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C ，连接PP'.
∴∠AP'C=∠APB=360°-90°-120°=150°，AP=AP'，∠PAP'=60°，△APP'是等边三角形，
∴PP'=AP，∠AP'P=∠APP'=60°，
∴∠PP'C=150°-60°=90°，∠P'PC=∠APC-∠APP'=30°，
∴PP'3
2
=PC，即
AP=3
2
PC.
∵∠APC=90°，AC=7，
∴AP2+PC2=AC2，
即（3PC）2+PC2=（7）2，∴PC=2（舍负），
∴AP=3，
∴S△APC=1
2AP·PC1323
2
=⨯⨯=.
（4）【拓展应用】如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD，BE. ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，∠PCD=60°，
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，
∴∠ACB=∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°.
在Rt△BCE中，∵BC=5，CE=4，
∴BE2222
5441
BC CE
=+=+=
当P，D在BE上时，PA+PB+PC=BE，此时PA+PB+PC41。