湛江市高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立
D ．当9n =时该命题成立
3．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当
1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=7时该命题不成立
B ．当n=7时该命题成立
C ．当n=9时该命题不成立
D ．当n=9时该命题成立 4．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ）
A ．a ，b 都是负实数
B ．a ，b 都不是正实数
C ．a ，b 中至少有一个不是正实数
D ．a ，b 中至多有一个不是正实数
5．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
6．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，c
a
的值（ ） A ．都大于1
B ．都小于1
C ．至多有一个不小于1
D ．至少有一个不小于1
7．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．利用数学归纳法证明不等式()()
111
1+
+++
,2,23
2
n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项
C ．12k -项
D ．2k 项
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
10．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图
中⑸，⑹对应的运算是( )
A ．*
B D ，*A D B ．*B D ，*A
C C ．*B C ，*A
D D ．*C D ，*A D
11．在平面直角坐标系中,方程
1x y
a b
+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．
1x y z ab bc ca
++= C ．
1xy yz zx ab bc ca
++= D ．1ax by cz ++=
12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯
D ．201601822⨯
二、填空题
13．已知f (x )＝21
x
x +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____. 14．如图所示，
椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，,A B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB AB
⊥51
-，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于___________.
15．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，
则
121
2
C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABC
D 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则
1
2
S S =__________． 16．已知数列{}n a 为等差数列，则有
12320a a a -+= 1234330a a a a -+-= 123454640a a a a a -+-+=
类似上三行,第四行的结论为________________.
17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}
1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为
()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数
对为__________．
18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .
20．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则
121
2
r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为
2R ，则
1
2
R R =__________． 三、解答题
21．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()2
2
221222,
n x x x n n n N +
++
+=+∈，
（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；
（2）已知
1223
1
11
1
3n n x x x x x x ++++
=+++，求n ；
（3）试用数学归纳法证明：2
122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤++
+<+-⎣⎦．
22．已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,11331542,,a b a b a a b ===+=．设
,n n n n c a b S =是数列{}n c 的前n 项和．
(1)求,n n a b ；
(2)试用数学归纳法证明：1
8(34)2n n S n +=+-⋅．
23．（1）已知数列{}n a 通项公式为()
12
n n n a +=，写出数列前5项. （2）记数列3333331,2,3,4,5,,,
n 的前n 项和为n S ，写出n S 的前5项并归纳出n
S 的计算公式.
（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明.
24．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中
11a =.
（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；
（3）设数列{}n b 满足()1
21n
b n
n N a *=+
∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T
a +>恒成立.
25．已知正项数列{}n a 中，11a =且
1111
,.n n n n
a a n N a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 26．观察下列等式：
11=；
2349++=； 3456725++++=；
4567891049++++++=；
……
（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】
由题意，列出树形图，如图所示
由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
2．A
解析：A 【解析】
分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对
1n k =-也不成立，即可得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立， 命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立， 否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立， 与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．
点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
3．A
解析：A 【解析】
分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数
均不成立，由此不难得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．
点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．
4．C
解析：C 【解析】
分析：“都是”的否定为“不都是”，观察选项只有C 符合.
详解：“都是”的否定为“不都是”，故“a ，b 都是正实数”否定为“a ，b 中至少有一个不是正实数”. 故选C.
点睛：本题考查命题的否定，属基础题.
5．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()
()
1111
1
11121321k S k k k k +=+++
+
+++++++
()
1111
23421k k k k =++++++++
()
111111234
22121k k k k k k =
+++++++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
解析：D 【解析】
分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则1
12
a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则
21a
b
=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b c
b c a
<<<，则
3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<
7．A
解析：A
【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；
若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选A.
点睛：本题考查合情推理，属基础题.
8．D
解析：D 【分析】
分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】
当n k =时，不等式左边为11
1
1232
k +
+++
，当1n k =+时，不等式左边为1
11111123
2212
k k k ++
+++
+++
+，则增加了112(21)1222k k k k k
++-++=-=项，故选D. 【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解
决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【详解】
解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ． 【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
10．B
解析：B 【解析】
由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.
11．A
解析：A 【分析】
平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y z
a b c
++=. 【详解】
由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：
1x y z
a b c
++=，故选A. 【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平
面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .
12．B
解析：B 【分析】
数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】
由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …
从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣
2，
第2017行只有M ，
则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题
解析：()
20202020
2211
x
x -+. 【分析】
先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()
()
1
211
x x
f x f x x x ，
2221222
2221()()
21
31211
11
x x x x
x f x f f x f
x
x x x x ，
222
332223222
21122()()
2211
211
1
211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ，
333
443334322
21122()()
2211
211
1
211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ，
444
554445
4
22
21122()()
2211
211
1211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ……
可以猜想2()
211n n n x
f x x ，
所以202020202020
2()
211
x
f x x .
故答案为：()
20202020
2211
x
x -+. 【点睛】
本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.
14．【解析】分析：根据类比推理可得黄金双曲线应满足其中F 为左焦点AB 分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点然后求得的坐标后根据题意得到的关系式解方程可得离心率详解：根据黄金椭圆的性质是可得黄金双曲线也满足这
解析：
1
2
. 【解析】
分析：根据类比推理可得“黄金双曲线”应满足FB AB ⊥，其中F 为左焦点，A,B 分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点，然后求得,,A B F 的坐标后根据题意得到,,a b c 的关系式，解方程可得离心率．
详解：根据“黄金椭圆”的性质是FB AB ⊥，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．
如图，设“黄金双曲线”的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
则(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，
(,),(,)FB c b AB a b ==-，
∵FB AB ⊥，
∴20FB AB ac b ⋅=-=， ∴222ac b c a ==-， ∴210e e --=， 解得15e +=
或15
e -=（舍去），
∴黄金双曲线”的离心率e 15
+． 点睛：本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为,,a b c 的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于1这一条件．
15．【解析】分析：平面图形类比空间图形二维类比三维得到类比平面几何的结论确定正四面体的外接球和内切球的半径之比即可求得结论详解：平面几何中圆的周长与圆的半径成正比而在空间几何中球的表面积与半径的平方成正
解析：1
9
【解析】
分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是
13
，1219S S ∴
=，故答案为19. 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
16．【解析】观察前三个式子可知三个式子的项数分别是所以第四个式子有项前三个式子奇数项为正偶数项为负项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四项的结论：故答案为【方法点睛】本题通过观察几组多项式式归纳出一般 解析：1234565101050a a a a a a -+-+-=
观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是3,4,5，所以第四个式子有6项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：
1234565101050a a a a a a -+-+-=，故答案为1234565101050a a a a a a -+-+-=.
【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
17．【解析】根据归纳推理可知每对数字中两个数字不相等且第一组每一对数字和为第二组每一对数字和为第三组每对数字和为第组每一对数字和为第组第一对数为第二对数为第对数为第对数为故答案为 解析：(17,15)
【解析】
根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为5,......，第30组每一对数字和为32， ∴第30组第一对数为()1,31，第二对数为()2,30,.......，第15对数为()15,17，第16对数为
()17,15，故答案为()17,15.
18．3【解析】由①②可知甲取出的小球编号为2乙取出的小球编号可能是3或4又|1－4|＝3>2|1－3|＝2所以由③可知乙取出的小球编号是4丙取出的小球编号是1故丁取出的小球编号是3
解析：3 【解析】
由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.
19．【解析】把二进制数化为十进制数是应填答案 解析：89
【解析】
把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是
6543012021212001289⨯+⨯+⨯+⨯+++⨯=，应填答案89。

20．【解析】从平面图形类比空间图形从二维类比三维可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1所以填
解析：
13
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1.所以填
13。

三、解答题
21．（1
）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析． 【分析】
（1）先根据和项与通项关系求得2
n x ，解得n x ； （2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；
（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可. 【详解】
（1）当2n ≥时2
2
22222
21212122,2(1
)2(1),n n x x x n n x x x n n -++
+=++++=-+- 所以2
2
2
222(1)2(1)4n n n n n x n =+----=
当1n =
时22
1224,40n n n x x n
x x =+=∴=>∴=
（2
）111
2
n n x x +==+
所以
1223111
111
11
(21)(32)(1)(1)322
22
n n n n n
x x x x x x ++++
=-+-+
++-=+=+++解得48n =；
（3）①当1n =时, 2122232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2
122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦
当1n k =+时, 2
12
12122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤++
+<+⎣⎦+-
因为2
1222(2(1)12(212)3)k k x k x k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=+⎣⎦+⎣⎦
22
2(2)12(2)1k k =+⎡⎤⎡⎤+-+-⎣<⎦⎣⎦
即当1n k =+时, 结论成立； 由①②得，2
122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦
【点睛】
本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
22．(1)31,2n
n n a n b =-=；(2)见解析 【分析】
(1) 设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ,再利用基本量法根据题中所给的条件求,d q 即可.
(2)先证明当1n =时结论成立.再假设当n k =时1
8(34)2
k k S k +=+-⋅成立,再根据
11k k k S S c ++=+,化简证明当1n k =+时也成立即可.
【详解】
(1)设{}n a 的公差为{},n d b 的公比为q ,由112a b ==,得1
2(1),2n n n a n d b q -=+-=．
又由33154,a b a a b =+=,得23
222,
2242,
d q d q ⎧+=⎨++=⎩解得3,2d q ==． 所以31,2n
n n a n b =-=．
(2)证明：由(1)知,(31)2n
n c n =-⋅,则14c =． ①当1n =时,1118(314)2
4S +=+⨯-⋅=,结论成立．
②假设当n k =时,1
8(34)2k k S k +=+-⋅成立,则当1
n k =+时,1
1118(34)2
(32)2k k k k k S S c k k ++++=+=+-⋅++⋅
18(62)2k k +=+-⋅2(1)18(31)28[3(1)4]2k k k k +++=+-⋅=++-⋅,结论也成立．
综合①②,由数学归纳法可知,1
8(34)2n n S n +=+-⋅.
【点睛】
本题主要考查了基本量法求解等差等比数列通项公式的方法,同时也考查了数学归纳法证明的问题.属于中档题.
23．（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =；（2）11S =，29S =，
336S =，4100S =，5225S =，()2
214
n
n n S +=；（3）证明见解析. 【分析】
（1）根据通项公式直接计算前5项即可.
（2）首先计算n S 的前5项，再归纳n S 即可.
（3）首先验证1n =时等式成立，假设n k =时，等式成立，再证明1n k =+时等式也成立即可证明. 【详解】
（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =.
（2）11S =，3
2129S =+=，3
39336S =+=，3
4364100S =+=，
3
51005225S =+=，故()2
214
n n n S +=
（3）当1n =时，1n S =，显然等式成立.
假设n k =时，等式成立，即有()2
214
k
k k S +=，
则当1n k =+时有：()()()2
23
3
11114
k k
k k S S k k ++=++=++ ()()()()()()22
2
22
2
11112114 44k k k k k k k +++++⎡⎤=+++==
⎥⎣⎡⎤⎣⎦⎢⎦
所以当1n k =+时，等式也成立. 故原等式成立，归纳公式正确. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的证明，同时考查了数列的通项公式，属于中档题. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】
（1）解：141n n n S a a +=+①；1141n n n S a a --=+②；①－②,化简可得114n n a a +--=，53314a a a a -=-=，得证；
（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，可得21n a n =-，即{}n a 是等差数列；
（3）解：根据题意，2
2log 21
n n b n =-，22462log 13521n n T n =⨯⨯⨯⨯-…；
要证2122log log (21)n n T a n +>=+
，即证246213521
n n ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =
时，2> 假设当n k =
时，
246213521
k
k ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n k =+
时，24622222
135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++
…=
>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立．
25．（1
）23422a a a ==
；n a 2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）逐个计算计算出234,,a a a
的值，再通过观察可猜n a 2）先检验
n=1满足，再假设()
*
1,n k k k N =≥∈时（*
）式成立，即k a =1n k =+
1k a +即可证明。

【详解】
（1） 令2,n =
得
2121
11
a a a a -=+=
化简得(2
23a =，
解得2a =
或2a = 20,a >
2a ∴
令3,n =
得
3232
11
a a a a -=+=
化简得(2
34a =，
解得32a =
或32a =- 30,a >
32a ∴=
令4,n =得4343
114,a a a a -=+=化简得()2325a +=，
解得42a =
或4 2.a = 40,a >
4 2.a ∴=
猜想n a （*）.
①当1n =
时，11a ==*）式成立；
②假设()
*
1,n k k k N =≥∈时（*
）式成立，即k a =，
那么当1n k =+
时，1111
k k k k
a a a a ++-=+=
化简得(2
12,k a k +=+ 10,k a +>
1k a +∴=
所以当1n k =+时，（*）式也成立.
综上：由①②得当*n N ∈
时，n a = 【点睛】
本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳法。

26．（1）()2
21n -；（2）证明见解析. 【解析】
分析：（1）第n 个等式为()()()()()2
12...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈.(2)利用
个数学归纳法证明猜想.
详解：（1）第n 个等式为()()()()()212...3221*n n n n n n N ++++++-=-∈；
（2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，左边1=，右边211==, 所以当1n =时，原等式成立.
②假设当()*n k k N =∈时原等式成立，即
()()()()()2
12....3221*k k k k k k N ++++++-=-∈,
则当1n k =+时，()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++
()()()2
2131331k k k k k ⎡⎤=--+-+++⎣⎦
()()2
2244121211k k k k ⎡⎤=++=+=+-⎣⎦,
所以当1n k =+时，原等式也成立.
由①②知，（1）中的猜想对任何*n N ∈都成立.
点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，
()()()()()12....3231331k k k k k k +++++-+-+++=()2
211k ⎡⎤+-⎣⎦
.。