高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》易错题汇编含解析

【最新】数学《矩阵与变换》复习资料
一、15
1．用行列式解关于x 、y 的方程组3
(31)484
mx y m x my m -=⎧⎨
+-=+⎩，并讨论说明解的情况.
【答案】当1m =时，无穷解；当14
m =-
时，无解；当1m ≠且1
4m ≠-时，有唯一解，
441x m =
+，83
41m y m +=-
+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：
3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
Q 21
431(41)(1)431m
m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，
44431
48x D m m
m -==--+，
()()23
853*******
y m D m m m m m m =
=--+++=-，
①当1m ≠且1
4
m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，
即144(41)4(14)x D m x m D m m -=
==+++-，()()()()83183
41141
y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1
4
m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】
本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩
的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧
⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1
323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩
解的情况.
【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12
x a y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无
解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【解析】 【分析】
由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】
()21
333a D a a a a a a
=
=--=-+-,
()()11233323x D a a a a a a -==-+=--=-++-, ()()21
2332623323
y a
D a a a a a a a a a -=
=++=+=++,
①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩
,即12x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；
②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；
③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解
可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
4．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
.
【答案】见解析 【解析】
【分析】
计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441
m D m m
=
=-，()242x m D m m m
m
+=
=-，
()()222211
y m m D m m m m m
+=
=--=-+.
①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，
原方程组有唯一解()()()22242
21142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩
；
②当240D m =-=时，2m =±.
（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；
（ii ）当2m =时，0x y
D D D ===，原方程为244
22
x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
5．已知P :
矩阵图5
11
0x x ⎛⎫+
⎪
+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114
2031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.
【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】
因为矩阵图511
0x x ⎛⎫+
⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以5
21x x +≥+，解得 13x -≤≤；
因为行列式1
1
4
2
031
2
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以23
2321
1
m
m x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.
【点睛】
本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.
6．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，
由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+
⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =； 所以矩阵2011M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
7．用行列式方法解关于x y 、的方程组：(
)()1
R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进
行讨论.
【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】
Q 关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨
+=⎩，(
)()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩
∴21
|
|1(1)(1)1a D a a a a
==-=+-，21
|
|(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a
-==-+=-++=--+-
211|
|(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121
x D a a a a a
==-+=+-- 21|
|21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21
||41(21)(21)14y a D a a a a
==-=+-.
（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1a =时，无解； （3）当1
2
a =-，时无穷解． 【点睛】
本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．
8．已知线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．
()2由1703450105210521021
21258102540202001
012121⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．解关于x ，y 的方程组93x ay a
ax y +=⎧⎨+=⎩
.
【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】
分别计算得到29D a =-，6x D a =，2
3y D a =-，讨论得到答案.
【详解】
2199
a D a a =
=-，639
x a a D a =
=，2133
y a D a a =
=-.
当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2
2
26939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】
本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.
10．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩
，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】
根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】
(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；
① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解； ② 当5
2
a =-
，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52
a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，5
25z a =-
+. 【点睛】
本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.
11．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】
【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr
．
【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤
⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】
2
2
242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解；
当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
13．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤
⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .
【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】
由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2
314
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，
即矩阵2314A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.
14．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组3
22
ax by x y +=⎧⎨+=⎩.
（1）求此方程组有解的概率；
（2）若记此方程组的解为0
x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.
【答案】（1）1112；（2）
13
36
. 【解析】 【分析】
（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；
（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】
（1）因为方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a b a b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩
Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b ---≠>>--，
因此12,,33
a a
b b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】
本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.
15．
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -. 【答案】_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 【解析】
试题分析：
应用结合矩阵变换的定义可得：01
b a =⎧⎨=-⎩，据此求解逆矩阵可得：_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 试题解析：
设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵11
02A -=对应的变化下得到
122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩
，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
, 求得逆矩阵_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
16．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A .
【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨
=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。

【详解】 解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r ， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩
（2）由（1）知4103A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

17．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；
（2）求x ，y 的值.
【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；
（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】
（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
. （2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ∴12
x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.
18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 【答案】
【解析】
【分析】 运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】 由特征值、特征向量定义可知，
， 即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
19．设变换T 是按逆时针旋转
2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；
（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.
【解析】
【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程.
【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin 012210sin cos 22M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y y x =⎧⎨=-⎩， 因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=， 即2y x =-，
所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-.
【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
20．设函数()()271f x x ax a R =-++∈.
(1)若1a =-，解不等式()0f x ≥；
(2)若当01x x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
(3)设()121x g a
x x +-=-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3
⎛
⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-. 【解析】
【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围. （3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为722710
x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当72x <时，不等式可化为727210
x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦
U . （2）01x x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-在()0,1上恒成立，而77x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-.
故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1211
2x g x x ax a x a +==-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++， 即27211x x a ---≤-在R 上有解.
令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当72
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-.
故实数a 的取值范围为4a ≥-.
【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.。