初中数学证明题知识点大全（精华）

北师大版初中证明题知识点大全一、相交线与平行线1、平行线的性质（1）两线平行，内错角相等（2）两线平行，同位角相等（3）两线平行，同旁内角互补2、平行线的判定（1）内错角相等，两线平行（2）同位角相等，两线平行（3）同旁内角互补，两线平行（4）同平行于一线的两线平行（5）同垂直于一线的两线平行二、角平分线
1、角平分线的性质
定义：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线的判定
（1）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（2）把一个角分成相同角度的线叫做角平分线。

3、三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
三、垂直平分线
1、垂直平分线的意义及性质
（1）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（3）三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
2、垂直平分线的判定
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线段的中线并且垂直于这条线段四、三角形全等1、全等三角形的判定（1）定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS ）（2）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS ）（3）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA ）（4）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) （5）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL) 2、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等. 五、相似三角形1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形．2．相似比定义：相似三角形对应边的比．3．相似三角形的判定（1）对应边相等，对应角成比例。

（2）两角对应相等的两个三角形相似。

AA
（3）两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

SAS
（4）三边对应成比例的两个三角形相似。

SSS
4．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。

5、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

六、勾股定理
（1）若三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c ，那么这个三角形是直角三角形三角形
（2）若222a b c ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是三角形；
（3）若222a b c ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是三角形；
（4）用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n （2,n n 为正整数）；
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2221,22,221n n n n n （n 为正整数）2222,2,m n mn m n （,m n m ，n 为正整数）七、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等八、等边三角形
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：
（1）具有等腰三角形的所有性质。

（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

3、等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

九、直角三角形
1、直角三角形的性质
（1）定理：直角三角形的两个锐角互余.
（2）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
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（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

2、直角三角形的判定（1）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. （2）定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 十、平行四边形1、平行四边形的性质（1）定理：平行四边形的对边相等. （2）定理：平行四边形的对角相等. （3）定理：平行四边形的对角线互相平分. （4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 2、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （3）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
十一、特殊平行四边形
菱形
1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
2、菱形的性质：具有平行四边形的所有性质。

还有以下个性：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；
（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

3、菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：是一个平行四边形；?两条对角线互相垂直．
（2）四边都相等的四边形是菱形．
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矩形1、矩形定义：有个一角是直角的平行四边形叫做矩形（1）矩形是特殊的平行四边形；（2）有一个角是直角．2、矩形的性质：具有平行四边形的所以性质。

还有以下个性：性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等。

矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。

3、矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（定义法）（2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等（3）都是直角的四边形是矩形．（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

正方形1、正方形的定义：有一组对边直平行且相等，并且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形。

注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；
（3）有一个角是直角．
强调：正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形），
②有一个角是直角的平行四边形（矩形）。

说明：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱
形．
2、正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质：
（1）边：两组对边平行且相等；
（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
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（5）正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．3、正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4) 对角线相等的菱形是正方形. 注意：要确定一个四边形是正方形，应先确定它是矩形或是菱形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 十二、梯形1、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3、直角梯形定义：一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。

4、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

6、等腰梯形的判定：同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

十三、三角形高，中线，角平分线，中位线
三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

三角形的中线：
1、定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

2、性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

三角形的高线：
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1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
3、由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 十四、三角形内角和，补角，余角，外角1、三角形的内角的关系：三角形三个内角和等于180°。

直角三角形的两个锐角互余。

2、余角、补角和对顶角
（1）余角：
定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

性质：同角或等角的余角相等。

（2）补角：
定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

性质：同角或等角的补角相等。

（3）对顶角：
定义：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

3、外角
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三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

十五、多边形的内角和与外角和
定理：n 边形的内角和等于)2n （·180°. 定理：多边形的外角和都等于
360°. 备注：n 边形共有)3(21
n n 条对角线.
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