益阳市2019届高三9月调研考试(文科)试题含答案

姓 名 准考证号
益阳市2019届高三9月调研考试
文科数学
注意事项：
1. 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至 ２页，第Ⅱ卷3至6页．
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应 的位置.
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={1,3,4}，集合B={2,4,5}，则=B A A. {2,4,5}
B. {1,3,4,5}
C. {1,2,4}
D. {1,2,3,4,5}
2. 函数)3
2cos(2π
+=x y 的最小正周期是
A.
4π B. π2
1 C. π
D. 2π
3. 设R b a ∈,，“0=a ”是“为纯虚数复数bi a +”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
4. 某公司2010~2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，则
A. 利润中位数是16, x 与y 有正线性相关关系
B. 利润中位数是17, x 与y 有正线性相关关系
C. 利润中位数是17, x 与y 有负线性相关关系
D. 利润中位数是18, x 与y 有负线性相关关系 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
年份
2010 2011 2012 2013 2014 2015 利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y
0.62
0.74
0.81
0.89
1.00
1.11
6. 若a ,b 满足且,2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为
A.
6
π B.
3
π C.
3
2π D.
6
5π 7. 若0.5
2
a =，4log 3
b =，2log 0.2
c =，则
A.a b c >> B ．b a c >> C. c a b >> D. b c a >> 8. 在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则该几何体相应的侧视图可以为
9. 已知a >0,b >0.若3是a
3与b
3的等比中项，则
b
a 1
1+的最小值为 A. 8 B. 4 C. 1 D. 2
10. 函数,0,0,0,)sin(πϕωϕω<<>>+=A x A y 在一个周期内的图象如下，此
函数的解析式为 A. )322sin(2π+=x y B. )3
2sin(2π
+=x y C. )32sin(2π-=x y D. )3
2sin(2π-=x y
11. 已知双曲线12222=-b
y a x （a >0，b >0）与抛物线x y 82
=有一个公共的焦点
F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的离心率为 A. 2
B. 22
C.
6
D.
2
15+
12. 设函数[]⎩
⎨⎧<+≥-=0,)1(0
,)(x x f x x x x f ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][][]11,12.1,22.1==-=-若直线)0(>+=k k kx y 与函数)(x f y =的
图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 A. ⎥⎦
⎤
⎝⎛31,41
B. ⎥⎦
⎤ ⎝⎛41,0
C.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡31,41
D. ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡31,41
A B
C D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22题~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为 ． 14. 若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率
的取值范围是 ．
15. 已知变量,x y 满足约束条件50
21010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
,则2z x y =+的最大值
是 ．
16. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =
,135ADB ο∠=.
若2AC AB =
,则BD= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
20名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： （I ）求频率分布直方图中a 的值；
(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60),[60,70)中的学生人数；
（III ）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的
概率.
7a 6a 3a
2a
18．（本题满分12分）
在等差数列{}n a 中，29,238372-=+-=+a a a a
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n
项和n S .
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；
（II ）设PD=AD=2，求点D 到面
PBC 的距离．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，点P （0，3）在椭圆上，A ，
B 分别为椭圆的左右顶点，过点B 作BD ⊥x 轴交AP 的延长线于点D ，F 为椭
圆的右焦点．
（I ）求椭圆的方程及直线PF 被椭圆截得的弦长|PM|； （II ）求证：以BD 为直径的圆与直径PF 相切．
21.（本小题满分12分）
设函数()2
ln 2
x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；
（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(
1,e ⎤⎦
上仅有一个零点．
请考生从第22、23三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，θ∈[0，2π）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点D 在曲线C 上，求它到直线l ：33
32
x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，
t ∈R ）的最短距离．
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．
（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （Ⅱ）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．
益阳市2017届高三9月调研考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
B
B
A
C
A
D
B
A
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 233 14. ⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-33,33 15. 9 16. 52+
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)据直方图知组距为10，由
110)27632(=⨯++++a a a a a ，解得005.0200
1
==a ……………3分
(Ⅱ)成绩落在[50,60) 中的学生人数为22010005.02=⨯⨯⨯
成绩落在[60,70) 中的学生人数为32010005.03=⨯⨯⨯ ………7分 (Ⅲ)记成绩落在[50,60) 中的2人为21,A A ，成绩落在[60,70) 中的3人为 321B B B 、、 ,
则从成绩在[50,70) 的学生中人选2人的基本事件共有10个：
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32221231211121B A B A B A B A B A B A A A ),(),,(),,(323121B B B B B B ……………9分
其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：
),(),,(),,(323121B B B B B B
……………………………………………………………… 11分
故所求概率为
10
3
=
P …………………………………………………………12分
18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是 d ． 依
题
意
由
⎩⎨
⎧-=+=+-=+=+29
922372183172d a a a d a a a ，得
⎩
⎨
⎧-=-=31
1d a ． ……………………………3分 所以数列
{}
n a 的通项公式为
23+-=n a n ． ………………………………5分
（Ⅱ）由数列 {}n n b a + 是首项为 1 ，公比为 c 的等比数列， 得 1-=+n n n c b a ，即 123-=++-n n c b n ， 所
以
123-+-=n n c n b ． ………………………………………8分
从而[])1(2374112-+++++-+
+++=n n c c c n S ）（
)1(2)
13(12-+++++-=
n c c c n n ． ……………………………10分 当1=c 时，2
32)13(2n
n n n n S n +=
+-= ； ………………………………11分 当
1
≠c 时， c
c n n S n n --+
-=112)13( ． ………………………………12分 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为AD AB DAB 2,60==∠o ，
由余弦定理得3BD AD = ………………………1分
222
BD AD AB BD AD +=∴⊥从而，
……………3分 又由PD ⊥底面ABCD ，ABCD BD 面⊂,可得BD ⊥PD …………4分 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD ………………6分
（Ⅱ）作DE ⊥PB ，垂足为E.
已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC.
由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。

故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。

则DE ⊥平面PBC 。

…………………………………8分 由题设知，PD=2，则BD=32，PB=4， ………10分 根据DE·PB=PD·BD ，得DE=3，
即点D 到面PBC 的距离为3. ……………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵椭圆过点)3,0(P ， ∴
222,2
121,3c
b a a
c e b +====即又，
故⎩⎨
⎧==1
2c a ，
∴椭圆方程为
13
42
2=+y x …………………………………………………4分 则)1(3),3,0(),0,1(--=x y PF P F 的方程为直线，
与椭圆方程联立有⎪⎩
⎪⎨⎧--==+)1(31
34
2
2x y y x 消去y 得到⎪⎩
⎪⎨⎧===-580
,085212x x x x 解得
由弦长公式得
5
161212=
-+=x x k PM ； …………………………8分
（Ⅱ）证明：过的直线方程为：的直线AP P A )3,0(),0,2(- )2(2
3
+=
x y 与BD 的直线方程x =2联立有D )32,2(， 所以以BD 为直径的圆的圆心为（2，3），半径R=3 圆心到直线PF 的距离()R d ==+-+=
31
33
3322
2
所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……………………………………12分 21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由()2
ln 2
x f x k x =-，（0k >）得
2'
()k x k
f x x x x -=-=
.……………………………………………………1分
由'
()0f x =解得x k =
.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
x
(0,)k
k
(,)k +∞
'()f x
-
+ ()f x
(1ln )
2
k k -
所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是
(,)k +∞；……4分
()f x 在x k =处取得极小值
(1ln )()2
k k f k -=.…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为
(1ln )()2
k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以
(1ln )02k k -≤，从而k e ≥ ……………………8分
当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且
()0f e =，……………10分
所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.
当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02
f =>，()02
e k
f e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. ……12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. 解：（Ⅰ）由ρ=2sin θ，θ∈[0，2π）．
得ρ2=2ρsin θ，即x 2+y 2﹣
2y =0； ………………………………………4分
（Ⅱ）由直线l ：3332x t y t ⎧=+⎪⎨
=-+⎪⎩，得350x y +-=．
由（Ⅰ）知曲线C 为圆：x 2+y 2－2y =0，即x 2+(y －1)2=1，
所以圆心坐标为（0，1），
圆心到直线l : 350x y +-=的距离为d=|1-5|=23+1
． ∴D 到直线l 的最短距离为
1． ……………………………………10分
23.解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．
∴不等式()53f x x ≤+的解集为
[4,2]-．………………………………5分
（Ⅱ）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，
∴5x a x -≥-或5x a x -≤，∴6a x ≤或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-或4a ≥． ∴a 的取值范围是
(,6][4,)-∞-+∞．…………………………………10分。