高考江苏版高考数学 13.4 直线、平面垂直的判定与性质

a∥b且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊥α⇒b⊥α
考向突破
考向 线面垂直的判定 例 如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AE⊥PC,
AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面
PBC,其中真命题的序号是
.
解析 ①∵BC⊥AC,BC⊥PA,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,又AE⊂平面 PAC,∴AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PC∩BC=C,所以AE⊥平 面PBC,又PB⊂平面PBC,∴AE⊥PB,又AF⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF,又EF⊂平面AEF,∴EF⊥PB,故②正确;③若AF⊥BC,AF⊥PB,PB∩ BC=B,则AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由②可知④ 正确. 答案 ①②④
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD= 1 AD,所以BD⊥AB.
2
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中, 因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD, 因为AC⊥CD,且PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC, 所以CD⊥AE. (2)由AB=BC,∠ABC=60°,可得△ABC是等边三角形,所以AC=BC,又PA= BC,所以AC=PA. 因为E是PC的中点,所以AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C, 所以AE⊥平面PCD.
AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12 AD.证明:平面PAB⊥平面PBD.
证明 取AD的中点M,连接BM.
因为AD∥BC,BC= 1 AD,所以直线AB与CD相交.
2
因为PA⊥AB,PA⊥CD,
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC= 1 AD,
2
所以BC∥MD,且BC=MD.
考向二 面面垂直的性质 例2 (2018江苏南京金陵中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥ CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,点H是BE的中点,点G是 AE、DF的交点. (1)求证:GH∥平面CDE; (2)求证:BD⊥平面CDE.
证明 (1)因为四边形ADEF为正方形,G是AE与DF的交点, 所以G是AE的中点.又H是BE的中点, 所以在△EAB中,GH∥AB. 因为AB∥CD,所以GH∥CD. 又CD⊂平面CDE,GH⊄平面CDE, 所以GH∥平面CDE. (2)因为平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD, ED⊥AD,ED⊂平面ADEF, 所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BD. 又BD⊥CD,CD∩ED=D, 所以BD⊥平面CDE.
考向基础
考点二
平面与平面垂直的判定与性质
判定 定理
性质定 理1
性质定 理2
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那 么这两个平面互相垂直(简记为“线面垂 直⇒面面垂直”)
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线必垂直于另一 个平面
如果两个平面互相垂直,那么过第一个平 面内的一点且垂直于第二个平面的直线, 在第一个平面内
考向基础
考点一
考点清单
直线与平面垂直的判定与性质
文字语言
图形语言
符号语言
判定 定理
如果一条直线和一个平面内的 两条① 相交直线 都垂直,那 么这条直线垂直于这个平面
m⊂α,n⊂α,m∩n=B,l⊥m, l⊥n⇒l⊥α
性质定 垂直于同一个平面的两条直线 理1 平行
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
性质定 如果两条平行线中的一条垂直 理2 于一个平面,那么另一条也 ② 垂直于 这个平面
图形语言
性质定 理3
如果两个相交平面同时垂直于第三个平 面,那么它们的交线必垂直于第三个平面
符号语言 l⊥α且l⊂β⇒α⊥β
α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a ⊥α
α⊥β, P∈β, PQ⊥α ⇒PQ⊂β α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ
考向突破
考向一 面面垂直的判定 例1 (2019届江苏昆山中学检测)如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,
方法技巧
方法一 证明线面垂直的方法
(1)利用线面垂直的判定定理; (2)利用面面垂直的性质定理; (3)平行线垂直平面的传递性(a∥b,b⊥γ⇒a⊥γ); (4)面面平行的性质(a⊥γ,γ∥β⇒a⊥β).
例1 (2018江苏东台中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. 求证:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE.
AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是
(写出全部正确
命题的序号).
①平面ABC⊥平面ABD; ②平面ABD⊥平面BCD; ③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE; ④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于 DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平 面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.由已知条件推不出 平面ABC⊥平面ABD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD. 答案 ③
又PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB. 又因为AB⊥AD且PA∩AD=A, 所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.
方法二 证明面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义(二面角为90°); (2)面面垂直的判定定理. 例2 (2019届江苏苏州三中检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,