导数的定义及几何意义

一般地，求函数 y f x 的极值的方法是
解方程 f x 0 ，当 f x 0 时
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
(1)如果在 x 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0， 那么 f x 是极大值 那么 f x 是极大值 (2)如果在 x 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0，
最大值与最小值
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
一般地，如果 y f x 在区间 a , b 上式一 条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小 值，最值必在极值和端点值中取得 求函数 y f x 在区间 a , b 上的最大值与 最小值的步骤如下: (1)求函数 f x 在区间 a, b内的极值
的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点．
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c 在x＝1 及 x
＝2 时取得极值．
(1)求 a、b 的值；
(2)若对于任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)<c2成立，
求 c 的取值范围．
谢谢!再见
变式
y f ( x x ) f ( x ) y ' f '( x ) lim lim x 0 x x 0 x
称为函数y=f(x)的导函数(简称导数)
(导函数 f '( x ) 是关于x的函数)
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练习 1.(2008 年北京卷 12)如图，函数 f ( x ) 的图象是折线段
ABC ，其中 A，B，C 的坐标分别为 (0，，，，， ，则 4) (2 0) (6 4)
f (1 x) f (1) f ( f (0)) ________； lim x 0 x
．
y 4 A
2
O
C
B2
4
6
x
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2. 如图，直线l和圆C，当l从开始在平面上绕点O按逆 时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫 过的圆内阴影部分面积S是时间t的函数，这个函数图 像大致是（ ） l
（ C 为常数）; ( x )
a ' '
（ a 为常数）;
(sin x) (e )
x '
; (cosx)
'
; ; .
;
(a )
x '
(ln x) '
; (loga x)
'
导数的四则运算法则
（1） Cf ( x) ' = （2） f ( x) g ( x)
函数的单调性与导数
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如 下关系： 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内__________；如果 f′(x)＜0，
那么函数 y＝f(x)在这个区间_______________
求极值的方法
O
l0
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某点处导数的几何意义
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
k f x0
典型例题1
2012年广东：求曲线 y x3 x 3 在点 (1,3) 处的切线方程
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基本初等函数的导数
C
'
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(2)将函数 f x 的各极值与端点处得函数值
f a , f b 比较，最大的一个就是最大值，最
小的一个就是最小值
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
设函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线
y＝8 相切，求 a、b
数学学习的基本方法是： 思考、总结、练习
（ C 为常数）;
' =
;
;
（3） f ( x) g ( x) ' =
f ( x) （4） = g ( x)
'
, g ( x) 0 .
求下列函数的导数
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(1) y x ln x ln x (2) y x x (3)y x 3 e sin x (4) y sin其应用
导数的概念
x x0
x 0
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函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) y '| f '( x )
0
x 0
x
x
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数