安徽省阜阳市第三中学2018_2019学年高二数学下学期开学考试试题(竞培中心)理

安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期
开学考试数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设集合(){
}
2
11P x x =-<，{}
11Q x x =-<<，则P Q =I
A ．()1,2-
B ．()1,0-
C ．()1,2
D ．()0,1 2．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =
A ．
22 B ．32 C ．102 D ．12
3．下列函数中，既是奇函数，又在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增的是 A ．2sin x
y x =- B ．122x
x
y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．sin y x x =-
D ．cos y x x =-
4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至
2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加
B ．各年的月接待游客量高峰期在8月
C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其
正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A ． 6π
B ．
86π
C ．86π
D ．24π
6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r
可表示为
A ．1344AD A
B A
C =+u u u r u u u r u u u r B ． 3144A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
C ．4155A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ． 1455
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
7．已知双曲线C 的中心为坐标原点，离心率为3，点()
22,2P -在C 上，则C 的方程为
A ．22142x y -=
B ．221714x y -=
C ．22124x y -=
D ．221147
y x -= 8．由12sin(6)6
y x π=-的图象向左平移3
π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长
到原来的2倍
后， 所得图象对应的函数解析式为
A ．12sin(3)6y x π=-
B ．1
2sin(3)6y x π=+
C ．1
2sin(3)12
y x π=-
D ．1
2sin(12)6
y x π=-
9．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的
最小值为
A ．
118
B ．
54
C ．
32
D ．1
10. 若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨
≤≤⎪⎩，
，
则2z x y =-的取值范围是
A ．[]5,3-
B ．[]5,1-
C ．[]1,3
D ．[]5,5- 11．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，22AB =，3BC =，32PA PB ==，且二面
角
P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为
A ．100π
B ．108π
C ．110π
D ．111π
12．已知数列}{n a 满足12323(21)3n n a a a na n ++++=-⋅L ．设4n n
n
b a =
，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n ∈N ，则λ的最小值是
A ．
32 B ．94 C ．3112
D ．
3118
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知13
2a =，则()2log 2a = ． 14．设θ为第二象限角，若1tan 42
πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则cos θ = ． 15．已知点(1,2)P -及圆22(3)(4)4x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射
后与圆相切于点T ，则||||PQ QT +的值为 ．
16．已知函数3
2
()f x x ax bx =++满足(1)(1)220f x f x ++-+=，则()f x 的单调递减
区间是
．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥． （1）证明：数列{}1n a +为等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 18．（本小题满分12分）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2
(,)N μσ，其中μ，2
σ分别取考生的平
均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考
生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到
0.001）
附：①2204.75s =
14.31=；②2
(,)z N μσ:，则
()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=. 19．（本小题满分12分）
如图甲，设正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且满足2AE EB =，2CF FD =．
如图乙，将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置，使得点1A 在平面BEFC 上的射影G 恰好在BC 上．（1）证明：1A E P 平面1CD F ；（2）求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N
（异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数()f x x =e ()ln x
a x x ++.
（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求m 的最大值．
22.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
A B
C
D E F
1
A 1
D C
G E
F
图甲
图乙
（1）当2a =时，解不等式()1
13
x f x -
+≥； （2）设不等式()13x f x x -
+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围．
安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高二竞培中心下学期开学考试试题数学（理科）参
考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
4
3
14．10- 15． 16．(1,3)-
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分
∴
121n n a a -=+， (2)
分 ∴
11a =， (3)
分
111122
211
n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ………………………………
……5分 ∴
{}
1n a +是首项为
112
a +=，公比为
2
的等比数
列． …………………………………………6分
（2）解：由（1）知，12n
n a +=， ……………………………………
7分 ∴
21n n a =-， ………………………………
……8分 ∴
()12122212
n n n S n n +-=
-=---， ………………………………
……9分 ∴
()()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ……………
………10分 ∴
2n n n S a +=. ……………
………11分
即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分 18．解：
解：（1）由题意知：
∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.
（2）依题意z 服从正态分布2
(,)N μσ，其中70.5x μ==，
2204.75D σξ==，14.31σ=，
∴z 服从正态分布2
2
(,)(70.5,14.31)N N μσ=，
而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴10.6826
(84.81)0.15872
P z -≥=
=. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=. 而(4,0.8413)B ξ:，
∴44
4(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.
……………………………12分 19． 解：（1）在图甲中，易知//AE DF ，从而在图乙中有11//A E D F ，
1A E ⊄Q 平面1CD F ，1D F ⊂平面1CD F ， ∴1A E P 平面
CD F ． …………………………………………………… 4分 （2）
如图，在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H , 连接1A H ,由于1AG ⊥平面EBCF ，则1
AG EF ⊥, EF ∴⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥，图甲中有EF AH ⊥， 又EF GH ⊥，则A 、G 、H 三点共线．
设CF 的中点为M ,则1M F =,可证ABG EMF ∆≅∆， 1BG MF ∴==，则10AG =，
又由ABG AHE ∆∆:，得，16
10
AB AE A H AH AG ⋅===
， 于是, 4
10
HG AG AH =-=，
在1
Rt AGH ∆中, 221
12AG A H HG =-=， ……………………………………………… 8分 作//GT BE 交EF 于点T ，则TG GC ⊥．
以点G 为原点,分别以GC 、GT 、1GA 所在直线为x 、y 、z 轴,建立如图丙所示的空
间直角坐标系，
则(0,0,0)G ,(1,1,0)E - , (2,2,0)F , 1(0,0,2)A ， 则(1,3,0)EF =u u u r ,1(1,1,2)EA =-u u u r ,1GA uuu r
是平面BEFC 的一个法向量， 易求得平面11A EFD 的一个法向量(3,1,22)n =-r
, ………………………………………… 10分
设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，
12
cos |cos ,|3
n GA θ=<>=r u u u r ，
所以，平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为3
．……………………………… 12分 ……………………………………………12分
20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分
由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分
O
G D
C
B A
丙图
其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为
24y x =． ……………………………3分
解法2：设动圆圆心C (),x y ，依题意：
1x =+. ……………………………2分
化简得：2
4y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． ……………………………3分
（2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．
由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分
直线PQ 的斜率必存在且不为0，设
:2PQ x my =-, ………………………………5分
由242y x x my ⎧=⎨=-⎩
得
2480y my -+=． ………………………………………6分
由()2
4480m ∆=--⨯>,得m >
或
m < ……………………………………7分
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则
12124,8y y m y y +==． ………………………………………………8分
由①式得12
1020PN QN y y k k x x x x +=
+--()()()()
12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,
()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．
消去12,x x ，得
()2
2122101211044
y y y y x y y +-+=, …………………………………………………9分
()()12120121
04
y y y y x y y +-+=, ……………………………………………………………10分
120,y y +≠Q 0121
24
x y y ∴=
=, ……………………………………………………………11分
∴存
在
点
()
2,0N 使得
QNM PNM π∠+∠=． ……………………………………………………12分
21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x
f x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分
()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭
， ……………………………
……2分
当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，
'()0f x >． …………………………………3分
所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为
()1,+∞． …………………………4分
（2）由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()x
x f x xe a x
+=
+， 令()x
g x xe a =+，则'()(1)0x
g x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，………………………5分 因为0a <,
所以(0)0g a =<，()0a
g a ae a a a --=-+>-+=， 故
存
在
()
00,x a ∈-，
使
得
000()0x g x x e a =+=． …………………………………………6分
当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0x
x f x xe a x
+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0x
x f x xe a x
+=+>，()f x 单调递增； 故
x x =时，
()
f x 取得最小值，即
()()00000ln x m f x x e a x x ==++, …………………………8分
由000x x e a +=得()()0000ln ln x x m x e a x e a a a =+=-+-， ………………………………9分 令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，
当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ………………………………10分
当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，………………………………11分
故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分
22． 解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤
时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123
x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥
，所以2x ≥． ……………………………4分
综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分
（2）不等式()13
x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成
立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分
所以1
13112
a a ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423
a -≤≤，
故所求实数a 的取值范围是1
4,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。