2020年江苏省盐城市九年级(上)第一次月考数学试卷

月考数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为3，直线l与⊙O的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交或相切
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）
A. -3
B. 3
C. 0
D. 0或3
3.将方程x2-6x+1=0配方后，原方程变形为（）
A. （x-3）2=8
B. （x-3）2=-8
C. （x-3）2=9
D. （x-3）2=-9
4.下列说法正确的是（）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C. 等弧所对的弦相等
D. 圆的切线垂直于半径
5.如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）
A. 15°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
6.如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六
边形ABCDEF的半径是
2cm，则这个正六边形的周长是（）
A. 12
B. 6
C. 36
D. 12
7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，
则∠P的度数为（）
A. 32°
B. 31°
C. 29°
D. 61°
8.关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），
则方a（x+m+3）2+b＝0的解是（）
A. ﹣1或﹣4
B. ﹣2或1
C. 1或3
D. ﹣5或﹣2
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.方程x2=2x的解为______ ．
10.一元二次方程x2-4x-3=0的两个根之和为______．
11.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降
价的百分率为x，则列方程为______．
12.已知Rt△ABC，∠C=90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两根，
则Rt△ABC的外接圆的半径为______，内切圆的半径为______．
13.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，
现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为______．
14.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O
上．若∠P=102°，则∠A+∠C=______．
15.点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为______．
16.如图，点A、B在半径为3的⊙O上，以OA、AB为邻边作平
行四边形OCBA，作点B关于OA的对称点D，连接CD，则
CD的最大值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分）
17.解下列方程：
（1）x-5=（x-5）2
（2）x2-4x-21=0（配方法）
18.已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m-1=0
（1）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．
19.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、
C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆
心M的位置；
（2）点M的坐标为______；
（3）判断点D（5，-2）与⊙M的位置关系．
20.如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD=BC，连接
AB、CD．
求证：（1）AB=CD；
（2）AE=CE．
21.如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE
切⊙O于点D，交BC于E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若⊙O的半径为5，BE=2，求DE的长度．
22.如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）若∠B=50°，∠C=70°，则∠DFE的度数为______；
（2）若∠DFE=50°，求∠A的度数．
23.十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：
“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”．请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题．
24.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作
OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是
DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A=22.5°，求证：AC=DC．
25.某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，
那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，这名顾客买了多少双鞋？
26.阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2-1）=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为（t+1）（t-1）=80，整理得t2-1=80，t2=81，
所以t=±9，因为2m2+n2＞0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整休，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2-3）=27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2-4）=5，求Rt△ACB外接圆的半径．
27.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速
度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，△DPQ的面积为______cm2；
（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵圆心到直线的距离=圆的半径，
∴直线与圆的位置关系为相切．
故选：B．
圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．
此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．2.【答案】A
【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴4+2m+2=0，
∴m=-3．故选A．
直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．
3.【答案】A
【解析】解：x2-6x+1=0，
x2-6x=-1，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
故选：A．
移项后配方，再变形，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴选项A不正确；
∵三角形的内心到三角形三边的距离相等，
∴选项B不正确；
∵在同圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们所对的弦也相等，
∴选项C正确；
∵圆的切线垂直于过切点的半径，
∴选项D不正确；
故选：C．
由圆心角、弧、弦之间的关系得出选项A不正确，选项C正确；由三角形的内心的性质得出选项B不正确；由切线的性质得出选项D不正确；即可得出答案．
本题考查了三角形的内心、圆心角、弧、弦之间的关系以及切线的性质等知识；熟记各个性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选B．
先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=60°，AO=BO=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长=6AB=12cm．
故选：D．
由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA，即可得出答案．
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵∠A=119°，
∴∠ODC=180°-∠A=61°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=61°，
∴∠DOC=180°-2×61°=58°，
∴∠P=90°-∠DOC=32°；
故选：A．
连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出
∠ODC=180°-∠A=61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=61°，求出∠DOC=58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握方程的定义是解决这类问题的关键.
通过两个一元二次方程结构的相似性进行类比，得出方程，解方程即可.
解：∵方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
对比所求方程可知，x+3=-2或x+3=1
解得x=-5或x=-2，
∴方程a（x+m+3）2+b=0的解为-5和-2．
故选：D．
9.【答案】x1=0，x2=2
【解析】解：∵x2=2x
∴x2-2x=0，
x（x-2）=0，
解得：x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：一元二次方程x2-4x-3=0的两个根之和为4，
故答案为：4．
根据根与系数的关系的内容得出即可．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
11.【答案】60（1-x）2=48.6
【解析】解：第一次降价后的价格为60×（1-x），二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1-x）×（1-x），所以可列方程为60（1-x）2=48.6．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）=48.6，把相应数值代入即可求解．
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
12.【答案】5 2
【解析】解：∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两根，
可得：x2-14x+48=0，
（x-6）（x-8）=0，
x=6或8，
∵AC＜BC，
∴AC=6，BC=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB=10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，内切圆的半径为，
故答案为：5；2．
先解一元二次方程可得AC和BC的长，根据勾股定理计算AB的长，进而解答即可．此题考查三角形的内切圆，关键是先解一元二次方程可得AC和BC的长．
13.【答案】5dm
【解析】解：连接OA，OD，
∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB=8dm，DC=2dm，
∴AD=4dm，
设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=42+（r-2）2，
解得：r=5，
故答案为：5dm．
连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
14.【答案】219°
【解析】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠P=102°，
∴∠PAB=∠PBA=（180°-102°）=39°，
∵∠DAB+∠C=180°，
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°，
故答案为：219°．
连接AB，根据切线的性质得到PA=PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=
（180°-102°）=39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C=180°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】40°或140°
【解析】解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，
∴∠A=40°，
∠A′=180°-∠A=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．
本题考查的是圆周角定理以及圆内接四边形的性质，掌握相关的定
理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．
16.【答案】3
【解析】解：连接DB，如图，
∵点B关于OA的对称点D，
∴BD⊥OA，
∵四边形OCBA为平行四边形，
∴OA=BC=3，OA∥BC，
∴BD⊥BC，
在Rt△BCD中，CD==，
当BD的值最大值，CD的值最大，而BD的最大值为6，
∴CD的最大值为=3．
故答案为3．
连接DB，如图，利用对称的性质得BD⊥OA，再根据平行四边形的性质得OA=BC=3，OA∥BC，所以BD⊥BC，利用勾股定理得到CD=，所以当BD的值最大值，CD 的值最大，然后利用BD的最大值为6得到CD的最大值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了对称的性质和平行四边形的性质．
17.【答案】解：（1）移项得：（x-5）-（x-5）2=0，
（x-5）[1-（x-5）]=0，
x-5=0，1-（x-5）=0，
x1=5，x2=6；
（2）x2-4x-21=0，
x2-4x=21，
x2-4x+4=21+4，
（x-2）2=25，
x-2=±5，
x1=7，x2=-3．
【解析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18.【答案】（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）
=（m-2）2+4，
∵无论m取何值，（m-2）2+4＞0，
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，得：1-（m+2）+2m-1=0，
解得m=2，
所以方程变为x2-4x+3=0，
解得方程的另一根为x=3．
【解析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac 的符号来判定该方程的根的情况；
（2）把方程的根x=1代入求得m的值，然后求解方程得到另一根即可．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19.【答案】（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）（2，0）；
（3）圆的半径AM==2．
线段MD==＜2，
所以点D在⊙M内．
【解析】解：（1）见答案；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）见答案.
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
20.【答案】证明：（1）∵AD=BC，
=，
∴=-，
即=，
∴AB=CD．
（2）连接AC，
∵=，
∴∠ACB=∠DAC，
∴AE=CE．
【解析】（1）欲证明AB=CD，只要证明=．
（2）连接AC，只要证明∠EAC=∠ECA即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥BC；
（2）解：过B作BF⊥OD，
∵BF⊥OD，
∴∠DFB=90°，
∴∠DFB=∠DEB=∠ODE=90°，
∴四边形DFBE为矩形，
∴DF=BE=2，
∴OF=OD-DF=5-2=3，
∴DE=BF=4．
【解析】（1）连接OD，由切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE=90°，根据三角形的中位线定理得到OD∥BC，于是得到结论；
（2）过B作BF⊥OD，推出四边形DFBE为矩形，得到DF=BE=2，于是得到结论．本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】（1）60°；
（2）∵∠DFE=50°，
∴∠DIE=100°，
∵AB、AC分别与⊙I相切于点D、E，
∴∠ADI=∠AEI=90°，
∴∠A=80°．
【解析】解：（1）连接ID、IE，
∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠A=60°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠IDA=∠IEA=90°，
∴∠DIE=180°-60°=120°，
∴∠DFE的度数为：60°；
故答案为：60°；
（2）见答案.
【分析】（1）直接利用切线的性质结合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠DIE的度数，进而得出∠A的度数．
此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
23.【答案】解：设矩的长为x，则宽为x-6，
根据题意得：x（x-6）=55，
解得：x=11或x=-5（舍去）
答：长为11．
【解析】根据长方形的面积公式列式计算即可．
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解矩形的面积计算方法，难度不大．24.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF=EF=DF，
∴∠AEO=∠FEC=∠FCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE=∠ACD=90°，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠OAE=∠CDE=22.5°，
∵AO=BO，
∴AD=BD，
∴∠ADO=∠BDO=22.5°，
∴∠ADB=45°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD．
【解析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=∠ACD=90°，根据直角三角形的性质得到
CF=EF=DF，求得∠AEO=∠FEC=∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OAE=∠CDE=22.5°，根据等腰三角形的性质得到
∠CAD=∠ADC=45°，于是得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】解：设这名顾客买了x双鞋，根据题意可得：
∵240×10=2400（元），
∴这名顾客买的鞋数超过了10双，
[240-6（x-10）]x=3600，
解得：x1=20，x2=30，
当x=30时，240-6×（30-10）=120＜150，故不合题意舍去．
答：这名顾客买了20双鞋．
【解析】首先求出x超过了10双鞋，进而表示出鞋的单价，即可得出关于x的等式求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出鞋的单价是解题关键．
26.【答案】解：（1）设2x2+2y2=t，则原方程可变为（t+3）（t-3）=27，
解得t=±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2=6，
∴x2+y2=3；
（2）（a2+b2）（a2+b2-4）=5，
设a2+b2=t，则原方程可变为t（t-4）=5，
即t2-4t-5=0，
解得t1=5，t2=-1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=5，
∴c2=5，
∴c=，
∴外接圆的半径为．
【解析】（1）设2x2+2y2=t，则原方程可变为（t+3）（t-3）=27，解方程即可得到结论；（2）设a2+b2=t，则原方程可变为t（t-4）=5，列方程即可得到结论．
本题主要考查换元法解方程的方法和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
27.【答案】28
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°，
由题意得：AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t，CQ=BC-BQ=12-2t，
当t=2时，AP=2，BQ=4，BP=AB-AP=4，CQ=BC-BQ=8，
∴△DPQ的面积=12×6-×12×2-×4×4-×6×8=28（cm2），
故答案为：28；
（2）不能；理由如下：
根据题意得：△DPQ的面积=，
整理得：t2-6t+10=0，
∵b2-4ac=-4＜0，
∴方程无实数根，
∴△DPQ的面积不可能为26cm2；
（3）∵∠A=90°，
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则∠PQD=90°，
∵PQ2=（6-t）2+（2t）2，DQ2=62+（12-2t）2，DP2=t2+122，PQ2+DQ2=DP2，
∴（6-t）2+（2t）2+62+（12-2t）2=t2+122；
解得t1=6，t2=，
∴t=6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，
过点Q作QE⊥AD，
∵⊙Q与边AD相切，
∴QE=QP，
由勾股定理得：62=（6-t）2+（2t）2；
解得t1=0（舍去），t2=，
如图2，⊙Q过点D时，
则QD=QP，
由勾股定理得：（6-t）2+（2t）2=62+（12-2t）2；
解得：（舍去）
∴当＜t＜时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四
个交点．
（1）由矩形的性质得出AD=BC=12，CD=AB=6，∠A=∠B=∠C=90°，由题意得出AP=2，BQ=4，BP=AB-AP=4，CQ=BC-BQ=8，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，解方程即可；
（3）证出A、P、D三点在以DP为直径的圆上，由圆周角定理得出∠PQD=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（4）求出⊙Q与边AD相切时t的值，再求出⊙Q过点D时t的值，即可得出答案．
本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、三角形面积、勾股定理、切线的性质、圆周
角定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．。