A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学(B卷)试题(解析版)

A10联盟2023级高二上学期9月初开学摸底考
数学（北师大版）试题
命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1. 已知集合
{}
3,2,0,1,2A =−−，
{}2
60
B x x
x =
∈−−≥N ，则()N
A B = （ ）
A. {}3,2,0,1,2−−
B. {}1,0,1,2−
C. {}0,1,2
D. {}1,2
【答案】C 【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合{
3B x x =∈≥N 或}2≤−x ，即可利用集合的补集以及交集定义求解.
【详解】由{}
2
60B x x
x =∈−−≥N 可得{3B x x =∈≥N 或}2≤−x ， 故{}{}N 230,1,2B x x =
∈−<<=N ， 故(
)
N A B ∩= {}0,1,2， 故选：C.
2. 设,a b ∈R ，则“10b a
>>”是“1
a b <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解. 【详解】由
1
0b a
>>可得0,0,1a b ab >><，
由1
a b <
可得1100ab ab b b < −<⇒ > 或10ab b > <
， 故
10b a
>>能得到1a b <，同时1
a b <也无法推出10b a >>，
故“
10b a
>>”是“1
a b <”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86 B. 87
C. 88
D. 90
【答案】B 【解析】
【分析】根据样本数据百分位数的定义求解即可.
【详解】将数据从小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90， 因为875%6×=， 所以第75百分位数是8688
872
+=． 故选：B ．
4. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 1()4
P A =
B. 事件A 与事件B 互斥
C. 事件A 与事件B 相互独立
D. 1()2
P A B ∪=
【答案】C 【解析】
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答. 【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则
21
()42
P A =
=，A 不正确；
事件B 含有的基本事件有8个：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)，
其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，8141
(),()()()162164
P B
P AB P A P B =====， 即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；
1113
()()()()2244
P A B P A P B P AB ∪=+−=
+−=，D 不正确. 故选：C 5. 已知4tan 23θ=，π0,4θ
∈ ，若ππcos cos 44m θθ −
=+
，则实数m 的值为（ ） A. 3− B. 2−
C. 3
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】根据余弦和差公式化简得到1tan 1m m θ−=+，由正切二倍角公式和π0,4θ ∈
得到1
tan 2θ=，从而得
到方程，求出实数m 的值. 【详解】ππππcos
cos sin sin cos cos sin sin 4444m θθθθ
+=−
，
m θθθθ +=
， ()cos sin cos sin m θθθθ+=−，故()()1sin 1cos m m θθ+=−，
则1tan 1
m m θ−=+， 由于2
2tan 4
tan 21tan 3
θθθ==−，故22tan 3tan 20θθ+−=， 解得tan 2θ=−或
12
， 因为π0,4θ ∈
，所以tan 0θ>，故1
tan 2θ=， 即
11
12
m m =−+，解得3m =. 故选：C
6. 已知平面向量1e 和2e 满足2122e e =
= ，2e 在1e 上的投影向量为1e − ，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）
A. 214
e −
B. 12−
C. 212
e −
D. 2e −
【答案】A 【解析】
【分析】根据2e 在1e 上的投影向量得到方程，求出121e e ⋅=
−
，进而利用12222
e e e e e ⋅⋅
求出答案. 【详解】因为2122e e =
=
，所以212,1e e == ， 2e 在1e 上的投影向量为1
e − ，故12
1
11
1e e e e e e ⋅⋅=−
，故1221
1e e e ⋅=− ， 所以121e e ⋅=
−
， 则1e 在2e 上的投影向量为12
222
2
14e e e e e e ⋅⋅=−
. 故选：A
7. 已知函数()lg ,010
16,102x x f x x x <≤
= −+>
，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则
+++a b c d 的取值范围为（ ）
A [)26,+∞ B. ()14,+∞
C. 34126,
10
D. 22126,
10
【答案】C 【解析】
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若()
()()()f a f b f c f d m ====a b c d <<<，将问题转化
为()f x 与y m =的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得1
110121410
a b c d <<<<<<<<，10c d +=，1ab =，结合对勾函数的性质求范围即可． .
【详解】令lg 1x =，则1
10
x =
故10x =，令1612x −+=
，则10x =或14x =， 由解析式知：()f x 在(]0,1上递减且值域(0,)+∞，在(]1,10上递增且值域为(]0,1，在()10,12上递减且值域为(]0,1，在()12,+∞上递增且值域为(0,)+∞． 作出()f x 的草图如下，
令()()()()f a f b f c f d m ====且a b c d <<<，则a ，b ，c ，d 为()f x 与y m =的交点横坐标，
由图知：24c d +=，1ab =且1
110121410
a b c d <<<<<<<<， 则1
24a b c d a a
+++++
， 由对勾函数可知1y a a =+
在1,110
上递减，故11012,10y a a =+∈
故13412426,10a b c d a a
+++++∈
故选：C
8. 在ABC 中，M 为BC 上一点且满足2BM MC =
，120AMC ∠=°，2AM =
，若3ABM S =△，
则ABC 的外接圆半径为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 3
【答案】D 【解析】
【分析】设MC x =，则2BM x =，又60AMB ∠=°
，由三角形面积公式得到方程，求出1x =，
在AMC 和AMB
中，利用余弦定理得到AC =
，AB =，在ABC 中，由余弦定理得
π3
BAC ∠=，利用正弦定理求出外接圆半径.
详解】设MC x =，则2BM x =， 因为120AMC ∠=°，所以60AMB ∠=
°，
【
由三角形面积公式得11
sin 22sin 60322
AM MB AMB x ⋅∠=×⋅°=
解得1x
=，
在AMC 中，由余弦定理得2222cos120AC AM MC AM MC =+−⋅°
)
)
2
14122162
=+
−−××
−×−=
，
故AC =
在AMB 中，由余弦定理得2222cos 60AB AM MB AM MB =+−⋅°
)
)
2
1
44
1222
1242
=+−−××−×
=−，
故
)
1AB =
−=，
在ABC 中，由余弦定理得
2
2
2
1
cos 22AB AC BC BAC
AB AC +−∠==⋅， 故π3
BAC
∠=
， 则
ABC 的外接圆半径为32sin BC BAC =∠.
故选：D
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（
） A.
π
i 2
e 虚部为1
B. 复数
πi
4e
在复平面内对应的点位于第二象限
的
C. i i e e sin 2i
x x
x −−=
D. 若π
i 31e z =，i 2e z θ=在复平面内分别对应点1Z ，2Z ，则12 OZ Z 面积的最大值为1
【答案】AC 【解析】
【分析】A 选项，根据题意得到πi 2
e
i =，得到虚部；B 选项，求出πi 4
e
=
，故对应的点坐标为
，得到B 错误；C 选项，计算出i i e isin ,e c is n cos i os x x
x x x x −==+−，故C 正确；D 选
项，计算出112Z ，()2cos θ,sin θZ ，则121OZ OZ ==，故12211
2sin OZ Z O Z Z S =∠ ，得到面积最大值为
12
. 【详解】A 选项，πi 2
ππ
e
cos isin i 22
=+=，故πi 2e 的虚部为1，A 正确；
B 选项，π
i 4
ππe cos
isin 44=+，
故π
i
4e
在复平面内对应的点坐标为
，在第一象限，B 错误； C 选项，()()i i o e i c s o isin ,e i in si s c n s cos x
x
x x x x x x −=+=−+−−=
， 故i i e e 2isin sin 2i 2i
x x x
x −−==，C 正确；
D 选项，若π
i 3
1ππ1cos isin
332e z ===+，i
2
e cos isin z θθθ==+，
故112Z ，()2cos θ,sin θZ ，
则1
2
1OZ OZ ==，故12122211sin 1
sin 122
OZ Z O S Z Z O O OZ Z Z Z ⋅∠∠== ， 当121sin Z OZ ∠=，即1290Z OZ ∠=
°时，面积取得最大值，最大值为1
2
，D 错误. 故选：AC
10. 把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω
=
+⋅+<<
的图象向右平移π
12
个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()π3f x f x
−=
C. 当π0,3
x
∈
时，()f x 的值域为[]1,2
D. 若方程()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,3
【答案】BCD 【解析】
【分析】根据三角恒等变换化简
()π2sin 26f x x ω
=+
，即可利用平移以及奇函数的性质求解1ω=，由周期公式即可求解A ，代入验证即可求解B ，利用整体法求解即可判断CD.
【详解】由()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω
=
+⋅+<<
，
得()πππ14sin cos cos sin sin 2cos 22sin 2666f x x x x x x x ωωωωωω
=
+⋅−+=+
， 故πππππ2sin 22sin 21212666f x
x x ωωω
−=−+=+−
， 由于π12f x
−
为奇函数，故ππ
π,Z 66
k k ω−=∈， 由于0πω<<，故取0k =，则1ω=，
故
()π2sin 26f x x =+
， 对于A ，最小正周期为π，A 错误， 对于B ，由于
()πππ5π5ππ2sin 22sin 22sin π22sin 2336666f x x x x x f x
−=−+=−=−−=+=
，故B 正
确，
对于C ，当π0,3x ∈ 时，则ππ5π2,666x
+∈ ，故π1sin 2,162x
+∈ ，故()f x 的值域为[1,2]，C 正确，
对于D ，()π,x m ∈−时，则π11ππ2,2666x m
+
∈−+
，要使()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则
25ππ29π2666m <+≤，解得7π
2π3
m <≤，故D 正确，
故选：BCD
11. 如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的一个动点，则（ ）
A. 当M 在平面1111D C B A 内运动时，四棱锥M ABCD −的体积是定值
B. 当M 在直线11A C 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42
C. 使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M
D. 若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 【答案】ACD 【解析】
【分析】A 选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B 选项，根据11//A C AC 找到异面直线所成角为BM 与11A C 所成的角，即可判断；C 选项，找到M 的轨迹为线段,AH AT ，以及在平面
1111D C B A 内以1A
为圆心、11
2HA HA =
=1
4圆弧，计算即可；D 选项，利用中点得线线平行,
即可找到M 的轨迹，计算即可．
【详解】对于A ，因为底面正方形ABCD 的面积不变，M 在平面1111D C B A 内运动时,又M 到平面ABCD 的距离为正方体棱长，故四棱锥M ABCD −的体积不变，故A 正确； 对于B ，由于11//A C AC ，故BM 与AC 所成的角即为BM 与11A C 所成的角， 当M 在端点11,A C 时，11A BC 为等边三角形，此时所成的角最小，最小为π
3
， 当M 在11A C 的中点时，所成的角最大，最大为
π2，故BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,32
，故B 错误；
对于C ，由于M 在正方体表面上，若直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°，
则
2πsin 3
MA =
=,故以A
为圆心，
以
2
πsin 3
MA
==与棱1111,A D A B 相交于点,H T ，则M 的轨迹为线段,AH AT ，以及在平面1111D C B A 内以1A
为圆心、112
HA HA =
=为半径的1
4圆弧，如图①，故M 的轨迹长度为
π222HT HA l +=+
C 正确；
分别取11A D 、1DD 、BC 、1B B 、CD 的中点K 、F 、S 、E 、P ，
由正方体的性质可知K 、F 、S 、E 、P ，N 六点共面，且为正六边形PSENKF ，如图②
,
由中位线定理，11//KN B D ，11B D ⊂平面11B CD ，KN ⊄平面11B CD ，所以//KN 平面11B CD ，
同理//NE 平面11B CD ，且KN NE N ∩=，,KN NE ⊂平面PSENKF ， 所以平面//PSENKF 平面11B CD ，
M 在底面ABCD 内运动,所以M 轨迹为线段PS ，
取AB 中点N ′，连接,N N N S ′′,则N N ′⊥平面ABCD ，
故MN
故当N M ′最小时，MN 最小，由于,2,SB N B PC CS N S PS PN ′′′===∴==故N S PS ′⊥，故当
M 为S 时，N M ′的长最小，此时N N ′=故MN ，D 正确．
故选：ACD ．
了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 在ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 是AD 上靠近A 的四等分点，若BE xAB y AC =+
，则
x y +=______．
【答案】3
4
−##-0.75 【解析】
【分析】根据向量的加减法运算，用基底,AB AC 表示BE
，再根据平面向量基本定理确定,x y 的值.
【详解】
由()
111442BE BA AE AB AD AB AB AC =
+=−+=−+×+ 7188
AB AC xAB y AC =−+=+
， 则71,88
x y =
−=， 因此3
4
x y +=
− 故答案为：34
−
13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为2
5log 10
q v =（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为1q 时的飞行速度为1v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为2q 时的飞行速度为2v （米/秒），两只燕子同时起飞，当124q q =时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米 【答案】600 【解析】
【分析】由条件列出11,q v 及22,q v 的关系，结合124q q =，求出12−v v ，由此可得结论. 【详解】因为2
5log 10
q
v =，所以5102v q =⋅， 所以1
5
1102v q =⋅，2
5
2102v q =⋅， 又124q q =，
所以1
2
55102402v v ⋅=⋅， 所以
12
55
2
4v v −=，
所以1210v v −=
， 所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为6010600×=
（米）， 故答案为：600.
14. 已知P A B C D ,,,,是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，
1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为______．
【答案】7π 【解析】
【分析】取BC 中点E ，则易得1==EA ED ，根据已知可确定E 为梯形ABCD 外接圆圆心，过E 作⊥EF 平面ABCD ，且使得EF PD =，从而球心O 在EF 的中点，然后结合勾股定理求出R ，进而可求． 【详解】取BC 中点E ，由于AD BC ∥，1AB DC AD ===， 故//,AD BE AD BE =,则四边形ABED 为平行四边形， 故1AB ED ==，同理可得1AE
DC ==，故1EA ED AD ===， 故E 为梯形ABCD 外接圆圆心，过E 作⊥EF 平面ABCD ，且使得EF PD =，
则四边形PDEF 为矩形，故球心O 在EF 的中点，设球的半径R ，
PD =
根据球的性质得，2
2222
714R OE BE =+=+=，故274R =， 故表面积为24π7πS R ==． 故答案为：7π．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =.
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. （2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 【答案】（1）平均值为79.5，第60百分位数为82.5； （2）总样本的平均数为91，方差为95. 【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出,a b ，进而即可求出平均数；先确定60%分位数的位置，再由频率分布直方图求求值；
（2）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差. 【小问1详解】
由题意知()0.0150.035101a b +++×=
，4b a =，所以0.010,0.040a b =，
所以满意度得分的平均值为650.15750.35850.4950.179.5×+×+×+×=， 因为0.150.350.50.6+=<，0.50.40.90.6+=>， 所以第60百分位数位于第三个区间内， 所以第60百分位数为0.60.5
801082.50.90.5
−+×=
−分. 【小问2详解】
把6月1日—6月7日的样本记为12340000,,?··,x x x x ，其平均数记为x ，方差记为2
x s ，
把6月8日—6月14日的样本记为12360000,,?··,y y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ，总样本方差为
2s ，
则总样本平均数4000040000
85959160000400006000040000
z
×+×=++，
由方差的定义，样本总方差为：
()()
{
}
222
22
14610x y s s x z s y z =+−++−
所以()()2
1
47436669169510s =
××++×+=
， 所以总样本的平均数为91，方差为95.
16. 已知锐角ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且cos sin 0a C C b c +−−=． （1）求A ；
（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围． 【答案】（1）π
3
A =
（2
）(
2 + 【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得正确答案. （2）将,b c 转化为B 来表示，再根据三角函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】
由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +−−=，
则()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C −+−=
，
所以sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +−−−=，
sin cos sin sin 0A C A C C −−=， 由于π
02
C <<
，所以sin 0C >
cos 1A A −=， 则π2sin 16A −=
，π1sin 62A −= ，由于ππππ0,2663A A <<−<−<， 所以πππ
,6
63
A A
−=
=. 【小问2详解】
若2a =
，由正弦定理得2πsin sin sin 3
b c B C ===，
所以,b
B c
C ， 所以三角形ABC
周长为2a b c B C ++=+
的
π
2
3
B B
++
1
2sin
2
B B B
+++
1π
24cos24sin
26
B B B
=
+=
++
，
由于三角形ABC是锐角三角形，所以
π
2
ππ
32
B
B
<<
+>
，所以
ππ
62
B
<<，
所以
ππ2π
363
B
<+<
ππ
sin1224sin6
66
B B
<+≤⇒+<++≤
，
所以三角形ABC
周长的取值范围是(2
+ .
17. 如图1，矩形ABCD中，2
AB=，1
BC=，E为边CD上的一点．现将ADE
沿着AE折起，使点D到达点P的位置．
（1）如图2，若E为边CD的中点，点F为线段PB的中点，求证：//
CF平面PAE；
（2）如图3，设点P在平面ABCE内的射影K落在线段AB上．
①求证：CB⊥平面PAB；
②当
1
4
AK AB
=时，求直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2
【解析】
【分析】（1）设Q是线段PA的中点，根据线线平行可得四边形FQCE是平行四边形，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）①根据线面垂直的性质可得PK CB
⊥，结合矩形性质，即可由线面垂直的判定求证，
②根据线面垂直可得PCK ∠为直线PC 与平面ABCE 所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】
证明：如图，取Q 是线段PA 的中点，连接QE ，FQ ， 因为点F 是线段PB 的中点，所以//FQ AB ，1
2
FQ AB =， 因为//EC AB ，1
2
EC AB =
，所以//FQ EC ，FQ EC =， 即四边形FQCE 是平行四边形，
所以//CF QE ，又因为CF ⊂/平面PAE ，QE ⊂平面PAE ， 所以//CF 平面PAE ；
【小问2详解】
①由题意可知PK ⊥平面ABCE ，CB ⊂平面ABCE ，故PK CB ⊥，
又,,,CB AB PK AB K PK AB ⊥∩
=⊂平面PAB ，故CB ⊥平面PAB ②由于PK ⊥平面ABCE ，故PCK ∠为直线PC 与平面ABCE 所成的角，
11
42
AK
AB ==，1PA =，故PK ==,
3
,1,2
KB BC KC =
===
,
则2PC ，故cos KC PCK PC ∠=
故直线PC 与平面ABCE
18. 设函数()e e 2x x f x −−=，()e e
2
x x
g x −+=
．
（1）判断函数()f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：()()()()
2
f x y f x y f x
g y ++−=；
（3）若()()()
22
ln 42ln 2x
x x h x f t f −+⋅在区间[]1,1−上的最小值为7
8
−
，求t 的值． 【答案】（1）奇函数，(),−∞+∞上单调递增 （2）证明见解析 （3）2± 【解析】
【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性，利用单调性的性质判()f x 的单调性； （2）求()()f x g y 和
()()
2
f x y f x y ++−即可证明；
（3）令22x x m −=−，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解. 【小问1详解】
由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，
又()()e e 2
x x f x f x −−−==−，所以()f x 为奇函数；
因为e x y =在(),∞∞−+上单调递增，e x y −=−在(),∞∞−+上单调递增， 所以，()f x 在(),∞∞−+上单调递增； 【小问2详解】
因为()()()()
e e e e e e e e 224
x x y y x x y y f x g y −−−−−+−+=×=， ()()()()
e e e e 2222
x y x y x y x y f x y f x y −+−−+−−−+++−=
()()()()e e e e e e e
e e
e 4
4
x y y x y y
x
x
y
y
−−−−−+−+−+=
，
所以可得()()()()
2
f x y f x y f x
g y ++−=；
【小问3详解】 由()(
)(
)
22442244222
ln 42ln 2
2222222
x x x x x x x x
x
x
x
x
h x f t f t t −−−−−−+−−+⋅−+⋅+⋅
， 令22x x m −=−，由[]1,1x ∈−，则33,22m
∈−
， 又()()
2
22
2
2222
2
x
x
x x h x t −−−+−=
+⋅
，则令()222121222m m H m t m t m +=+⋅=+⋅+， 对称轴
122
t
m t
=−=−×， 当32t −<−，即32t >时，()2
min 3133317712222288H m H t t =−=×−+⋅−+=−+=−
， 解得2t =， 当3322
t −
≤−≤，即3322t −≤≤时，()()()()2
2min 11711228H m H t t t t t =
−=−+×−+=−+=−，
解得t =3322t −≤≤，因此不符合题意，
当32t −>，即32t <−时，()2
min 3133317712222288H m H t t ==×+×+=+=−
， 解得2t =−， 综上知，2t =± 【点睛】方法点睛：
1.函数最值与值域的求法：单调性法；不等式法；配方法；换元法；数形结合法；分离常数法；导数法.
2.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 19. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：
σ=
A 相对的0θ的“正弦标准差”．
（1）若集合ππ,63A = ，0π
4
θ=
，求A 相对的0θ的“正弦标准差”； （2）若集合π,,4
A αβ = ，是否存在3π,π4
∈
α，3π7π,24β ∈
，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1
（2）存在1211πα=，12
19π
β=，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值，理由见解析 【解析】
【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而sin 2sin 21cos 2cos 20αβαβ+=−
+=
，平方相加，得到()1
cos 222αβ−=
−，结合3π,π4α ∈
，3π7π,24β
∈ 求出4π223αβ−=−，从而消元，结合cos 2cos 20αβ+=
得
到tan 2α=π2611α=，求出1211πα=，1219πβ=. 【小问1详解】
σ
12πsin ==，
其中πππππππ1sin
sin sin cos cos sin 123434342
=−=−=−
. 【小问2详解】 存在1211πα=
，12
19π
β=，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值，理由如下： ()()222000πsin sin sin 4θαθβθ
−+−+−
()()000π1cos 21cos 221cos 222222
θαθβθ −−
−−−− =++
()0000031sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 222
θαθαθβθβθ=−++++ ()()0031sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2sin 222
θαβθαβ =−++++ ， 只需sin 2sin 21cos 2cos 20αβαβ+=− +=
，则()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=， 即22cos 2cos 22sin 2sin 21αβαβ++=
，整理得()1
cos 222αβ−=−， 因为3π,π4α ∈ ，3π7π,24β ∈ ， 所以3π2,2π2α ∈
，7π23π,2β ∈ ，7π2,3π2β −∈−− ， 则()222π,παβ−∈−， 所以4π223αβ−=−，则4π223
βα=+， 所以4πcos 2cos 2cos 2cos 203αβαα
+=++
= ， 即4π4πcos 2cos 2cos sin 2sin 033
ααα+−=，
整理得cos 220αα+=
，故tan 2α=， 因3π2,2π2α ∈ ，所以π2611α=，1211πα=， 则4π11π4π19π223366βα=+
=+=，1219πβ=， 检验，将1211πα=，1219πβ=代入sin 2sin 21cos 2cos 20αβαβ+=− +=
得 11π19ππ7π11sin sin sin sin 166662211π19ππ7πππcos cos cos cos cos cos 0666666 +=−+=−+−=− +=−+=−=
，满足要求， 故存在1211πα=，12
19πβ=，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值， 此时
σ为
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧，
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。