山西省晋中市太古第二中学高二数学理期末试题含解析

山西省晋中市太古第二中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．
【解答】解：函数f（x）=（2x﹣1）e x，可得f′（x）=（2x+1）e x，
当x＜﹣时，f′（x）＜0，函数是减函数，
∵ln＜ln2＜lne，∴，
∴，
∴f（﹣）＞f（﹣ln2）＞f（﹣），
∵f（1）＞0，f（）＜0，
∴a＞b＞c＞d．
故选：A．
2. 设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）
A. ?3
B. ?2
C. 2
D. 3
参考答案：
A
试题分析：，由已知，得，解得，选A.
【考点】复数的概念及复数的乘法运算
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 3. 不等式的解集为，则a，c的值分别为
A．a=-6, c=-1 B．a=6，c=1 C． a=1, c=1 D．a =-1, c=-6
参考答案：
A
4. 椭圆的焦点坐标（）
A．B．C． D．
参考答案：
C
5. 已知命题：，，则（）
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
C
6. 连掷两次骰子得到点数分别为和，记向量的夹角为
的概率是
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
A
略
7. 等差数列满足则（）
A．17 B．18 C．19 D．20
参考答案：
B
8. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（）
A. 144种
B. 96种
C. 48种
D. 34种
参考答案：
B
试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有两种，又∵A只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为种，故选B．
考点：1．计数原理；2．排列组合．
【思路点睛】对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素（同时对相邻元素内部进行自排），再与其它元素进行排列；对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）
9. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为（）
A． B.
C. D.
参考答案：
B
10. 椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点C 对应的复数是
▲
参考答案：
由得，同理，所以点对应的复数是.
12. 若非零实数a ，b 满足条件，则下列不等式一定成立的是_______．
①；②；③；④；⑤.
参考答案：
④⑤
【分析】
可以利用不等式的性质或者特殊值求解.
【详解】对于①，若，则，故①不正确；
对于②，若，则，故②不正确；
对于③，若，则，故③不正确；
对于④，由为增函数，，所以，故④正确；
对于⑤，由为减函数，，所以，故⑤正确；
所以正确的有④⑤.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式的正确与否一般是利用特殊值来验证.
13. 直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标是2,则________.
参考答案：
14. 已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点
在双曲线的上支上，则的最小值
为
．
参考答案：
15. 等比数列中，，，且、、成等差数列，则
=__________．
参考答案：
略
16. 已知
是等差数列
的前项和，且
，则
．
参考答案： 119 略
17. 已知数列｛an ｝的前n 项和
，那么它的通项公式为_________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极
坐标系，曲线C 的极坐标方程为．
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求
．
参考答案：
（1）
，
；（2）2
【分析】
（1）消去参数即可确定普通方程，将极坐标方程两边乘以
整理计算即可确定直角坐标方程；（2）
联立直线参数方程的标准形式和圆的方程，结合参数的几何意义即可求得弦长．
【详解】（1）直线 （为参数），消去得：
即：
曲线，即
又，
．
故曲线
（2）直线的参数方程为 （为参数）
直线的参数方程为 （为参数） 代入曲线
，消去
得：
由参数的几何意义知，
【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程与普通方程的互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 19. 记函数
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合
.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若
，且
，求实数
的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）依题意，得
（Ⅱ）
又
20. 已知数列的前项和为，，满足
(1)计算、、、，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的的表达式。

（13分）
参考答案：
（1）猜想
（2）①当时，结论显然成立
②假设时结论成立，即
由可知：
即当时结论也成立。

根据①②可知结论对任何都成立
略
21. 已知函数＝，，,为常数。

（1）若函数f(x)在x＝1处有极大值-14，求实数,的值；
（2）若a＝0，方程f(x)＝2恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若b =0，函数f(x)在(-∞,-1)上有最大值，求实数a的取值范围.
参考答案：
（2）由f(x)＝2，得f(x)－2＝0，
令g(x)＝f(x)－2＝x3－bx－2，则方程g(x)＝0恰有3个不相等的实数解。

∵g’(x)＝3x2－b，
（ⅰ）若b≤0，则g’(x)≥0恒成立，且函数g(x)不为常函数，∴g(x)在区间[－4,4]上为增函数，不合题意，舍去。

可得略
22. 已知等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前
项和为，且
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和为，试比较的大小，并说明理由.参考答案：
解：（1）
当，
即
（2）猜想：
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当时，已知结论成立；
（Ⅱ）假设时，，即
那么，当时，
故时，也成立．
综上，由（Ⅰ）（Ⅱ）可知时，也成立．综上所述，当，时，．。